[ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2014, o 20:15 
Użytkownik

Posty: 182
Lokalizacja: Polska
Wyznaczyć wszystkie k naturalne dodatnie dla których spełniony jest warunek \frac{m}{n}<\sqrt{k}<\frac{m+2n}{m+n} \vee \frac{m+2n}{m+n}<\sqrt{k}<\frac{m}{n} przy dowolnych m,n naturalnych dodatnich.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 02:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3168
Lokalizacja: Łódź
Ponieważ ta alternatywa ma zachodzić dla dowolnych naturalnych dodatnich m i n, to trzeba się zastanowić, kiedy te "widełki" (czyli \left|  \frac{m+2n}{m+n}- \frac{m}{n}  \right| ) są najwęższe.
Zauważ, że \frac{m+2n}{m+n}=1+ \frac{n}{m+n}. Stąd wynika, że
1< \frac{m+2n}{m+n}<2
a więc trzeba sprawdzić, jakie k spełniają naszą alternatywę dla \frac{m}{n} \rightarrow 1 i dla \frac{m}{n} \rightarrow 2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 11:42 
Użytkownik

Posty: 182
Lokalizacja: Polska
Nie rozumiem dlaczego \left| \frac{m+2n}{m+n}- \frac{m}{n} \right| musi być najwęższe. Na przykład przedział (0.999,1.0001) jest węższy od przedziału (1,1.4), a w pierwszym przedziale znajduje się \sqrt{k} dla pewnego k naturalnego, a w drugim przedziale nie, więc gdyby istniały takie m,n, że \frac{m}{n}=1,\frac{m+2n}{m+n}=1.4, to odpowiedź do zadania byłaby, że nie istnieje takie k aby przy dowolnych m,n (...) . Oczywiście takie m,n nie istnieją, ale skąd wiadomo, że nie da się znaleźć szerszego przedziału \left(\frac{m}{n},\frac{m+2n}{m+n} \right) lub \left(\frac{m+2n}{m+n}, \frac{m}{n} \right) niż przedział najwęższy dla którego k nie istnieje, że \sqrt{k} spełnia odpowiednią nierówność?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 14:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3168
Lokalizacja: Łódź
Akurat ten przykład jest zły, bo w obydwu podanych przez Ciebie przedziałach znajduje się \sqrt{1}. Chodziło mi o to, że przy ustalonym środku przedziału \left(\frac{m+2n}{m+n}, \frac{m}{n} \right), jak \sqrt{k} "wstrzeli" się w węższy przedział, to również będzie w szerszym. Innymi słowy, im \frac{m}{n} będzie "dalej" od naszego przedziału (1,2) tym więcej pierwiastków z liczb naturalnych będzie spełniało naszą alternatywę. A chodzi o to, żeby znależć tylko te pierwiastki, które pasują do wszystkich przedziałów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 14:48 
Użytkownik

Posty: 182
Lokalizacja: Polska
kropka+ napisał(a):
Akurat ten przykład jest zły, bo w obydwu podanych przez Ciebie przedziałach znajduje się \sqrt{1}.


Jak to? \sqrt{1} \in (1,1.4)?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 14:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3168
Lokalizacja: Łódź
Racja.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 16:06 
Użytkownik

Posty: 182
Lokalizacja: Polska
kropka+ napisał(a):
Akurat ten przykład jest zły, bo w obydwu podanych przez Ciebie przedziałach znajduje się \sqrt{1}. Chodziło mi o to, że przy ustalonym środku przedziału \left(\frac{m+2n}{m+n}, \frac{m}{n} \right), jak \sqrt{k} "wstrzeli" się w węższy przedział, to również będzie w szerszym. Innymi słowy, im \frac{m}{n} będzie "dalej" od naszego przedziału (1,2) tym więcej pierwiastków z liczb naturalnych będzie spełniało naszą alternatywę. A chodzi o to, żeby znależć tylko te pierwiastki, które pasują do wszystkich przedziałów.


No ale \frac{m}{n} zmienia się wraz z \frac{m+2n}{m+n}, więc dlaczego akurat rozważać przy \frac{m}{n} \rightarrow 1? Dlaczego to będzie najwęższy przedział?
Analogicznie dlaczego przy \frac{m}{n} \rightarrow 2 będzie najwęższy przedział skoro drugi koniec tego przedziału \frac{m+2n}{m+n} zmienia się wraz z \frac{m}{n}?

Skoro oba końce przedziałów zależą od m,n to skąd wiemy czy zbliżając jeden koniec przedziału do 1 lub 2 nie oddalamy się drugim końcem?
Rozumiem, że jeśli \frac{m}{n}<1 to na pewno \sqrt{1} spełnia odpowiednią nierówność oraz jeśli \frac{m}{n}>2 to na pewno \sqrt{4} spełnia odpowiednią nierówność, ale co w pozostałym przypadku, gdy 1 \le \frac{m}{n} \le 2 ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 16:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3168
Lokalizacja: Łódź
Masż rację. Najwęższy przedział będzie dla środka przedziału (1,2), czyli dla \frac{m}{n}=1,5 . To jakie \sqrt{k} do niego należą?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 18:55 
Użytkownik

Posty: 182
Lokalizacja: Polska
Nadal nie rozumiem co i w jakim celu robimy.
Zakładam, że \frac{m}{n} \in [1,2]. Możesz napisać konkretnie jaką tezę mam najpierw wykazać aby przybliżyć się do rozwiązania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2014, o 19:04 
Moderator

Posty: 9440
Lokalizacja: Bydgoszcz
Rozumowanie jest proste - jeśli alternatywna musi być spełniona zawsze, to w szczególności także dla m=n=1, a zatem musi być 1< \sqrt{k}<\frac 32. Stąd zaś widać, że jedyną możliwością jest k=2.

