szukanie zaawansowane


Strona główna Forum » Matematyka - królowa nauk » Kompendium matematyka.pl » Kompendium Geometrii

Zobacz tematy bez odpowiedzi | Zobacz aktywne tematy



Regulamin działu


Kliknij, aby przejrzeć regulamin



Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  Strona 1 z 1
  [ Posty: 1 ] 
  Drukuj Poprzedni | Następny 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Zlodiej Offline
 Tytuł: Trójkąty
PostNapisane: 8 sty 2005, o 09:19 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1908
Lokalizacja: Kraków
Wiek: 26
Pomógł: 108
Pomoc poza forum: Odpłatnie
1.Podstawowe pojęcia

1.1 Definicje
    \diamond Trójkątem nazywamy figurę płaską będącą wielokątem o trzech bokach. Jeden z boków trójkąta jest nazywany podstawą.

    \star Istnieje wiele innych równoważnych definicji trójkąta dostosowanych do potrzeb i umiejętności zrozumienia. Przykłady:
      \ast Trójkątem nazywamy część wspólną trzech półpłaszczyzn, których brzegi zawierają w sobie odpowiednie boki trójkąta gdzie wierzchołek nie należący do brzegu leży na półpłaszczyźnie.
      \ast Trójkąt to część płaszczyzny ograniczona przez odcinki łączące trzy niewspółliniowe punkty.

    \diamond Wysokością trójkąta nazywamy odcinek wychodzący z jednego z wierzchołków trójkąta i opadający na przeciwległą podstawę (lub jej przedłużenie). Wysokość jest zawsze prostopadła do podstawy. Każdy trójkąt posiada 3 wysokości niekoniecznie różne i niekoniecznie zawierające się w tym trójkącie (np. w trójkącie rozwartokątnym).

    \diamond Ortocentrum to punkt przecięcia się wysokości trójkąta.

    \diamond Środkową boku trójkąta nazywamy odcinek łączący środek boku trójkąta z wierzchołkiem trójkąta nie należącym do tego boku. Każdy trójkąt posiada trzy środkowe.

    \diamond Barycentrum (środek ciężkości) to punkt przecięcia się środkowych trójkąta.

    \diamond Symetralną boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą przechodzącą przez środek boku trójkąta. Każdy trójkąt ma trzy symetralne.

    \diamond Okręgiem wpisanym w trójkąt nazywamy okrąg, styczny wewnętrznie do wszystkich boków trójkąta. Środkiem okręgu wpisanego jest punkt przecięcia się dwusiecznych trójkąta.

    \diamond Okręgiem opisanym na trójkącie nazywamy okrąg, który zawiera wszystkie wierzchołki trójkąta. Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia się symetralnych boków trójkąta.

    \diamond Prostą poprzeczną trójkąta nazywamy prostą przecinającą każdy z boków trójkąta (lub jego przedłużenie), która nie zawiera w sobie żadnego z wierzchołków tego trójkąta.

    \diamond Symedianą trójkąta nazywamy prostą będącą obrazem symetrycznym środkowej względem dwusiecznej kąta wewnętrznego.

    \diamond Punktem Lemoine'a nazywamy punkt przecięcia się wszystkich symedian trójkąta.

    \diamond Punktem Gergonne'a nazywamy punkt przecięcia się prostych łączących wierzchołki trójkąta z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w ten trójkąt.

    \diamond Punktem Fermata nazywamy punkt, którego suma odległości od boków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

1.2 Rodzaje trójkątów

    1.2 a) ze względu na długości boków
      \diamond różnoboczne - trójkąty, w których boki są różnej długości.
      \diamond równoramienne - trójkąty, w których co najmniej dwa boki są równej długości.
      \diamond równoboczne - trójkąty, w których wszystkie boki są równej długości. W szczególności trójkąty równoboczne są trójkątami równoramiennymi.
    1.2 b) ze względu na miary kątów
      \diamond ostrokątne - trójkąty, w których miary wszystkich kątów wewnętrznych są mniejsze od 90o.
      \diamond prostokątne - trójkąty, w których jeden z kątów wewnętrznych jest prosty.
      \diamond rozwartokątne - trójkąty, w których jeden z kątów wewnętrznych ma miarę większą niż 90o.
2.Własności

2.1 Przystawanie trójkątów
    Dwa trójkąty są przystające wtedy, gdy istnieje izometria przekształcająca jeden z nich na drugi (izometria to przekształcenie płaszczyzny zachowujące odległość punktów).

