szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
Witam mam problem otóż nie wiem jak policzyć pochodną po x dla równania:
f(x,y)= \log_x y gdzie x jest podstawa logarytmu

LaTeX :arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 luka52
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 13:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
f_x \left( x,y \right) = \left( \frac{ \ln y }{ \ln x } \right) _x=-\frac{ \ln a }{x  \left(  \ln x  \right) ^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 15:05 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
zakradł Ci się błąd natury raczej technicznej;) zamiast a mialobyc y... następne zadania:

f \left( x,y \right) =\sqrt[x] {x}^{y}
f \left( x,y \right) =\ln \left( x+\sqrt \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)  \right) x i y pod jednym pierwiastkiem;)
f \left( x,y \right) = \left( \frac{x}{y} \right) ^n \\
 f \left( x,y \right) =xy e^{-x^2}

poproszę o rozwiązanie po każdej z niewiadomych, a zarazem przepraszam za mojego Latexa z którym dopiero raczkuje;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2011, o 01:29 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}\\

licząc pochodną f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y} po x, należy zastosować pewne podstawienie:
x= e^{\ln{x}}

wówczas otrzymujemy (oznaczmy funkcję f(x,y), jako z):
z=\sqrt[x]{x}^{y}=x^{ \frac{y}{x}}={\left( e^{\ln{x}}\right)}^{\frac{y}{x}}=e^{ \frac{y\ln{x}}{x}} \\
i teraz podstawiamy:
z=e^u\\
u=\frac{y\ln{x}}{x}\\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}u}\cdot \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}\\
 \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}= \frac{\left( y\ln{x}\right)'x-y\ln{x}\left( x\right)'  }{x^2}= \frac{y-y\ln{x}}{x^2} \\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=e^{u}\cdot \frac{y-y\ln{x}}{x^2}

zauważmy, iż e^u=x^{\frac{y}{x}}

daje to nam ostatecznie:
f'_{x}(x,y)=x^{\frac{y}{x}-2}\cdot\left( y-y\ln{x}\right)

Żeby obliczyć pochodną po y, wystarczy użyć wzoru dla pochodnej funkcji wykładniczej. ;)
Winno wyjść:
f'_{y}(x,y)=\frac{1}{x}\ln{x}\sqrt[x]{x^y}

PS Pomimo tego, że temat sprzed 4 lat, to może komuś się to przyda :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2011, o 18:11 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Polska
Z definicji logarytmu:

f= \log _{x}y  \Leftrightarrow x ^{f}=y

Obustronne zlogarytmowanie przy podstawie e daje: \ln (x ^{f}) = \ln (y)  \Leftrightarrow  f \cdot \ln(x)=\ln(y)  \Leftrightarrow  f= \frac{\ln(y)}{\ln(x)}

Takie wyprowadzenie wzoru na zamianę podstawy logarytmu. :)

Stąd bezpośrednio:

