szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2013, o 17:42 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Somewhere in middle-europe
Witam potrzebuje wskazówek do poniższych zadań. Za każdą cenną poradę będę wdzięczny.

Zadanie 1
Punkty D, E dzielą bok AB trójkąta ABC na trzy odcinki mające taką samą długość. Punkt F jest środkiem boku BC. Odcinki CE i DF przecinają się w punkcie G (zobacz rysunek). Oblicz stosunek pola trójkąta CDG do pola trójkąta ABC.


Zadanie 2
Dany jest trójkąt równoboczny o boku mającym długość a. W ten trójkąt wpisano trzy okręgi o równych promieniach w taki sposób, że każdy okrąg jest styczny do dwóch boków trójkąta i pozostałych dwóch okręgów (zobacz rysunek). Wyznacz – w zależności od a – pole figury zaznaczonej kolorem szarym.
Rysunek: http://img571.imageshack.us/img571/7239/jz97.jpg
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2013, o 09:19 
Moderator

Posty: 2792
Lokalizacja: Gołąb
Zadanie 1.
Najpierw wykażemy pewien lemat, będący znanym zadaniem, z którego skorzystamy w rozwiązaniu.
Lemat napisał(a):
W trapezie ABCD (o podstawach AB i CD) przekątne przecinają się w punkcie S. Pola trójkątów ABS i CDS są równe odpowiednio P_{1} \ i \  P_{2}. Wówczas pola trójkątów ADS i BCS są równe i wynoszą \sqrt{P_{1} \cdot P_{2}}

Dowód lematu:    

Przejdźmy do rozwiązania zadania. Zauważmy, że czworokąt CDEF jest trapezem (wynika to z własności linii środkowej trójkąta, bądź też z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa). Oznaczmy szukane pole trójkąta CDG przez P. Oczywiście trójkąty CDG i EFG są podobne w skali równej k=2. Stąd P_{EFG}= \frac{1}{4}P (stosunek pól figur podobnych równa się kwadratowi skali podobieństwa). Na mocy lematu mamy zatem: P_{DEG}=P_{CFG}= \sqrt{P \cdot  \frac{1}{4}P }= \frac{1}{2}P
Stąd pole całego trapezu CDEF wynosi P+2 \cdot  \frac{P}{2}+ \frac{1}{4}P= \frac{9}{4}P
Jednakże z drugiej strony mamy kolejno:
P_{BCD}= \frac{2}{3}P_{ABC}
P_{BEF}= \frac{1}{4}P_{BCD}= \frac{1}{6}P_{ABC}
Stąd otrzymujemy:
\frac{9}{4}P= \frac{1}{2}P_{ABC}  \Rightarrow P= \frac{2}{9}P_{ABC}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2013, o 16:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2035
Lokalizacja: Warszawa
Zad 2
Załącznik:
trójkąt okręgi.png
trójkąt okręgi.png [ 17.91 KiB | Przeglądane 1784 razy ]

Odcinek O_{2}G jest promieniem takiego okręgu. Jego długość (w zależności od a) wyznaczysz za pomocą podobieństwa trójkątów.(np. SFB \ \text{i} \ O_{2}GB)

Pole połowy szukanej części możesz wyznaczyć odejmując od pola trójkąta O_{2}GB pole wycinka kołowego.

Jeśli dalej będą problemy, daj znać. ;)
Pozdrawiam!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2013, o 19:27 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Somewhere in middle-europe
Dzięki wielkie ! Jednakże, z zadaniem 4 sam sobie dałem rade po dłuższych przemyśleniach w toalecie. Dzięki jeszcze raz. Do zamknięcia
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 9 wzorów na pole trójkąta  Anonymous  2
 Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego  Anonymous  1
 Oblicz długośći boków trójkąta. Dany obwód i pole  Anonymous  11
 Oblicz pole trójkąta - podobieństwo trójkątów  Anonymous  2
 Przy jakiej długości boków trójkąta obwód jest najm  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com