szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Trójkąty
PostNapisane: 8 sty 2005, o 10:19 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
1.Podstawowe pojęcia

1.1 Definicje
    \diamond Trójkątem nazywamy figurę płaską będącą wielokątem o trzech bokach. Jeden z boków trójkąta jest nazywany podstawą.

    \star Istnieje wiele innych równoważnych definicji trójkąta dostosowanych do potrzeb i umiejętności zrozumienia. Przykłady:
      \ast Trójkątem nazywamy część wspólną trzech półpłaszczyzn, których brzegi zawierają w sobie odpowiednie boki trójkąta gdzie wierzchołek nie należący do brzegu leży na półpłaszczyźnie.
      \ast Trójkąt to część płaszczyzny ograniczona przez odcinki łączące trzy niewspółliniowe punkty.

    \diamond Wysokością trójkąta nazywamy odcinek wychodzący z jednego z wierzchołków trójkąta i opadający na przeciwległą podstawę (lub jej przedłużenie). Wysokość jest zawsze prostopadła do podstawy. Każdy trójkąt posiada 3 wysokości niekoniecznie różne i niekoniecznie zawierające się w tym trójkącie (np. w trójkącie rozwartokątnym).

    \diamond Ortocentrum to punkt przecięcia się wysokości trójkąta.

    \diamond Środkową boku trójkąta nazywamy odcinek łączący środek boku trójkąta z wierzchołkiem trójkąta nie należącym do tego boku. Każdy trójkąt posiada trzy środkowe.

    \diamond Barycentrum (środek ciężkości) to punkt przecięcia się środkowych trójkąta.

    \diamond Symetralną boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą przechodzącą przez środek boku trójkąta. Każdy trójkąt ma trzy symetralne.

    \diamond Okręgiem wpisanym w trójkąt nazywamy okrąg, styczny wewnętrznie do wszystkich boków trójkąta. Środkiem okręgu wpisanego jest punkt przecięcia się dwusiecznych trójkąta.

    \diamond Okręgiem opisanym na trójkącie nazywamy okrąg, który zawiera wszystkie wierzchołki trójkąta. Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia się symetralnych boków trójkąta.

    \diamond Prostą poprzeczną trójkąta nazywamy prostą przecinającą każdy z boków trójkąta (lub jego przedłużenie), która nie zawiera w sobie żadnego z wierzchołków tego trójkąta.

    \diamond Symedianą trójkąta nazywamy prostą będącą obrazem symetrycznym środkowej względem dwusiecznej kąta wewnętrznego.

    \diamond Punktem Lemoine'a nazywamy punkt przecięcia się wszystkich symedian trójkąta.

    \diamond Punktem Gergonne'a nazywamy punkt przecięcia się prostych łączących wierzchołki trójkąta z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w ten trójkąt.

    \diamond Punktem Fermata nazywamy punkt, którego suma odległości od boków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

1.2 Rodzaje trójkątów

    1.2 a) ze względu na długości boków
      \diamond różnoboczne - trójkąty, w których boki są różnej długości.
      \diamond równoramienne - trójkąty, w których co najmniej dwa boki są równej długości.
      \diamond równoboczne - trójkąty, w których wszystkie boki są równej długości. W szczególności trójkąty równoboczne są trójkątami równoramiennymi.
    1.2 b) ze względu na miary kątów
      \diamond ostrokątne - trójkąty, w których miary wszystkich kątów wewnętrznych są mniejsze od 90o.
      \diamond prostokątne - trójkąty, w których jeden z kątów wewnętrznych jest prosty.
      \diamond rozwartokątne - trójkąty, w których jeden z kątów wewnętrznych ma miarę większą niż 90o.
2.Własności

2.1 Przystawanie trójkątów
    Dwa trójkąty są przystające wtedy, gdy istnieje izometria przekształcająca jeden z nich na drugi (izometria to przekształcenie płaszczyzny zachowujące odległość punktów).

    Cechy przystawania trójkątów
      \diamond (bbb) - (bok, bok, bok) dwa trójkąty są przystające jeśli boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta
      \diamond (bkb) - (bok, kąt, bok) dwa trójkąty są przystające jeśli dwa boki i kąt zawarty między nimi jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom i kątowi zawartemu między nimi drugiego trójkąta
      \diamond (kbk) - (kąt, bok, kąt) dwa trójkąty są przystające jeśli bok i kąty do niego przyległe jednego trójkąta są równe odpowiedniemu bokowi i kątami do niego przyległymi drugiego trójkąta
2.2 Podobieństwo trójkątów
    Dwa trójkąty są podobne wtedy, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jeden z nich na drugi (podobieństwem w skali k nazywamy przekształcenie płaszczyzny zmieniające odległość każdych dwóch punktów w stosunku k).