    Cechy przystawania trójkątów
      \diamond (bbb) - (bok, bok, bok) dwa trójkąty są przystające jeśli boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta
      \diamond (bkb) - (bok, kąt, bok) dwa trójkąty są przystające jeśli dwa boki i kąt zawarty między nimi jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom i kątowi zawartemu między nimi drugiego trójkąta
      \diamond (kbk) - (kąt, bok, kąt) dwa trójkąty są przystające jeśli bok i kąty do niego przyległe jednego trójkąta są równe odpowiedniemu bokowi i kątami do niego przyległymi drugiego trójkąta
2.2 Podobieństwo trójkątów
    Dwa trójkąty są podobne wtedy, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jeden z nich na drugi (podobieństwem w skali k nazywamy przekształcenie płaszczyzny zmieniające odległość każdych dwóch punktów w stosunku k).

    Cechy podobieństwa trójkątów
      \diamond (bbb) - (bok, bok, bok) dwa trójkąty są podobne jeśli wszystkie boki pierwszego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta
      \diamond (kkk) - (kąt, kąt, kąt) dwa trójkąty są podobne jeśli miary kątów jednego trójkąta są równe odpowiednim miarom kątów drugiego trójkąta
      \diamond (bkb) - (bok, kąt, bok) dwa trójkąty są podobne jeśli długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta oraz kąty zawarte między tymi bokami mają równe miary.
    Podobieństwo w trójkącie prostokątnym

    W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty podobne do siebie i do trójkąta prostokątnego. Długość wysokości tego trójkąta jest średnią geometryczną długości odcinków na które dzieli wysokość przeciwprostokątną.

    Wysokość tą wyraża się wzorem: h=\sqrt{x\cdot y}, gdzie x, y są odcinkami na jakie podzieliła wysokość przeciwprostokątną.
2.3 Nierówność trójkąta
    Dla każdego trójkąta o bokach długości a, b, c zachodzą nierówności:

    a+b> c,\,\,\, a+c> b,\,\,\, b+c> a

    \star to, czy nierówności są mocne, czy słabe zależy od przyjętej definicji trójkąta
3.Twierdzenia

Dla dowolnego trójkąta przyjmijmy następujące oznaczenia:
\star AB=c, BC= a, AC=b
\star ha, hb, hc - wysokości trójkąta o spodkach odpowiednio w bokach a, b, c.
\star \,\,\alpha, \beta, \gamma miary kątów leżących odpowiednio na przeciwko boków a, b, c
\star p połowa obwodu trójkąta
\star R promień okręgu opisanego na trójkącie
\star r promień okręgu wpisanego w trójkąt

3.1 a) Twierdzenie Pitagorasa
    Niech ABC będzie dowolnym trójkątem prostokątnym o kącie prostym przy wierzchołku A. Zachodzi następująca równość: AB^2 + AC^2 = BC^2.
      Dowód: Niech A' będzie spodkiem wysokości trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym w wierzchołku A wychodzącej z wierzchołka A. Korzystając z cechy podobieństwa kkk oraz przechodniości otrzymujemy podobieństwo następujących trójkątów: AA'C, AA'B, ABC. Korzystając z podobieństwa otrzymujemy następujące proporcje: \frac{A'B}{AB}=\frac{AB}{BC}\,\,i\,\,\frac{A'C}{AC}=\frac{AC}{BC} zatem AB^2=BC\cdot A'B,\,i\,\,AC^2=BC\cdot A'C. Po zsumowaniu równości otrzymujemy: AB^2+AC^2=BC\cdot (A'B+A'C) = BC^2. C.N.D
3.1 b) Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
    Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Jeśli zachodzi równość a^2+b^2=c^2 to trójkąt ten jest prostokątny.
      Dowód: [niebawem]
3.2 Twierdzenie sinusów (Snelliusa)
    Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Zachodzą następujące tożsamości:

    \frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}=2R
      Dowód: [niebawem]
3.3 Twierdzenie cosinusów (Carnota)
    Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Zachodzą następujące równości:

    a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos{\alpha}\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos{\beta}\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos{\gamma}
      Dowód: [niebawem]
3.4 Twierdzenie Menelaosa
    Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Niech prosta poprzeczna przecina boki AB i BC oraz przedłużenie boku AC odpowiednio w punktach D, E, F. Zachodzi następująca równość:

    \frac{AD}{DB}\cdot \frac{DE}{EC}\cdot \frac{CF}{FA}=1
      Dowód: [niebawem]
3.4 Twierdzenie Cevy
    Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Jeżeli trzy proste przechodzące przez wierzchołki trójkąta przecinające boki AB, BC, AC odpowiednio w punktach D, E, F przecinają się w jednym punkcie, to zachodzi następująca równość:

    \frac{AD}{DB}\cdot \frac{BE}{EC}\cdot \frac{CF}{FA}=1
      Dowód: [niebawem]
4.Wzory

Przyjmijmy oznaczenia takie jak w punkcie 3.

