szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 mar 2013, o 13:57 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Warszawa
Korzystając z definicji oblicz pochodną funkcji:
f(x) =  4^{x} dla x \in R

Doszedłem do momentu: f'( x_{0}) =  4^{ x_{0} } \lim_{ x \to  x_{0} }  \frac{ 4^{x -  x_{0} } - 1 }{x -  x_{0} } }

Teraz nie wiem jak pokazać że wyrażenie z granicą to \ln 4 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 mar 2013, o 14:38 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 mar 2013, o 15:07 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Warszawa
Niestety, dalej tego nie widzę - fakt, że tak będzie rozumiem, ale chodzi mi o formalne pokazanie że ta granica to właśnie \ln 4

f'( x_{0}) = 4^{ x_{0} } \lim_{ t \to 0 } \frac{ e^{ \ln 4  \cdot t } - 1 }{ t } }

?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 mar 2013, o 15:24 
Użytkownik

Posty: 2787
Lokalizacja: Wrocław
\frac{4 ^{x-x _{0} }-1}{x-x _{0} }= \frac{e ^{(x-x _{0})\ln {4}}-1 } {x-x _{0} }. Teraz pomnóż i podziel przez (x-x _{0}) \ln4}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 mar 2013, o 15:34 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Warszawa
\frac{(e ^{(x-x _{0})\ln {4}}-1 ) ((x-x _{0}) \ln4)} {\ln 4 ( (x  -{x _{0}}) ^{2}  )}

i albo tego naprawdę nie widzę, albo straciłem wzór na \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1 ?

Chyba wystarczy pomnożyć i podzielić przez \ln 4 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 mar 2013, o 16:31 
Użytkownik

Posty: 2787
Lokalizacja: Wrocław
\frac{(x-x _{0} )\ln4}{x-x _{0} }=\ln 4. Poza tym skorzystaj z tego, co napisał smigol, by policzyć granicę: \lim_{ x\to x _{0} }  \frac{e ^{(x-x _{0})\ln4 }-1 }{(x-x _{0})\ln4 } Przyjrzyj się wyrażeniu, które otrzymałeś i wykorzystaj to.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 mar 2013, o 00:02 
Użytkownik

Posty: 1016
Lokalizacja: Sosnowiec
Napiszę jak się liczy pewną granicę z definicji. Może uda ci się zrobić analogicznie.
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1}{\ln(e^{x}-1+1)}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{\ln(1+\frac{1}{\frac{1}{e^{x}-1}})^{\frac{1}{e^{x}-1}}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\ln(1+\frac{1}{x})^{x}}=\frac{1}{\ln e}=1
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 pochodna funkcji  Anonymous  1
 Pochodna  Anonymous  5
 pochodna i dowod....  Mmmkm  2
 pochodna funkcji w punkcie  Anonymous  5
 Pochodna funkcji - zadanie 2  Anonymous  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com