    Cechy podobieństwa trójkątów
      \diamond (bbb) - (bok, bok, bok) dwa trójkąty są podobne jeśli wszystkie boki pierwszego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta
      \diamond (kkk) - (kąt, kąt, kąt) dwa trójkąty są podobne jeśli miary kątów jednego trójkąta są równe odpowiednim miarom kątów drugiego trójkąta
      \diamond (bkb) - (bok, kąt, bok) dwa trójkąty są podobne jeśli długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta oraz kąty zawarte między tymi bokami mają równe miary.
    Podobieństwo w trójkącie prostokątnym

    W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty podobne do siebie i do trójkąta prostokątnego. Długość wysokości tego trójkąta jest średnią geometryczną długości odcinków na które dzieli wysokość przeciwprostokątną.

    Wysokość tą wyraża się wzorem: h=\sqrt{x\cdot y}, gdzie x, y są odcinkami na jakie podzieliła wysokość przeciwprostokątną.
2.3 Nierówność trójkąta
    Dla każdego trójkąta o bokach długości a, b, c zachodzą nierówności:

    a+b> c,\,\,\, a+c> b,\,\,\, b+c> a

    \star to, czy nierówności są mocne, czy słabe zależy od przyjętej definicji trójkąta
3.Twierdzenia

Dla dowolnego trójkąta przyjmijmy następujące oznaczenia:
\star AB=c, BC= a, AC=b
\star ha, hb, hc - wysokości trójkąta o spodkach odpowiednio w bokach a, b, c.
\star \,\,\alpha, \beta, \gamma miary kątów leżących odpowiednio na przeciwko boków a, b, c
\star p połowa obwodu trójkąta
\star R promień okręgu opisanego na trójkącie
\star r promień okręgu wpisanego w trójkąt

3.1 a) Twierdzenie Pitagorasa
    Niech ABC będzie dowolnym trójkątem prostokątnym o kącie prostym przy wierzchołku A. Zachodzi następująca równość: AB^2 + AC^2 = BC^2.
      Dowód: Niech A' będzie spodkiem wysokości trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym w wierzchołku A wychodzącej z wierzchołka A. Korzystając z cechy podobieństwa kkk oraz przechodniości otrzymujemy podobieństwo następujących trójkątów: AA'C, AA'B, ABC. Korzystając z podobieństwa otrzymujemy następujące proporcje: \frac{A'B}{AB}=\frac{AB}{BC}\,\,i\,\,\frac{A'C}{AC}=\frac{AC}{BC} zatem AB^2=BC\cdot A'B,\,i\,\,AC^2=BC\cdot A'C. Po zsumowaniu równości otrzymujemy: AB^2+AC^2=BC\cdot (A'B+A'C) = BC^2. C.N.D
3.1 b) Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
    Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Jeśli zachodzi równość a^2+b^2=c^2 to trójkąt ten jest prostokątny.
      Dowód: [niebawem]
3.2 Twierdzenie sinusów (Snelliusa)
    Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Zachodzą następujące tożsamości:

    \frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}=2R
      Dowód: [niebawem]
3.3 Twierdzenie cosinusów (Carnota)
    Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Zachodzą następujące równości:

    a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos{\alpha}\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos{\beta}\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos{\gamma}
      Dowód: [niebawem]
3.4 Twierdzenie Menelaosa
    Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Niech prosta poprzeczna przecina boki AB i BC oraz przedłużenie boku AC odpowiednio w punktach D, E, F. Zachodzi następująca równość:

    \frac{AD}{DB}\cdot \frac{DE}{EC}\cdot \frac{CF}{FA}=1
      Dowód: [niebawem]
3.4 Twierdzenie Cevy
    Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Jeżeli trzy proste przechodzące przez wierzchołki trójkąta przecinające boki AB, BC, AC odpowiednio w punktach D, E, F przecinają się w jednym punkcie, to zachodzi następująca równość:

    \frac{AD}{DB}\cdot \frac{BE}{EC}\cdot \frac{CF}{FA}=1
      Dowód: [niebawem]
4.Wzory

Przyjmijmy oznaczenia takie jak w punkcie 3.