4.1 Wzory na pole trójkąta
    P=\frac{1}{2}h_a\cdot a=\frac{1}{2}h_b\cdot b=\frac{1}{2}h_c\cdot c
      Wyprowadzenie: Wystarczy zauważyć, że pole trójkąta jest równe połowie pola prostokąta o bokach równych wysokości trójkąta i boku na którą ta wysokość opada.
    P=\frac{1}{2}a\cdot b\cdot \sin{\gamma}=\frac{1}{2}a\cdot c\cdot \sin{\beta}=\frac{1}{2}b\cdot c\cdot \sin{\alpha}
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
    P=pr
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
    P=\frac{abc}{4R}
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
    P=2R^2\cdot \sin{\alpha}\cdot \sin{\beta}\cdot \sin{\gamma}
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
    P=p^2\cdot \tan{\frac{\alpha}{2}}\cdot \tan{\frac{\beta}{2}}\cdot \tan{\frac{\gamma}{2}}
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
    P=r^2\cdot \cot{\frac{\alpha}{2}}\cdot \cot{\frac{\beta}{2}}\cdot \cot{\frac{\gamma}{2}}
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
    P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{1}{4}\sqrt{[(a+b)^2 - c^2][c^2 - (a-b)^2]}
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
    Dotyczy trójkąta równobocznego.

    P=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}
      Wyprowadzenie: [Niebawem]
4.2 Trygonometria w trójkącie
    Tożsamości
      \sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma}=4\cdot\cos{\frac{\alpha}{2}}\cdot \cos{\frac{\beta}{2}}\cdot \cos{\frac{\gamma}{2}}
        Dowód: [Niebawem]
      \cos{\alpha}+\cos{\beta}+\cos{\gamma}=1+4\cdot\sin{\frac{\alpha}{2}}\cdot \sin{\frac{\beta}{2}}\cdot \sin{\frac{\gamma}{2}}
        Dowód: [Niebawem]
      \tan{\frac{\alpha}{2}}\cdot\tan{\frac{\beta}{2}}+\tan{\frac{\alpha}{2}}\cdot\tan{\frac{\gamma}{2}}+\tan{\frac{\beta}{2}}\cdot\tan{\frac{\gamma}{2}}=1
        Dowód: [Niebawem]
    Analogie Nepera
      \frac{a+b}{c}=\frac{\cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{\sin \frac{\gamma}{2}}\\\frac{a+c}{b}=\frac{\cos \frac{\alpha - \gamma}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}}\\\frac{b+c}{a}=\frac{\cos \frac{\beta - \gamma}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}\\\frac{a-b}{c}=\frac{\sin \frac{\alpha - \beta}{2}}{\cos \frac{\gamma}{2}}\\\frac{a-c}{b}=\frac{\sin \frac{\alpha - \gamma}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}\\\frac{b-c}{a}=\frac{\sin \frac{\beta- \gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}\\\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan \frac{\alpha + \beta}{2}}{\tan \frac{\alpha - \beta}{2}}\\\frac{a+c}{a-c}=\frac{\tan \frac{\alpha + \gamma}{2}}{\tan \frac{\alpha - \gamma}{2}}\\\frac{b+c}{b-c}=\frac{\tan \frac{\beta+ \gamma}{2}}{\tan \frac{\beta- \gamma}{2}}
    Formuła zamiany
      \tan \alpha = \frac{a \cdot \sin \gamma}{b - a\cdot \cos \gamma} = \frac{a\cdot \sin \beta}{c - a\cdot \cos \beta}
    Kąty według długości boków
      \sin \frac{ \alpha}{2}= \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}\\\cos \frac{ \alpha}{2}= \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}\\\tg \frac{ \alpha}{2}= \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}
4.3 Nierówności
    Nierówność Erdosa
      Rozpatrzmy trójkąt ABC. Obierzmy w nim dowolny punkt O. Przez x, y, z oznaczmy odległości punktu O odpowiednio od wierzchołków A, B, C, zaś przez p, q, r odległegłości punktu O odpowiednio od prostych BC, CA, AB. Zachodzi następująca nierówność:

      x+y+z\geq 2(p+q+r)
        Dowód: [Niebawem]
4.4 Różne
    Wysokości w trójkącie
      Dotyczy dowolnego trójkąta

      h=\frac{ab\sin{\alpha}}{c}

      Dotyczy trójkąta równobocznego.

