szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2014, o 20:15 
Użytkownik

Posty: 182
Lokalizacja: Polska
Wyznaczyć wszystkie k naturalne dodatnie dla których spełniony jest warunek \frac{m}{n}<\sqrt{k}<\frac{m+2n}{m+n} \vee \frac{m+2n}{m+n}<\sqrt{k}<\frac{m}{n} przy dowolnych m,n naturalnych dodatnich.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 02:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3741
Lokalizacja: Łódź
Ponieważ ta alternatywa ma zachodzić dla dowolnych naturalnych dodatnich m i n, to trzeba się zastanowić, kiedy te "widełki" (czyli \left|  \frac{m+2n}{m+n}- \frac{m}{n}  \right| ) są najwęższe.
Zauważ, że \frac{m+2n}{m+n}=1+ \frac{n}{m+n}. Stąd wynika, że
1< \frac{m+2n}{m+n}<2
a więc trzeba sprawdzić, jakie k spełniają naszą alternatywę dla \frac{m}{n} \rightarrow 1 i dla \frac{m}{n} \rightarrow 2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 11:42 
Użytkownik

Posty: 182
Lokalizacja: Polska
Nie rozumiem dlaczego \left| \frac{m+2n}{m+n}- \frac{m}{n} \right| musi być najwęższe. Na przykład przedział (0.999,1.0001) jest węższy od przedziału (1,1.4), a w pierwszym przedziale znajduje się \sqrt{k} dla pewnego k naturalnego, a w drugim przedziale nie, więc gdyby istniały takie m,n, że \frac{m}{n}=1,\frac{m+2n}{m+n}=1.4, to odpowiedź do zadania byłaby, że nie istnieje takie k aby przy dowolnych m,n (...) . Oczywiście takie m,n nie istnieją, ale skąd wiadomo, że nie da się znaleźć szerszego przedziału \left(\frac{m}{n},\frac{m+2n}{m+n} \right) lub \left(\frac{m+2n}{m+n}, \frac{m}{n} \right) niż przedział najwęższy dla którego k nie istnieje, że \sqrt{k} spełnia odpowiednią nierówność?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 14:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3741
Lokalizacja: Łódź
Akurat ten przykład jest zły, bo w obydwu podanych przez Ciebie przedziałach znajduje się \sqrt{1}. Chodziło mi o to, że przy ustalonym środku przedziału \left(\frac{m+2n}{m+n}, \frac{m}{n} \right), jak \sqrt{k} "wstrzeli" się w węższy przedział, to również będzie w szerszym. Innymi słowy, im \frac{m}{n} będzie "dalej" od naszego przedziału (1,2) tym więcej pierwiastków z liczb naturalnych będzie spełniało naszą alternatywę. A chodzi o to, żeby znależć tylko te pierwiastki, które pasują do wszystkich przedziałów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 14:48 
Użytkownik

Posty: 182
Lokalizacja: Polska
kropka+ napisał(a):
Akurat ten przykład jest zły, bo w obydwu podanych przez Ciebie przedziałach znajduje się \sqrt{1}.


Jak to? \sqrt{1} \in (1,1.4)?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 14:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3741
Lokalizacja: Łódź
Racja.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 16:06 
Użytkownik

Posty: 182
Lokalizacja: Polska
kropka+ napisał(a):
Akurat ten przykład jest zły, bo w obydwu podanych przez Ciebie przedziałach znajduje się \sqrt{1}. Chodziło mi o to, że przy ustalonym środku przedziału \left(\frac{m+2n}{m+n}, \frac{m}{n} \right), jak \sqrt{k} "wstrzeli" się w węższy przedział, to również będzie w szerszym. Innymi słowy, im \frac{m}{n} będzie "dalej" od naszego przedziału (1,2) tym więcej pierwiastków z liczb naturalnych będzie spełniało naszą alternatywę. A chodzi o to, żeby znależć tylko te pierwiastki, które pasują do wszystkich przedziałów.


No ale \frac{m}{n} zmienia się wraz z \frac{m+2n}{m+n}, więc dlaczego akurat rozważać przy \frac{m}{n} \rightarrow 1? Dlaczego to będzie najwęższy przedział?
Analogicznie dlaczego przy \frac{m}{n} \rightarrow 2 będzie najwęższy przedział skoro drugi koniec tego przedziału \frac{m+2n}{m+n} zmienia się wraz z \frac{m}{n}?

Skoro oba końce przedziałów zależą od m,n to skąd wiemy czy zbliżając jeden koniec przedziału do 1 lub 2 nie oddalamy się drugim końcem?
Rozumiem, że jeśli \frac{m}{n}<1 to na pewno \sqrt{1} spełnia odpowiednią nierówność oraz jeśli \frac{m}{n}>2 to na pewno \sqrt{4} spełnia odpowiednią nierówność, ale co w pozostałym przypadku, gdy 1 \le \frac{m}{n} \le 2 ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 16:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3741
Lokalizacja: Łódź
Masż rację. Najwęższy przedział będzie dla środka przedziału (1,2), czyli dla \frac{m}{n}=1,5 . To jakie \sqrt{k} do niego należą?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 18:55 
Użytkownik

Posty: 182
Lokalizacja: Polska
Nadal nie rozumiem co i w jakim celu robimy.
Zakładam, że \frac{m}{n} \in [1,2]. Możesz napisać konkretnie jaką tezę mam najpierw wykazać aby przybliżyć się do rozwiązania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 19:04 
Moderator

Posty: 9724
Lokalizacja: Bydgoszcz
Rozumowanie jest proste - jeśli alternatywna musi być spełniona zawsze, to w szczególności także dla m=n=1, a zatem musi być 1< \sqrt{k}<\frac 32. Stąd zaś widać, że jedyną możliwością jest k=2.

Pozostaje teraz sprawdzić, że dla takiego k się zgadza, czyli że zawsze prawdą jest, że:
\frac{m}{n}<\sqrt{2}<\frac{m+2n}{m+n} \vee \frac{m+2n}{m+n}<\sqrt{2}<\frac{m}{n}
W tym celu wystarczy pokazać dwie implikacje:
\frac{m}{n}<\sqrt{2}  \Rightarrow  \sqrt{2}<\frac{m+2n}{m+n}\\
\frac{m}{n}>\sqrt{2}  \Rightarrow  \sqrt{2}>\frac{m+2n}{m+n}
co nie powinno być już trudne.

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wzory skróconego mnożenia, wartość bezwzględna, pierwiastki.  vaxius  2
 Potęgi i pierwiastki, zadanie  padman  1
 Nieskończenie wiele liczb  Zahion  11
 iloczyn czterech liczb pierwszych  zalzal  1
 Wartość wyrażenia dla ilorazu dwóch liczb.  nefesz123  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com