4.1 Wzory na pole trójkąta
    P=\frac{1}{2}h_a\cdot a=\frac{1}{2}h_b\cdot b=\frac{1}{2}h_c\cdot c
      Wyprowadzenie: Wystarczy zauważyć, że pole trójkąta jest równe połowie pola prostokąta o bokach równych wysokości trójkąta i boku na którą ta wysokość opada.
    P=\frac{1}{2}a\cdot b\cdot \sin{\gamma}=\frac{1}{2}a\cdot c\cdot \sin{\beta}=\frac{1}{2}b\cdot c\cdot \sin{\alpha}
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
    P=pr
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
    P=\frac{abc}{4R}
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
    P=2R^2\cdot \sin{\alpha}\cdot \sin{\beta}\cdot \sin{\gamma}
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
    P=p^2\cdot \tan{\frac{\alpha}{2}}\cdot \tan{\frac{\beta}{2}}\cdot \tan{\frac{\gamma}{2}}
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
    P=r^2\cdot \cot{\frac{\alpha}{2}}\cdot \cot{\frac{\beta}{2}}\cdot \cot{\frac{\gamma}{2}}
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
    P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{1}{4}\sqrt{[(a+b)^2 - c^2][c^2 - (a-b)^2]}
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
    Dotyczy trójkąta równobocznego.

    P=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
4.2 Trygonometria w trójkącie
    Tożsamości
      \sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma}=4\cdot\cos{\frac{\alpha}{2}}\cdot \cos{\frac{\beta}{2}}\cdot \cos{\frac{\gamma}{2}}
        Dowód: [Niebawem]
      \cos{\alpha}+\cos{\beta}+\cos{\gamma}=1+4\cdot\sin{\frac{\alpha}{2}}\cdot \sin{\frac{\beta}{2}}\cdot \sin{\frac{\gamma}{2}}
        Dowód: [Niebawem]
      \tan{\frac{\alpha}{2}}\cdot\tan{\frac{\beta}{2}}+\tan{\frac{\alpha}{2}}\cdot\tan{\frac{\gamma}{2}}+\tan{\frac{\beta}{2}}\cdot\tan{\frac{\gamma}{2}}=1
        Dowód: [Niebawem]
    Analogie Nepera
      \frac{a+b}{c}=\frac{\cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{\sin \frac{\gamma}{2}}\\\frac{a+c}{b}=\frac{\cos \frac{\alpha - \gamma}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}}\\\frac{b+c}{a}=\frac{\cos \frac{\beta - \gamma}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}\\\frac{a-b}{c}=\frac{\sin \frac{\alpha - \beta}{2}}{\cos \frac{\gamma}{2}}\\\frac{a-c}{b}=\frac{\sin \frac{\alpha - \gamma}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}\\\frac{b-c}{a}=\frac{\sin \frac{\beta- \gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}\\\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan \frac{\alpha + \beta}{2}}{\tan \frac{\alpha - \beta}{2}}\\\frac{a+c}{a-c}=\frac{\tan \frac{\alpha + \gamma}{2}}{\tan \frac{\alpha - \gamma}{2}}\\\frac{b+c}{b-c}=\frac{\tan \frac{\beta+ \gamma}{2}}{\tan \frac{\beta- \gamma}{2}}
    Formuła zamiany
      \tan \alpha = \frac{a \cdot \sin \gamma}{b - a\cdot \cos \gamma} = \frac{a\cdot \sin \beta}{c - a\cdot \cos \beta}
    Kąty według długości boków
      \sin \frac{ \alpha}{2}= \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}\\\cos \frac{ \alpha}{2}= \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}\\\tg \frac{ \alpha}{2}= \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}
4.3 Nierówności
    Nierówność Erdosa
      Rozpatrzmy trójkąt ABC. Obierzmy w nim dowolny punkt O. Przez x, y, z oznaczmy odległości punktu O odpowiednio od wierzchołków A, B, C, zaś przez p, q, r odległegłości punktu O odpowiednio od prostych BC, CA, AB. Zachodzi następująca nierówność:

      x+y+z\geq 2(p+q+r)
        Dowód: [Niebawem]
4.4 Różne
    Wysokości w trójkącie
      Dotyczy dowolnego trójkąta

      h=\frac{ab\sin{\alpha}}{c}

      Dotyczy trójkąta równobocznego.

      h=\frac{a\sqrt{3}}{2}
    Promienie okręgów wpisanych
      Dotyczy dowolnego trójkąta

      r= \sqrt {\frac{ (p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\\r=(p-a)\tan{\frac{\alpha}{2}}\\r=(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})^{-1}

      Dotyczy trójkąta równobocznego.

      r=\frac{a\sqrt{3}}{6}
    Promienie okręgów opisanych
      Dotyczy dowolnego trójkąta

      R= \frac{ abc}{4 \sqrt{ p(p-a)(p-b)(p-c)}}

      Dotyczy trójkąta równobocznego.

