szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 11:44 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
Witam mam problem otóż nie wiem jak policzyć pochodną po x dla równania:
f(x,y)= \log_x y gdzie x jest podstawa logarytmu

LaTeX :arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 luka52
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 12:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
f_x \left( x,y \right) = \left( \frac{ \ln y }{ \ln x } \right) _x=-\frac{ \ln a }{x  \left(  \ln x  \right) ^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 14:05 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
zakradł Ci się błąd natury raczej technicznej;) zamiast a mialobyc y... następne zadania:

f \left( x,y \right) =\sqrt[x] {x}^{y}
f \left( x,y \right) =\ln \left( x+\sqrt \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)  \right) x i y pod jednym pierwiastkiem;)
f \left( x,y \right) = \left( \frac{x}{y} \right) ^n \\
 f \left( x,y \right) =xy e^{-x^2}

poproszę o rozwiązanie po każdej z niewiadomych, a zarazem przepraszam za mojego Latexa z którym dopiero raczkuje;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2011, o 00:29 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}\\

licząc pochodną f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y} po x, należy zastosować pewne podstawienie:
x= e^{\ln{x}}

wówczas otrzymujemy (oznaczmy funkcję f(x,y), jako z):
z=\sqrt[x]{x}^{y}=x^{ \frac{y}{x}}={\left( e^{\ln{x}}\right)}^{\frac{y}{x}}=e^{ \frac{y\ln{x}}{x}} \\
i teraz podstawiamy:
z=e^u\\
u=\frac{y\ln{x}}{x}\\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}u}\cdot \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}\\
 \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}= \frac{\left( y\ln{x}\right)'x-y\ln{x}\left( x\right)'  }{x^2}= \frac{y-y\ln{x}}{x^2} \\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=e^{u}\cdot \frac{y-y\ln{x}}{x^2}

zauważmy, iż e^u=x^{\frac{y}{x}}

daje to nam ostatecznie:
f'_{x}(x,y)=x^{\frac{y}{x}-2}\cdot\left( y-y\ln{x}\right)

Żeby obliczyć pochodną po y, wystarczy użyć wzoru dla pochodnej funkcji wykładniczej. ;)
Winno wyjść:
f'_{y}(x,y)=\frac{1}{x}\ln{x}\sqrt[x]{x^y}

PS Pomimo tego, że temat sprzed 4 lat, to może komuś się to przyda :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2011, o 17:11 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Polska
Z definicji logarytmu:

f= \log _{x}y  \Leftrightarrow x ^{f}=y

Obustronne zlogarytmowanie przy podstawie e daje: \ln (x ^{f}) = \ln (y)  \Leftrightarrow  f \cdot \ln(x)=\ln(y)  \Leftrightarrow  f= \frac{\ln(y)}{\ln(x)}

Takie wyprowadzenie wzoru na zamianę podstawy logarytmu. :)

Stąd bezpośrednio:

\frac{ \partial f}{  \partial x } =  \frac{0 \cdot \n(x)-\ln(y)  \cdot \frac{1}{x} }{ \ln ^ {2} (x) } = - \frac{\ln(y)}{x \cdot  \ln ^ {2}(x)} \\ \\
 \frac{ \partial f}{ \partial y} =  \frac{1}{y \cdot \ln(x)}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pochodne dwóch zmiennych - zadanie 2
Stawiam pierwsze kroki w tym temacie i nie rozumiem paru rzeczy. u=ab^v, gdzie v=f(x) Pochodna w książce jest taka: u'=av'b^v \ln b. Skąd to się wzięło? Czy pochodna z b^...
 gosia19  3
 ekstremum fukcji wielu zmiennych
Witam;)...mam problem z następujacym zadaniem : Na elipsie opisać trójkąt o najwiekszym polu o podstawie równoległej do osi elipsy...czy ktoś mógłby mi pomóc w ułozeniu funkcji pola takiego trójkata?...z góry dziękuje za pomoc;)...
 xtremalny  3
 Wartość największa i najmniejsza funkcji dwóch zmiennych - zadanie 2
Pierwsze zadanie: Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji z=z(x,y)w danym zbiorze: z=3xy D: x^{2}+y^{2} \le 2 tak na oko to widzę, że największa...
 Smyku  2
 Pochodne cząstkowe - zadanie 91
Wylicz \frac{ \partial (x,y)}{ \partial (v,u)} dla v=x+y oraz u=x-y...
 astron  0
 pochodne za wzorów
witam mam parę pochodnych do rozwiązania i nie wiem czy dobrze rozwiązałem możecie sprawdzić? ; ] a) f(x)=2^{ \sin 2 x}\\ f'(x)= \sin 2 x2^{ \sin 2 x-1} \cdot \cos 2 x \cdot 2 b) f&#...
 Krzysiu91  7
 4 zadania - funkcje 1 i 2 zmiennych
Witam serdecznie Forumowiczów ... zaczne od tego , że jestem cienki z matmy ( dlatego prosze o pomoc) , a mianowicie dostałem pare zadań do zrobienia na zaliczenie ... z którymi mam nie mały kłopot ... tak wiec prosze o pomoc ... sa to 4 zadania ... ...
 gRAVE  1
 Pochodne cząstkowe i kierunkowe.
"Podaj przykład funkcji f takiej, że f w każdym punkcie ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, ale dla każdego punktu znajdziemy wektor, w którego kierunku ta funkcja nie ma pochodnej kierunkowej." Po konsultacjach ze znajomymi nie jest...
 ArssoN  0
 pochodne funkcji z definicji
Witam. Obliczyć trzeba pochodne: \log_a x logarytm o podstawie a z x oraz a^x -( a do potęgi x) z definicji pochodnej czyli \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x) -...
 piotrek24061988  1
 kłopotliwe pochodne
Cześć ...
 Raja  1
 2 pochodne funkcji jak rozwiazac
a) f(x) = \frac{ (2x+1) \cdot sin x}{ 2 x^3- 3x} b) f(x) = \sqrt{3x^2+1} \cdot ctg (3x^2+1)...
 Inx  33
 Znajdź ekstrema funkcji dwu zmiennych
Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu przykładów: 1. z = \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{y^{2}+1} 2. z = 2^{x-y^{2}}(1-2x) Główną trudność w tym zadaniu sprawiają mi układy równań....
 kkalwa  20
 pochodne funkcji krysicki zad. 6.80
Mam problem z obliczeniem pochodnej z analizy Krysickiego zad. 6.80 y =\frac{1}{ \sqrt{ (a + bx)^{p}}} Zabrałem się do tego w ten sposób y = u^{ \frac{p}{n} }, gdzie: [tex:1qhpu...
 misza_89  6
 Druga pochodna funkcji uwikłanej dwóch zmiennych
Witam. Załóżmy że chcę policzyć "na piechotę" drugą pochodną \frac{ \partial^{2}z}{ \partial x^{2}} funkcji: e^z -xyz=0 Różniczkuję więc pierwszy raz po x[/tex:16q2smyu...
 kamas248  0
 Różniczkowalność funkcji dwóch zmiennych w punkcie
Mam zbadać różniczkowalność funkcji f w punkcie (1,0), jeśli: f(x,y)= \begin{cases} y+\frac{(\ln(x))y}{(x-1)^2+y^2}, \ (x,y) \neq ...
 jadwiziga  1
 Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji
a) y= e^x \arctan x b) y= (1 + \sqrt{x} ) \tg ( \sqrt{x}) c) y= \ln (\sin ^2x +1) d) y= e^{e^x}[/t...
 Cloe  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com