[ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 gru 2013, o 13:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
Witam. Mam takie zadanie:

Dla jakich a,b
\gamma(t)=(at,bt^2,t^3)
jest uogólnioną linią śrubowa?
Krzywa jest ULŚ jeśli iloraz skręcenia i krzywizny jest stały, więc liczę:

krzywizna
\kappa=\parallel \gamma^{''}(t)\parallel

Po przeliczeniach mam:
\kappa= \sqrt{4b^2+36t^2}

obliczyłam skręcenie \tau ze wzoru \tau= \frac{(\gamma ^{'}\times \gamma^{''})\circ\gamma^{'''}}{\parallel \gamma ^{'}\times \gamma^{''}\parallel ^2} i otrzymałam

\tau= \frac{3ab}{9b^2t^4+9a^2 t^2+a^2b^2}

Co dalej mam z tym zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2013, o 18:40 
Użytkownik

Posty: 4291
Lokalizacja: Józefów
Czy jesteś pewna, że \gamma jest parametryzacją unormowaną?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 gru 2013, o 19:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
Nie, ponieważ

\parallel \gamma^{'}(t)\parallel= \sqrt{a^2+4b^2t^2+9t^4}

nie dla każdego t jest równe 1?

Więc muszę najpierw sparametryzować krzywą \gamma łukowo?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2013, o 19:13 
Użytkownik

Posty: 4291
Lokalizacja: Józefów
Jeśli zamierzasz stosować wzory, które wymagają parametryzacji łukowej, to nie ma innej rady.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 gru 2013, o 19:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
A z równań freneta można zrobić to zadanie? Bo jak próbuje sparametryzować tę krzywą, to wychodzi trudna do policzenia całka z pierwiastkiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2013, o 19:42 
Użytkownik

Posty: 4291
Lokalizacja: Józefów
Nie jestem pewien, które wzory są nazywane wzorami Freneta, ale na pewno możesz skorzystać z takich wzorów:

\kappa(t)=\frac{\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3},

\tau(t)=\frac{\det(\gamma'(t),\gamma''(t),\gamma'''(t))}{\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\|^2}.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 gru 2013, o 20:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
No to wychodzi jeszcze gorzej niż wcześniej:

\kappa=  \frac{\sqrt{36b^2t^4+36a^2t^2+4a^2b^2}}{(a^2+4b^2t^2+9t^4)^{\frac{3}{2}}}

\tau= \frac{12ab}{36b^2t^4+36a^2t^2+4a^2b^2}

Jak to ruszyć? Bo niezależnie do którego wzoru nie podstawię, i tak nie wiem jak wyznaczyć a i b, żeby to była linia śrubowa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2013, o 20:21 
Użytkownik

Posty: 4291
Lokalizacja: Józefów
Gdy a=0 lub b=0, to dostajemy krzywą płaską i iloraz skręcenia i krzywizny jest stale równy 0.

W przeciwnym wypadku, gdyby iloraz \frac{\tau(t)}{\kappa(t)} był stały, to zachodziłaby równość \lim_{t\to\infty}\frac{\tau(t)}{\kappa(t)}=\frac{\tau(0)}{\kappa(0)}.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 gru 2013, o 20:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
W rozwiązaniu jest wskazówka, że \frac{\tau}{\kappa}=const  \Leftrightarrow 4b^2=9a^2.

Nawet jak to sobie wstawiam do powyższych równań, to wychodzi stałe tylko dla t=0. Tylko jak otrzymać 4b^2=9a^2...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2013, o 21:17 
Użytkownik

Posty: 4291
Lokalizacja: Józefów
Natasha napisał(a):
\kappa= \frac{36b^2t^4+36a^2t^2+4a^2b^2}{(a^2+4b^2t^2+9t^4)^{\frac{3}{2}}}

Hm, czy w liczniku nie brakuje pierwiastka?

Natasha napisał(a):
Nawet jak to sobie wstawiam do powyższych równań, to wychodzi stałe tylko dla t=0.