      h=\frac{a\sqrt{3}}{2}
    Promienie okręgów wpisanych
      Dotyczy dowolnego trójkąta

      r= \sqrt {\frac{ (p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\\r=(p-a)\tan{\frac{\alpha}{2}}\\r=(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})^{-1}

      Dotyczy trójkąta równobocznego.

      r=\frac{a\sqrt{3}}{6}
    Promienie okręgów opisanych
      Dotyczy dowolnego trójkąta

      R= \frac{ abc}{4 \sqrt{ p(p-a)(p-b)(p-c)}}

      Dotyczy trójkąta równobocznego.

      R=\frac{a\sqrt{3}}{3}
    Środkowe w trójkącie
      m^{2}_{a}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}\\m^{2}_{b}=\frac{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}{4}\\m^{2}_{c}=\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}

W razie jakichkolwiek wątpliwości, chęci uzupełnienia tego tematu itp spraw proszę pisać na moją pocztę. Zlodiej


Ostatnio edytowano 18 gru 2007, o 14:26 przez Zlodiej, łącznie edytowano 28 razy

Góra
 Zobacz profil   4301107
 
Matematyka.pl
Polecam
Wyświetl posty nie starsze niż:  Sortuj wg  
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  Strona 1 z 1
  [ Posty: 1 ] 

Strona główna Forum » Matematyka - królowa nauk » Kompendium matematyka.pl » Kompendium Geometrii

 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Dział   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąty - zadanie 4  Geometria trójkąta  izunieczkaa  6
 Trójkąty - zadanie 6  Geometria trójkąta  moniska151  0
 Trójkąty - zadanie 3  Geometria analityczna  Gogith  2
 trojkaty  Prawdopodobieństwo  bullay  1
 trójkąty - zadanie 7  Planimetria  Przemas O'Black  0
 trójkąty - zadanie 2  Planimetria  owca666  5
 Trójkaty  Zadania "z treścią"  sprawdziany44  1
 trójkąty - zadanie 5  Planimetria  airowin  2
 [Kombinatoryka] Rozcinanie kwadratu na trójkąty.  Kółko matematyczne  tometomek91  3
 Trójkąty i katy  Geometria trójkąta  luqasz  4
 Dwa trójkąty i jednego kąty.  Geometria trójkąta  M4V3R1CK  1
 planimetria. trojkaty 30,60, 90 i 45, 45, 90. zadania  Geometria trójkąta  Chmurka  1
 trójkąty podobne - zadanie 11  Geometria analityczna  kaumerdbeere  1
 Trójkąty równoramienne, trapez i okręgi opisane/wpisane  Planimetria  krzychas  3
 Podział trójkąta na trójkąty równoramienne  Geometria trójkąta  pelas_91  7
 Trójkąty- zadanie tekstowe  Zadania "z treścią"  19jagoda94  2
 trojkąty własności - zadanie 2  Planimetria  konigin  1
 trójkąty i inne  Planimetria  basketmat  1
 Trójkąty wpisane i opisane - zadania  Geometria trójkąta  taktaktak  5
 Trójkąty w kwadracie - podział kwadratu  Planimetria  anula  2
 Czy te trójkąty są podobne?  Geometria trójkąta  damian1145  2
 Dwa półokręgi i dwa trójkaty  Stereometria  urchin  3
 Trójkąty podobne - zadanie 9  Geometria trójkąta  Tux  0
 Trójkąty podobne - zadanie 13  Geometria trójkąta  1209  1
 Trójkąty i trapez  Planimetria  hellsing  1
 Trójkąty prostokątne i równoramienne - zadanie 2  Geometria trójkąta  domik50  2
 Trójkaty przystające  Planimetria  anytsuj  4
 trójkąty prostokątne i inne  Geometria trójkąta  aguu18  4
 Udowodnij, że trójkąty są przystające.  Geometria trójkąta  fallassie  2
 Oblicz dł. wysokości, dzielącej trójkąt na dwa trójkąty...  Geometria trójkąta  KŚ  1

Kto przegląda Forum

Użytkownicy przeglądający to Forum: Brak zalogowanych użytkowników i 0 gości

Nie możesz rozpoczynać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz edytować swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz dodawać załączników

Szukaj:
Skocz do:  
Astronomia.pl program tv Grudziądz , Tunezja last minute - zarezerwuj na wycieczka.pl Lalka streszczenie Wypracowania z polskiego
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Netstel Software