szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sty 2005, o 14:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2973
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
1. Pojęcie ciągu. Ciągi liczbowe.

Definicja 1.: Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych \mathbb{N} lub jego skończony odcinek początkowy \{1, 2, 3, ..., m\}.

W pierwszym przypadku ciąg nazywa się ciągiem nieskończonym, a w drugim ciągiem skończonym, dokładniej m-elementowym lub m-wyrazowym.

Definicja 2.: Ciągiem liczbowym nazywamy ciąg, którego wyrazy są liczbami.

Ciąg liczbowy jest jednoznacznie określony przez podanie ogólnego wzoru, wyrażającego n-ty wyraz a_n jako funkcję zmiennej n, lub przez podanie wzoru rekurencyjnego wyrażającego a_n przez wyrazy wcześniejsze: a_1,\, a_2,\,  a_3,\, ...,\, a_{n-1}, musi być przy tym podany pierwszy wyraz. Nie każdy ciąg liczbowy można przedstawić tymi sposobami.


2. Ciągi ograniczone. Ciągi monotoniczne.

Definicja 3.: Ciągiem ograniczonym nazywamy ciąg liczbowy, którego zbiór wyrazów jest zbiorem ograniczonym.

Ciąg liczb rzeczywistych (a_n) jest ciągiem ograniczonym z góry lub odpowiednio z dołu, gdy zbiór jego wyrazów jest ograniczony z góry (z dołu). Mamy zatem:

* ciąg (a_n) jest ciągiem ograniczonym z góry \Longleftrightarrow\,\,\bigvee_{r\in\mathbb{R}}\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\,\, a_n\leq r

* ciąg (a_n) jest ciągiem ograniczonym z dołu \Longleftrightarrow\,\,\bigvee_{r\in\mathbb{R}}\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\,\, a_n\geq r

* ciąg (a_n) jest ciągiem ograniczonym \Longleftrightarrow\,\,\bigvee_{r\in\mathbb{R}}\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\,\, |a_n|\leq r.


Definicja 4.: Ciąg liczb rzeczywistych (a_n) nazywamy ciągiem monotonicznym, jeśli spełnia jeden z dwóch warunków:

(1) \bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\,\, a_{n+1}\geq a_n lub

(2) \bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\,\, a_{n+1}\leq a_n.

Jeśli spełniony jest warunek (1), ciąg (a_n) jest ciągiem niemalejącym, jeśli warunek (2) – ciąg jest ciągiem nierosnącym. Gdy warunek (1) lub (2) jest spełniony w mocniejszej postaci, z nierównością ostrą zamiast słabej, ciąg (a_n) nazywamy ciągiem rosnącym lub odpowiednio ciągiem malejącym. Ciąg, który jest malejący lub rosnący, nazywamy ciągiem ściśle monotonicznym.


3. Pojęcie granicy. Ciągi zbieżne i rozbieżne.

Definicja 5.: Liczbę g nazywamy granicą ciągu nieskończonego (a_n), jeśli dla każdej liczby dodatniej \epsilon istnieje taka liczba k, że dla n>k zachodzi nierówność: |a_n-g|<\epsilon

Definicja 6.: Ciągiem zbieżnym (rozbieżnym) nazywamy ciąg, który posiada granicę (nie posiada granicy).


4. Twierdzenia dotyczące ciągów i ich granic.

Twierdzenie 1.: Jeśli ciąg posiada granicę, to tylko jedną.

Twierdzenie 2.: Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Twierdzenie 3.: Przy założeniu, że ciągi (a_n) i (b_n) są zbieżne zachodzą następujące wzory:

(1) \lim_{n \to \infty}(a_n+b_n)= \lim_{n \to \infty}a_n+ \lim_{n \to \infty}b_n

(2) \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)= \lim_{n \to \infty}a_n- \lim_{n \to \infty}b_n

(3) \lim_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)= \lim_{n \to \infty}a_n \cdot \lim_{n \to \infty}b_n

(4) \lim_{n \to \infty}( \frac{a_n}{b_n})= \frac{\lim_{n \to \infty} a_n}{\lim_{n \to \infty} b_n}, o ile \lim_{n \to \infty}b_n \neq 0.

Wniosek z (3): \lim_{n \to \infty}(-a_n)=- \lim_{n \to \infty}a_n.

Twierdzenie 4.: Jeżeli ciąg (b_n) jest zbieżny i \lim_{n \to \infty}b_n \neq 0, to \lim_{n \to \infty}( \frac{1}{b_n})= \frac{1}{ \lim_{n \to \infty}b_n}.