Tego nie rozumiem. Stałość w tym wypadku polega na tym, że wstawiając różne t otrzymujesz ten sam wynik.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 gru 2013, o 21:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 985
poprawione :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Prosta i linia
Napisać równanie prostej l przechodzącej przez punkt P(0,-1,1) równoległej do \pi : 2x-3z+1=0...
 dawid0512  1
 linia bedaca zbiorem punktów
Napisz równanie linii bedacej zbiorem punktów rónoodalonych od okregu o równaniu x^2+y^2=100 i od punktu A(-3,0). nie bardzo rozumiem co to jest za linia ja powiedzialabym ze ta linia to y=-3x...
 Vixy  6
 Linia na podstawie punktów - jak to ograniczyć?
Witam wszystkich - jest to mój pierwszy wpis, mam nadzieję, że umieszczam go we właściwym miejscu. Sprawa wygląda następująco - robię programik, który na podstawie jakiś tam próbek ma tworzyć linię (akurat na wykresie), który sobie można za pomocą W...
 juzwos  0
 Czy suma uogólniona ma sens dla dowolnego zbioru?
Mam pewne wątpliwości dotyczące samych fundamentów teorii mnogości. Mianowicie w celu odświeżenia wiedzy czytam sobie ten skrypt: http://www.mimuw.edu.pl/~urzy/Wtm/wtm.p...
 Peter_85  1
 Udowodnij uogólnioną nierówność Bernoulliego
(1+a)^{n} \ge 1+na+\frac{n(n-1)}{2}a^{2} \ a \ge 0 \\ 1^{o} \\ n=1 Dla n=1 nierówność jest oczywista biorąc przy tym liczbę a zgodnie z warunkami nierówności L \ge P Teraz ...
 wiecznie_pytajacy  2
 Uogólniona suma i iloczyn zbiorów - zadanie 2
Witam, mam olbrzymi problem ponieważ przygotowując się do kolokwium okazało się że prowadzący przeoczył jeden nieprzerabiany przez moją grupę materiał dotyczący mianowicie uogólnionej sumy i iloczynu zbiorów. Ten punkt mamy opracować sami, a ja prze...
 revange123  0
 Zadanie z sumą uogólnioną zbiorów
\bigcup_{t T} (A_t \cup B_t) = \bigcup_{t T} A_t \cup \bigcup_{t ...
 petro  1
 zbiór potęgowy oraz uogólniona suma i iloczyn
\emptyset \neq V \subseteq X niech będzie spełniony warunek \forall_{U \in 2^X} \ A_U=U \cap V znaleźć \bigcap_{U \in 2^X}A_U,\bigcup_{U \in 2^X}A_U obstawiam, ...
 Czeczot  2
 Okrąg i linia styczna
Mam okrąg o promieniu R i linie styczną o dł.2L. Styka się z okręgiem w swojej połowie, to niech będzie punkt A. Punkt B jest oddalony na lini o L (czyli na końcu długości). Od B jest poprowadzona prostopadła i przecinająca okrąg w C. Oblicz długość ...
 fryxjer  2
 Dany trójkąt podziel na 7 części linią łamaną tak ab
dany trójkąt podziel na siedem części o równych polach linią łamaną tak że wszystkie wierzchołki łamanej należą do brzegów trójkąta oraz odcinki łamanej nie zawierają się w bokach tego trójkąta. Jak w ogóle wygląda tak podzielony trójkąt? [size=75:...
 vilgefortz  9
 Linia Produkcyjna
Błąd w zadaniu...
 Epso  1
 Suma uogólniona zbiorów, dowód indukcyjny
Udowodnij indukcyjnie, że: \bigcup_{}^{n} A_{k} = \bigcup_{k=1}^{n}...
 piotrekd4  0
 Suma uogólniona - zadanie 5
Poproszę o sprawdzenie poprawności dowodu (i jednocześnie z góry dziękuję). Wyznaczyc \bigcup_{t\in\mathbb N} A_t, gdzie A_t=\left\{x:\frac{t}{t+1}\le x<\frac{t+1}{t+2}\right\}. Tak więc:...
 Edward W  0
 Uogólniona suma i iloczyn rodziny zbiorów
Hej Bardzo proszę o pomoc przy tym zadaniu. Dla I=R należy wyznaczyć uogólnioną sumę i różnicę rodzin zbiorów. A _{i} = \left\{ x:x=\sin\left( ...
 irracjonalistka  1
 uogólniona suma, iloczyn
Niech n qslant x qslant m Obliczyć [tex:3sjj0ik...
 Hania_87  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com