szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
 Tytuł: Sup i inf
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 16:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 205
Lokalizacja: Polska
Niech zbiór A \subset R będzie ograniczony z góry oraz k ustaloną liczbą ujemną. Wykaż, że \inf (k  \cdot A)=k  \cdot  \sup (A).

Czy można rozwiązać to zadanie inaczej, niż dowodząc nierówności w obie strony?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Sup i inf
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 18:00 
Użytkownik

Posty: 982
Lokalizacja: Sosnowiec
To można chyba zrobić z definicji.
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Sup i inf
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 18:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 205
Lokalizacja: Polska
a \le \sup A
k \cdot a \ge k \cdot \sup A
k \cdot A \ge \inf (k \cdot A)
Istnieje takie a \in A, że dla każdej \partial  \ge 0
a \ge \sup A -  \frac{ \partial }{k}
k \cdot a  \le k \cdot  \sup A -  \partial. Coś takiego?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Sup i inf
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 18:37 
Użytkownik

Posty: 982
Lokalizacja: Sosnowiec
izaizaiza napisał(a):
a \le \sup A
k \cdot a \ge k \cdot \sup A
k \cdot A \ge \inf (k \cdot A)

Nie rozumiem skąd to drugie przejście (k \cdot A to nie jest liczba przecież). Zakończyłbym na drugiej linijce, bo stąd wynika, że k \cdot \sup A jest ograniczeniem dolnym zbioru k \cdot A.

izaizaiza napisał(a):
Istnieje takie a \in A, że dla każdej \partial  \ge 0
a \ge \sup A -  \frac{ \partial }{k}
k \cdot a  \le k \cdot  \sup A -  \partial. Coś takiego?


Prawie dobrze. Kwantyfikatory są na odwrót i nierówności są ostre. Dla każdej \partial  > 0 istnieje a \in A . I zauważ, że k jest ujemne więc będzie
a > \sup A +  \frac{ \partial }{k} . Dalej spróbuj sama.
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Sup i inf
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 19:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 205
Lokalizacja: Polska
A miało być małe, kwantyfikatory rzeczywiście na odwrót. Czy w tym przypadku a>\sup A +  \frac{ \partial }{k} to, że k jest ujemne wpływa na coś oprócz zmiany znaku nierówności po wymnożeniu? I wtedy mamy, że k \cdot \sup A jest największym dolnym ograniczeniem co kończy dowód?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Sup i inf
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 19:15 
Użytkownik

Posty: 982
Lokalizacja: Sosnowiec
Wpływa w tym sensie, że korzystasz z definicji supremum zbioru A, dla \varepsilon=-\frac{\partial}{k}>0
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Sup i inf
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 19:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 205
Lokalizacja: Polska
Ach, no tak. I to już jest koniec dowodu, bo wychodzi definicja infimum, prawda?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Sup i inf
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 19:51 
Użytkownik

Posty: 982
Lokalizacja: Sosnowiec
Tak
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Sup i inf
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 19:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 205
Lokalizacja: Polska
Super, dziękuje za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com