Twierdzenie 5.: Jeżeli ciąg (a_n) jest zbieżny to zachodzi: \lim_{n \to \infty}|a_n|=| \lim_{n \to \infty}a_n|.

Twierdzenie 6. (twierdzenie o trzech ciągach): Jeśli a_n \leq c_n \leq b_n i \lim_{n \to \infty}a_n=g= \lim_{n \to \infty}b_n, to ciąg (c_n) jest zbieżny, przy czym

\lim_{n \to \infty}c_n= \lim_{n \to \infty}b_n= \lim_{n \to \infty}a_n

Twierdzenie 7.: Zmiana skończonej ilości wyrazów ciągu nie wpływa na zbieżność tego ciągu ani na jego granicę.

Twierdzenie 8.: Podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy, co ciąg dany (jeśli \lim_{n \to \infty}a_n=g, to \lim_{n \to \infty}a_{m_n}=g).

Twierdzenie 9. (Bolzano-Weierstrassa): Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.

Dowód:
Niech wszystkie wyrazy ciągu (x_n) należą do przedziału [a,b]. Podzielmy ten przedział na na połowy. Wówczas co najmniej w jednej połówce zawarte jest nieskończenie wiele wyrazów naszego ciągu, bo w przeciwnym wypadku w całym przedziale [a,b] byłoby tylko skończenie wiele wyrazów ciągu, co oczywiście jest niemożliwe. Niech więc [a_1,b_1] będzie tą połową przedziału, która zawiera nieskończenie wiele liczb x_n.
Podobnie robimy z przedziałem [a_1,b_1], wydzielamy jego połowę [a_2,b_2] zawierającą nieskończenie wiele wyrazów ciągu (x_n).
Powtarzając to postępowanie w nieskończoność, w k-tym kroku wydzielamy przedział [a_k,b_k], zawierający również nieskończenie wiele wyrazów ciągu (x_n).
Każdy z utworzonych w ten sposób przedziałów (począwszy od drugiego) zawiera się w poprzednim, stanowiąc jego połowę. Ponadto długość k-tego przedziału, równa b_k-a_k=\frac{b-a}{2^k} dąży do zera wraz ze wzrostem k.
Wiedząc, że jeśli granica dwóch ciągów jest zbieżna do zera, to są one zbieżne do wspólnej granicy, wnioskujemy, że a_k i b_k dążą do wspólnej granicy g. Podciąg (x_{n_k}) konstruujemy indukcyjnie. Jako x_{n_1} bierzemy dowolny (np. pierwszy) wyraz ciągu (x_n) zawarty w przedziale [a_1,b_1]. Jako x_{n_2} bierzemy dowolny z wyrazów ciągu (x_n) następujących po x_{n_1} i zawartych w przedziale [a_2,b_2] itd... Ogólnie jako x_{n_k} obieramy dowolny (np. pierwszy) z wyrazów (x_n) następujący po wyrazach x_{n_1},\, x_{n_2},\, ...,\, x_{n_{k-1}} zawartych w przedziale [a_k,b_k]. Możliwość takiego wyboru przebiegającego kolejno, zawdzięczamy temu, że każdy z przedziałów [a_k,b_k] zawiera nieskończenie wiele liczb x_n. Ponieważ a_k\leq x_{n_k}\leq b_k i \lim_{k\to\infty} a_k=\lim_{k\to\infty} b_k=c, z twierdzenia o trzech ciągach mamy, że \lim_{k \to\infty}x_{n_k}=c, Q.E.D.

Twierdzenie 10.: Jeśli ciąg (a_n) jest ograniczony i jeśli wszystkie jego podciągi zbieżne są zbieżne do tej samej granicy g, to również ciąg (a_n) jest zbieżny do granicy g.

Twierdzenie 11. (warunek Cauchy'ego): Na to, by ciąg (a_n) był zbieżny, potrzeba i wystarcza aby dla każdego \epsilon>0 istniała taka liczba r, że dla n>r zachodzi nierówność |a_n-a_r|<\epsilon

Twierdzenie 12.: Ciąg rosnący nieograniczony z góry jest rozbieżny do \infty.

Twierdzenie 13.: Jeśli \lim_{n \to \infty}a_n= \pm \infty, to \lim_{n \to \infty}( \frac{1}{a_n})=0.