\frac{ \partial f}{  \partial x } =  \frac{0 \cdot \n(x)-\ln(y)  \cdot \frac{1}{x} }{ \ln ^ {2} (x) } = - \frac{\ln(y)}{x \cdot  \ln ^ {2}(x)} \\ \\
 \frac{ \partial f}{ \partial y} =  \frac{1}{y \cdot \ln(x)}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pochodne dwóch zmiennych - zadanie 2
Stawiam pierwsze kroki w tym temacie i nie rozumiem paru rzeczy. u=ab^v, gdzie v=f(x) Pochodna w książce jest taka: u'=av'b^v \ln b. Skąd to się wzięło? Czy pochodna z b^...
 gosia19  3
 ekstremum fukcji wielu zmiennych
Witam;)...mam problem z następujacym zadaniem : Na elipsie opisać trójkąt o najwiekszym polu o podstawie równoległej do osi elipsy...czy ktoś mógłby mi pomóc w ułozeniu funkcji pola takiego trójkata?...z góry dziękuje za pomoc;)...
 xtremalny  3
 Wartość największa i najmniejsza funkcji dwóch zmiennych - zadanie 2
Pierwsze zadanie: Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji z=z(x,y)w danym zbiorze: z=3xy D: x^{2}+y^{2} \le 2 tak na oko to widzę, że największa...
 Smyku  2
 pochodne za wzorów
witam mam parę pochodnych do rozwiązania i nie wiem czy dobrze rozwiązałem możecie sprawdzić? ; ] a) f(x)=2^{ \sin 2 x}\\ f'(x)= \sin 2 x2^{ \sin 2 x-1} \cdot \cos 2 x \cdot 2 b) f&#...
 Krzysiu91  7
 4 zadania - funkcje 1 i 2 zmiennych
Witam serdecznie Forumowiczów ... zaczne od tego , że jestem cienki z matmy ( dlatego prosze o pomoc) , a mianowicie dostałem pare zadań do zrobienia na zaliczenie ... z którymi mam nie mały kłopot ... tak wiec prosze o pomoc ... sa to 4 zadania ... ...
 gRAVE  1
 pochodne funkcji z definicji
Witam. Obliczyć trzeba pochodne: \log_a x logarytm o podstawie a z x oraz a^x -( a do potęgi x) z definicji pochodnej czyli \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x) -...
 piotrek24061988  1
 kłopotliwe pochodne
Cześć ...
 Raja  1
 2 pochodne funkcji jak rozwiazac
a) f(x) = \frac{ (2x+1) \cdot sin x}{ 2 x^3- 3x} b) f(x) = \sqrt{3x^2+1} \cdot ctg (3x^2+1)...
 Inx  33
 Czy dobrze rozwiązałem te pochodne?
1. y= \sqrt{\sin (2x)} \\ y'= ^{ \frac{1}{3} } \\ y'= \frac{1}{3} ^{ \frac{-2}{3} } \cdot \cos (2x) \cdot 2 \\ Funkcja była złożona z 3 "części"....
 smierdzacyroman  5
 Znajdź pochodne (sprawdzenie wyników)
a)\left(\sqrt{x^{2}+\ln^{3} x} \right) \prime =\frac{1}{3\cdot \left(\sqrt{x^{2}+\ln^{3} x}\right)^{2}} \cdot (2x+\frac{1}{x}\cdot 3\ln^{2}x) b)\left( \ln^{n}(x^{m}&#41...
 silvaran  1
 POCHODNE FUNKCJI WYLICZYć
proszę o policzenie pochodnych jeżeli to możliwe to napisanie z jakiego wzoru bo ja z matematyką nie za dobrze żyje ,ale chociaż ,żebym trochę wiedziała może łatwie...
 misianiolek  4
 Pochodne mieszane - zadanie 4
Witam, mam pewien dylemat odnośnie obliczania pochodnych mieszanych, mianowicei mam funkcję: f(x) = \begin{cases} xy \frac{x^2-y2}{x^2+y^2} , \ x^2+y^2 \neq 0\\ 0, pozostale \end{cases}. Moim zadaniem jest poli...
 patlas  16
 pochodne wyjaśnienie
Witam! W myśl jakiej zasady pochodne z : f(x)= \sin 3x to f'(x)=3 \cos 3x f(x)= \sin ^{2}x to f'(x)= \sin ...
 Harahido  1
 Pochodne następujących funkcji
Jak policzyć pochodne następujących funkcji: e^{\frac{1}{x}} e^{2x} e^{x^2} Prosiłbym o wytłumaczenie dlaczego tak a nie inaczej liczy się poszczególne...
 petro  1
 Obliczyć pochodne - zadanie 23
Witajcie , potrzebuje pomocy, pochodne miałem w techniku a było to dawno temu, muszę ich trochę obliczyć, pomóżcie: 1) 10x^{-3x} ??? [tex:...
 wesol29  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com