Pozostaje teraz sprawdzić, że dla takiego k się zgadza, czyli że zawsze prawdą jest, że:
\frac{m}{n}<\sqrt{2}<\frac{m+2n}{m+n} \vee \frac{m+2n}{m+n}<\sqrt{2}<\frac{m}{n}
W tym celu wystarczy pokazać dwie implikacje:
\frac{m}{n}<\sqrt{2}  \Rightarrow  \sqrt{2}<\frac{m+2n}{m+n}\\
\frac{m}{n}>\sqrt{2}  \Rightarrow  \sqrt{2}>\frac{m+2n}{m+n}
co nie powinno być już trudne.

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Iloczyn sum liczby a i kolejnych liczb nieparzystych
Takie wyrażonko: (a+1)(a+3)(a+5)(a+7)(a+9)(a+11)=... Na początku chciałem to zrobic drogą: (a+1)= =(a+1)= =(a+1)[(a+1)^3+18(a+1)^2+80(a+1...
 Taschon  1
 świat liczb rzeczywistych
Wskaz liczbę niewymierna x taką, aby wartość poniższego wyrażenia była liczbą wymierną: a)sqrt11/x b)sqrt111+x...
 jawor  7
 porównywanie liczb rzeczywistych
która z liczb jest większa: A=sqrt(9+4*sqrt(5)) czy B=sqrt^3(38+17*sqrt(5)) i jeszcze takie: A=222^555 czy B=555^222 Byłbym wdzięczny za sposób rozwiązywania tego typu zadań. Z góry dzieki....
 Tomo  3
 Rozstrzygnij, która z liczb jest większa
Rozstrzygnij, która z liczb jest większa: 22^{55} czy 55^{22} ? Kiedyś to zadanie było robione na kółku, lecz zgubiłem gdzieś obliczenia, wiem że 22^{55} jest ...
 Tomasz B  5
 pierwiastki-mały problem
Mam równanie zapewne komicznie śmieszne, ale dla mnie nierozwiązywalne. Proszę o rozpisanie : &#8730; &#8730; &#8730; a a może jeszcze: &#8730; � &#8730; a rozwiązywanie oczywiście w postaci : a^x pozdrawiam ...
 kasiek  4
 pierwiastki
Jak rozwiązać dany przykład? \sqrt{6-4\sqrt{2}}-\sqrt{6+4\sqrt{2}}...
 koala  2
 sprawdzanie która z liczb jest większa
Nie wiem czy umieściłam ten temat we właściwym miejscu, ale zdecydowałam drogą dedukcji że najlapiej pasuje właśnie tu Zadanie jest banalne, ale nie jestem pewna c...
 czkawka  12
 Porównanie liczb (bez kalkulatora)
Witam, Jak zrobić coś takiego: Która z liczb a czy b jest większa, jeżeli a = 2\sqrt{5} + \sqrt{21}, b=9. Oblicz bez użycia kalkulatora. Z góry serdeczne dzięki....
 Mateusz Kempa  2
 Pierwiastki - zadania.
1. \sqrt{11-4\sqrt{7}}-\sqrt{32-10\sqrt{7}} 2. \sqrt{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}+\sqrt{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}=3 3.&#40;\frac{9}{x+8}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x^{2}}-2...
 Keido  4
 pierwiastki - zadanie 2
a � × a -3 × &#8730; a5 × &#8730; (a � × &#8730; a8) No właśnie Nie wiem czy dobrze to napisa...
 drypy  1
 Potęgi i pierwiastki
Wiemy, że a=x^{3}*\sqrt{y} b=2y*\sqrt{y}*\sqrt{x} Wyznacz T=\frac{4a^{2}}{b^{6}}...
 Pyszu  3
 Pierwiastki, równość, dowód
Należy dowieść, że: \sqrt{5+2\sqrt{6}}+\sqrt{9-6\sqrt{2}}=2\sqrt{2+\sqrt{3}} Proszę o pomoc ...
 anthol  1
 Uzasadnianie wielokrotności danych liczb.
Mam problem w tym i kompletnie nie wiem jak mam się za to zabrać : Uzasadnij,że: (głównie chodzi mi o rozwiązanie tylko jednego przykładu żebym załapał...
 KRIS_LBN  4
 Dodawanie ułamków ( w mianowniku pierwiastki)
Jako iż nie przepadam za bardzo za pierwiastkami bardzo prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu tego: a=\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\ b=\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \\ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=...
 Javier  2
 Używając 4 liczb zapisz ułamek okresowy
mam takie zadanie - ponnoc jest 16 rozwiazan - sprobuj zrobic: Używając 4 cyfr 0,1,2,3 (każdy dokladnie raz), zapisz ulamek okresowy większy od 0,(123) i jednocześnie mniejszy od 0,(321). Ile takich ulamków można zapisać? Ja mam 6 (a wlasciwie 4 bo 0...
 smeagol  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com