Twierdzenie 14.: Jeśli \lim_{n \to \infty}a_n= \infty, zaś ciąg (b_n) jest ograniczony z dołu, to \lim_{n \to \infty}(a_n+b_n)= \infty.

Twierdzenie 15.: Jeśli \lim_{n \to \infty}a_n= \infty oraz stale b_n \geq c, przy czym c>0, to \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\infty.

Twierdzenie 16.: Jeśli \lim_{n\to\infty}a_n=\infty oraz a_n\leq b_n, to \lim_{n\to\infty}b_n=\infty.

Twierdzenie 17.: Jeśli |a|<1, to \lim_{n\to\infty}a^n=0.

Twierdzenie 18.: Jeśli a>1, to \lim_{n \to \infty}a^n= \infty.

Twierdzenie 19.: Jeśli a>0, to \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1.

Twierdzenie 20.: Jeśli a>0 i jeśli (r_n) jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do 0, to \lim_{n\to\infty}a^{r_n}=1.

Twierdzenie 21. (Stolza): Niech b_n\rightarrow +\infty, przy czym - choćby poczynając od pewnego miejsca - b_n rośnie wraz z n, tj. b_{n+1}>b_n. Wówczas
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_n}{b_n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}} \right)

jeśli tylko istnieje granica po prawej stronie (skończona lub nieskończona).

Twierdzenie 22.
Ciąg nieograniczony z góry (z dołu) zawiera podciąg rozbieżny do +\infty\; (-\infty)
Wniosek: (wraz z tw. B-W)
Każdy ciąg nieskończony zawiera podciąg mający granicę (skończoną lub nie).

Twierdzenie 23.
Jeśli \lim_{n\to \infty} a_n=g, to \lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n}{n}=g
Dowód: np. z tw. Stolza.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Wniosek z tw. 23:
Jeśli \lim_{n\to \infty}(b_n-b_{n-1})=b, to \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n}=b
(wystarczy przyjąć b_1=a_1, \; b_n-b_{n-1}=a_n)


Twierdzenie 24.
Jeśli \forall{n\in\mathbb{N}}\; a_n>0 oraz \lim_{n\to \infty} a_n=g, to \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=g
Dowód z wykorzystaniem poprzedniego twierdzenia i ciągłości funkcji logarytmicznej i wykładniczej:
Przyjmijmy
b_n=\ln a_n, \; \lim_{n\to\infty}b_n=\ln g
wtedy:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=\lim_{n\to\infty}e^\frac{\ln (a_1a_2\cdots a_n)}{n}=e^{\ln g}=g

gdyż
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln (a_1a_2\cdots a_n)}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln a_1+\ln a_2+...+\ln a_n}{n}=\\=\lim_{n\to\infty}\frac{b_1+b_2+...+b_n}{n}=\lim_{n\to\infty}b_n=\ln g

Wniosek z tw.:

Jeżeli \lim_{n\to \infty} \frac{b_n}{b_{n-1}}=g, to \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n}=g
(przyjmujemy b_1=a_1,\; \frac{b_n}{b_{n-1}}=a_n)

I nierówność z tym związana: (założenie: a_n>0)
\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le \limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}

Twierdzenie 25.
Jeśli \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1 lub \limsup_{n\to\infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<1, to \lim_{n\to \infty}a_n=0
(wykorzystanie kryteriów zbieżności szeregów).


Edit by Tomek R.: Postaram się sukcesywnie uzupełniać powyższy artykuł ^_^.
Edit by Lorek: poprawki+uzupełnienie