      R=\frac{a\sqrt{3}}{3}
    Środkowe w trójkącie
      m^{2}_{a}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}\\m^{2}_{b}=\frac{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}{4}\\m^{2}_{c}=\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}

W razie jakichkolwiek wątpliwości, chęci uzupełnienia tego tematu itp spraw proszę pisać na moją pocztę. Zlodiej
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąty - zadanie 4
Zadanie 1: Przekątna kwadratu jest o 3 cm dłuższa od jego boku. Oblicz pole tego kwadratu. Zadanie 2: Obwód trójkąta równobocznego jest równy \sqrt{3}. Oblicz wyskość tego trójkąta. Z góry dziękuję:)...
 izunieczkaa  6
 trojkaty
Ze zbioru 6 prętów o długościach: 3,4,5,6,7,9 metrów wybrano losowo 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że można z nich zbudować trójkąt rozwartokątny?...
 bullay  1
 trójkąty - zadanie 5
w kole poprowadzono cięciwę tworzącą kąt 30 stopni ze średnicą. Cięciwa dzieli średnicę na dwa odcinki mające długość 10 i 4 cm. onlicz odległość cięciwy od środka okręgu. Jak można udownodnić że powstałe trójkąty są prostokątne? (jeśli w ogóle s...
 airowin  2
 trójkąty - zadanie 2
Pomóżcie: 1. Obwód trójkąta równobocznego ABC jest równy 9. Punkt K należy do boku BC i |BK|=2. Oblicz tangens kąta BAK. 2. Pole trójkąta równoramiennego jest równe 25. Ob;icz długośc promienia okręgu wpisanego w trójkąt wiedząc, że ramię jest dwa r...
 owca666  5
 trójkąty - zadanie 7
Na płaszczyźnie dany jest trójkąt ABC. Ile co najwyżej może istnieć takich punktów D różnych od C, że proste AB i CD są prostopadłe, a przy tym \sphericalangle ACB = \sphericalangle ADB ? Wydaje mi się, że punkt D jes...
 Przemas O'Black  0
 Trójkąty - zadanie 3
1.) Dane są punkty A=(1,3), B=(5,1), i C=(4,4) a.) uzasadnij, że trójkąt ABC jest równoramienny i prostokątny. b.) Znajdź promień okręgu opisanego na trójkącie ABC. c.) Znajdź promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC Do tego zadania wyznaczyłem pro...
 Gogith  2
 Trójkaty
;ppp...
 sprawdziany44  1
 Trójkąty - zadanie 6
1. Długości boków trójkąta są równe AB=9cm, BC=12cm, AC=15cm. Odcinek DE jest równoległy do boku AB. Obwód trójkąta CDE jest równy obwodowi trapezu ABDE. Oblicz długość odcinka DE. 2. Bok trójkąta równobocznego ABC ma długość a. Na bokach AB, BC, CA...
 moniska151  0
 Dwa trójkąty- dowód
Twierdzenie Desarguesa....
 grazyna  3
 dwa trójkąty. wykaż ich podobieństwo
Dane są dwa trójkąty prostokątne. Długości boków każdego z nich tworzą ciągi arytmetyczne. Wykaż, że te trójkąty są podobne. Proszę o wytłumaczenie. Mam metryczkę rozwiązania tego zadania. Lecz dalej nie bardzo go rozumiem....
 kamiolka28  1
 trójkąty , dowody
w trójkącie ABC dwusieczna kąta B przecina kąt AC w pkt B1. przez B1 prowadzimy równoległą BC przecinającą bok AB w pkt C1. Wykaż,że \left|B1C1 \right| = \left|BC1 \right|...
 tomi140  1
 trojkaty na płaszczyźnie, oblicz wysokosc .
czesc . mam problem z takim oto zadaniem. nie wiedzialem do jakiego dac je działu, wiec z gory przepraszam dane jest a , i wiadomo ze alfa +beta+gamma =180, podstawa trojkata ads ma długosc a wyznaczyc trzeba długosc DS. moze ktos mogłby chcoaiz j...
 malware  3
 Dwa trójkąty. Oblicz boki.
Dwa trójkąty prostokątne równoramienne są podobne w skali \frac{3}{4}.Wiedząc, że różnica długości przyprostokątnych tych trójkątów jest równa 5cm. a) Jak obliczyć bok. chce to wyliczyć z a = a - 5 ( wiem głupie ale nie...
 Union  1
 Trójkąty, pewna własność czworokąta, nierówność.
Mam takie trzy zadanka z geometrii i nie mogę ich zrobić: 1.Udowodnij, że jeżeli środek okręgu wpisanego w czworokąt jest jednocześnie punktem przecięcia się jego przekątnych, to czworokąt ten jest rombem. 2.Kąt B trójką...
 Przemkooo  1
 Trójkaty i trygonometria
Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego o obwodzie 20cm ma miarę 75 stopni. Oblicz pole tego trójkąta....
 iwona512  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com