szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 cze 2007, o 19:28 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: LBN
Witem mam wielki problem z kilkoma zadaniami. Sam nie dam rady ich rozwiązać, a dla kogoś kto 'w tym siedzi' zajmą pewnie kilka minut. Jakby sie ktoś zlitował : ) to oto ich treść.

1-
Liczba -1+i jest pierwiastkiem stopnia piatego z liczby zespolonej z_{1} i równocześnie pierwiastkiem stopnia dziewiątego z liczby z_{2}. Znaleźć postać algebraiczną liczby z_{1} z_{2}

2-
Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu: w(z) =z^{3} -z^{2} -iz + i wiedząc że w(x) \in C[z]

3-
Obliczyć \sqrt[4]{\frac{(1+i \sqrt{3})^{2}(1-i)^{2}}{( \frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2})^{5}}}


4-
Znaleźćpunkt symetryczny do punkty A(2,-1,3) względem prostej danej równaniami x=3t;  y=5t-7;  z=2t+2

5-
Znaleźć prostą równoległą do płaszczyzny \pi : x+2y-1 =0 i będącą symetralną odcinka o końcach A(1,2,-1);B(3,-2,3)

6-
W ciele C rozwiązać równanie: z^{2}+(1+4i)z-(5+i)=0

Bardzo prosze o pomoc dla biednego studenta.
PS- nie jestem leniwy!! Ja po prostu nie rozumiem matematyki.
Pozdrawiam

Poprawiam temat i zapis. Calasilyar
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 cze 2007, o 20:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 7124
Lokalizacja: Ruda Śląska
1.
\sqrt[5]{z_1}=-1+i\\z_1=(-1+i)^5
podobnie z_2=(-1+i)^9, a więc z_1z_2=(-1+i)^5(-1+i)^9=(-1+i)^14=[(-1+i)^2]^7=(-2i)^7=128i

2.
z^3-z^2-iz+i=0\\z^2(z-1)-i(z-1)=0\\(z^2-i)(z-1)=0\\z^2=i\vee z=1\\\\z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i),\; z_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i),\; z_3=1

6. To zwykłe kwadratowe: delta itp.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2007, o 18:14 
Użytkownik

Posty: 102
Lokalizacja: Edynburg
Co do trzeciego, to zapis nie jest zrozumiały.

2.

z^{3}-zi-z^{2}+i=(z-1)(z^{2}-i)=(z-1)(z+\sqrt{i})(z-\sqrt{i})

4. Tworzymy wektor AB prostopadły do prostej przechodzący przez punkt A.

\vec{AB}=(3t-2;5t-6;2t-1)

\vec{AB} \cdot \vec{kierunkowyprostej}=0 (produkt skalarny), czyli:

3(3t-2)+5(5t-6)+2(2t-1)=38t-38=0, zatem t=1

Zatem B=(3;-2;4)\ A=(2;-1;3)\ A'=(4;-3;5), gdzie A' to szukany punkt.]

5.

Wektor AC prostopadły do płaszczyzny ma współrzędne (1+t; 2+2t;-1).
Znajdujemy punkt C:

1+t+2(2+2t)-1=5t+4=0
t=\frac{-4}{5}

C=( \frac{1}{5}; \frac{2}{5}; -1)

Zatem A'=( \frac{-3}{5}; \frac{-6}{5}; -1)

Analogicznie znajdujemy B', B'=(3 \frac{4}{5}; \frac{-2}{5}; 3)

Żeby prosta przechodząca przez B' i A' była równoległa do płaszczyzny, to produkt skalarny wektora kierunkowego tej prostej i wektora normalnego (prostopadłego) do płaszczyzny musi być równy zero.

3.

cis\alpha=\cos\alpha+i\sin\alpha

W postaci trygonometrycznej otrzymujemy:

(\frac{(2cis(\frac{\pi+6k\pi}{3}))^{2}((\sqrt{2}cis(\frac{-\pi+8k\pi}{4}))^{2}}{(cis(\frac{-\pi+12k\pi}{6})^{5})})^{\frac{1}{4}}

Po skorzystaniu z własności cis'a otrzymujemy (8cis(\pi-2k\pi))^{\frac{1}{4}}=8^{\frac{1}{4}}cis(\frac{\pi-2k\pi}{4})

Podstawiamy pod k, dowolne 4 liczby całkowite, aby otrzymać wszystkie cztery rozwiązania:
8^{\frac{1}{4}}cis(\frac{\pi}{4}) \ 8^{\frac{1}{4}}cis(\frac{3\pi}{4}) \ 8^{\frac{1}{4}}cis(\frac{5\pi}{4}) \ 8^{\frac{1}{4}}cis(\frac{7\pi}{4}), co łatwo zamienić na postać algebraiczną.

Możesz sprawdzić przeliczenia:

cis(\alpha)=cis(\alpha+2k\pi) dla całkowitych k;
(Acis(\alpha))^{n}=A^{n}cis(n\alpha)
cis(\alpha) \cdot cis(\beta)=cis(\alpha+\beta)
\frac{cis\alpha}{cis\beta}=cis(\alpha-\beta)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz (sqrt(3)+i/2)^48. Liczby zespolone  Anonymous  2
 Liczby zespolone  Anonymous  2
 Zbiory i liczby  Anonymous  2
 Zespolone (suma)  author  16
 równanie kw. z częścią urojoną (l. zespolone)  Darioo19  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com