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciąg (a_n) posiada co najwyżej jedną granicę
Ciąg &#40;a_{n}&#41; posiada co najwyżej jedną granicę. Przypuśćmy, że a_{n}\rightarrow g_{1} oraz a_{n}\rightarrow g_{2}, przy czym niech np. g_{1}...
 bolo  0
 Ciąg (a_n) ma granicę niewłaściwą, to lim(1/a_n)=0
Jeżeli ciąg &#40;a_{n}&#41; ma granicę niewłaściwą oraz a_{n}\neq 0 dla n=1,2,3,..., to \lim_{n\to\...
 bolo  0
 Ciąg (a_n) ma granicę 0, to (1/a_n) ma granicę niewłaśc
Twierdzenie:Jeżeli a_{n}&gt;0, dla n=1,2,3,... oraz \lim_{n\to\infty}a_{n}=0, [u:gcy...
 bolo  0
 Ciagi geste, zasada szufladkowa, aproksymacje diofantyczna
Niech \{x\}=x-\lfloor x\rfloor\in oznacza część ułamkową liczby x. Zajmiemy się zbiorem N&#40;x&#41;:=\{\{nx\}:n\in\mathbb{N}\}\subseteq. Dla [te...
 xiikzodz  0
 (3 zadania) Czy istnieją ciagi liczb o własnościach ... ?
Czy istnieją ciągi liczb rzeczywistych (an) i (bn) o tej własności, że a) an + bn --> 2 i an*bn --> 3 gdy n dąży do nieskończoności b) an^2 + bn^2 -->8 i an*bn --> 5 gdy n dąży do nieskończoności c) an - bn --> 5 i an*bn --> 7 gdy n dązy do nieskończ...
 Anonymous  3
 Granice funkcji.
Jak obliczyc granice funkcji f(x)=pierwiastek(x^4+x^2-6) - x^2 , gdy x dazy do + i do - nieskonczonosci! Z gory dzieki!...
 Anonymous  6
 (2 zadania) Znajdź wyrazy ciągów arytmetycznych
1 Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny wynosi 30. Jeżeli od pierwszej liczby odejmiemy 5, od drugiej odejmiemy 4, a trzecią pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg geometryczny. Znajdź te liczby. 2 Liczby 5x-y, 2x+y, x+2y tworzą ciag aryt...
 Anonymous  2
 Wyprowadzenie podstawowych wzorów dotyczących ciągów.
Potrzebuję wyprowadzenie wzorów na obliczenie n-tego wyracu ciągu arytmet. i geometr. oraz na obliczanie sumy n-wyrazów ciągu aryt. i geometr....
 Anonymous  6
 (2 zadania) Układ równań. Ciągi arytemtyczne i geometry
1. Dany jest układ równań: x + 2y + z = 2m -x + 4y + z = 8 2x - y - z = m - 8 Rozwiąż ten układ równań oraz zbadaj dla jakiej wartości m pierwiastki x, y, z tworzą: a) ciąg geometryczny b) ciąg arytmetyczny 2. Wyraz trzeci i piąty ciągu arytmetyc...
 Anonymous  2
 (2 zadania) Zbadaj monotoniczność ciągów
1. Zbadaj monotoniczność ciągów a_n i b_n oraz oblicz granicę o ile ona istnieje : a) a_n = (2n - 1)/(3n + 1) b) b_n = (-1/2)^n 2. Ciąg a_n jest określony wzorem a_n = (17-8n)/(2n + 1). Zbadaj jego monotoniczność. Które wyrazy ciągu należą do ...
 Anonymous  4
 Granice funkcji wielu zmiennych
Witam Przy liczeniu lim(x,y,z)->(0,0,0) można wykazać, że ta granica nie istnieje podstawiając np.x=y=a/n i z=b/n stąd lim n->oo[a2/(2a2+b2) czyli wartość zależy od a,b. Mam do policzenia granicę lim (x,y,z)->(0,0,0)[x/(2x2+y4+z8)^(1/...
 malgosia  1
 Wzór na maksimum różnicy dwóch ciągow geometrycznych
Witam W liceum bylem calkiem niezly z matmy (mialem swietna nauczycielke ), ale czesc rzeczy potrzebuje &quot;odsiwezenia&quot;. Teraz pracuje w firmie zajmujacej sie marketingiem internetowy, a ja robie jedna analize wynikow. Nie moge sobie prz...
 Tojan3  8
 Oblicz granicę ciagu
Nie mogę wyliczyć tej granicy. Czy byłby w stanie ktoś pomóc? \large \lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot 2^{2n+2}-10}{5\cdot 4^{n-1}+3} Z góry dziękuję za rozwiązanie! Pozdrawiam!...
 :)  4
 Oblicz granicę funkcji przy x->0
Witam. Mam kilka zadań do zrobienia z granic ciągów właśnie, jednakże nie mogę sobie dać rady z jednym. \lim_{x\to 0}\frac{x+sqrt{x}}{x-\sqrt{x}} Napisze więc : HELP. Sorka za wrzucenie w pierwszym podejściu nie w ten...
 Anonymous  1
 Oblicz granicę - poprawny tok rozumowania?
Zostałem dzisiaj opieprzony przez p. profesor za to, że rozwiązałem granice tak: \lim_{x\to\infty}&#40;\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+1}&#41;=\lim_{x\to\infty}&#40;|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-|x|\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}&#41;=\lim_{x\to\infty}&#40;...
 TheKiler  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com