szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
Witam mam problem otóż nie wiem jak policzyć pochodną po x dla równania:
f(x,y)= \log_x y gdzie x jest podstawa logarytmu

LaTeX :arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 luka52
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 13:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
f_x \left( x,y \right) = \left( \frac{ \ln y }{ \ln x } \right) _x=-\frac{ \ln a }{x  \left(  \ln x  \right) ^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 15:05 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
zakradł Ci się błąd natury raczej technicznej;) zamiast a mialobyc y... następne zadania:

f \left( x,y \right) =\sqrt[x] {x}^{y}
f \left( x,y \right) =\ln \left( x+\sqrt \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)  \right) x i y pod jednym pierwiastkiem;)
f \left( x,y \right) = \left( \frac{x}{y} \right) ^n \\
 f \left( x,y \right) =xy e^{-x^2}

poproszę o rozwiązanie po każdej z niewiadomych, a zarazem przepraszam za mojego Latexa z którym dopiero raczkuje;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2011, o 01:29 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}\\

licząc pochodną f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y} po x, należy zastosować pewne podstawienie:
x= e^{\ln{x}}

wówczas otrzymujemy (oznaczmy funkcję f(x,y), jako z):
z=\sqrt[x]{x}^{y}=x^{ \frac{y}{x}}={\left( e^{\ln{x}}\right)}^{\frac{y}{x}}=e^{ \frac{y\ln{x}}{x}} \\
i teraz podstawiamy:
z=e^u\\
u=\frac{y\ln{x}}{x}\\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}u}\cdot \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}\\
 \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}= \frac{\left( y\ln{x}\right)'x-y\ln{x}\left( x\right)'  }{x^2}= \frac{y-y\ln{x}}{x^2} \\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=e^{u}\cdot \frac{y-y\ln{x}}{x^2}

zauważmy, iż e^u=x^{\frac{y}{x}}

daje to nam ostatecznie:
f'_{x}(x,y)=x^{\frac{y}{x}-2}\cdot\left( y-y\ln{x}\right)

Żeby obliczyć pochodną po y, wystarczy użyć wzoru dla pochodnej funkcji wykładniczej. ;)
Winno wyjść:
f'_{y}(x,y)=\frac{1}{x}\ln{x}\sqrt[x]{x^y}

PS Pomimo tego, że temat sprzed 4 lat, to może komuś się to przyda :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2011, o 18:11 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Polska
Z definicji logarytmu:

f= \log _{x}y  \Leftrightarrow x ^{f}=y

Obustronne zlogarytmowanie przy podstawie e daje: \ln (x ^{f}) = \ln (y)  \Leftrightarrow  f \cdot \ln(x)=\ln(y)  \Leftrightarrow  f= \frac{\ln(y)}{\ln(x)}

Takie wyprowadzenie wzoru na zamianę podstawy logarytmu. :)

Stąd bezpośrednio:

\frac{ \partial f}{  \partial x } =  \frac{0 \cdot \n(x)-\ln(y)  \cdot \frac{1}{x} }{ \ln ^ {2} (x) } = - \frac{\ln(y)}{x \cdot  \ln ^ {2}(x)} \\ \\
 \frac{ \partial f}{ \partial y} =  \frac{1}{y \cdot \ln(x)}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pochodne dwóch zmiennych - zadanie 2
Stawiam pierwsze kroki w tym temacie i nie rozumiem paru rzeczy. u=ab^v, gdzie v=f(x) Pochodna w książce jest taka: u'=av'b^v \ln b. Skąd to się wzięło? Czy pochodna z b^...
 gosia19  3
 Pochodne... - zadanie 3
Oto kilka przykładów, A.Obliczyć pochodne 1)y=(2x^{2}+1- \sqrt{x})ctgx 2)y=e^{ \sqrt{x^{2}-a^{2}} 3)y=sin^{2}ln(3^{\frac{1}{x}}+1)...
 asticava  2
 jak sie liczy pochodne takiego czegos?
ln(jakas funkcja) np ln(x^2-3). czy to bedzie 2xln(x^2-3)?...
 dziqs  3
 pochodne funkcji złożonej
Witam! Jeśli ktoś miałby chwilkę, to proszę o spr czy te dwa przykłady są wykonane poprawnie: (x^{-x})'=- x^{-x-1} ( x^{ \cos x })'=-\sin x \cdot x^{\cos ...
 agam  3
 Ciągłość. Pochodne cząstkowe i kierunkowe.
Witam! Mam problem z zadaniem: \ f(x,y)= \begin{cases}\frac{e^{x+y}-1}{x+y} gdy\ x+y \neq 0 \\ 1 \ gdy \ x+y=0 \end{cases} mam sprawdzić jej ciągłość w punkcie (0,0). Sprawdzam czy zachodzi: \li...
 dzo  0
 Ekstrema lokalne funkcji2 zmiennych
witam, mam funkcję f(x,y) = xyln(x^{2} + y^{2}) i mam znaleźć jej ekstrema lokalne na całej dziedzinie. Robię tak : liczę pochodne cząstkowe, przyrównuję je do zera i niestety z tego układu równań wychodzą...
 Soldat  2
 Pochodne trzech róznych funkcji
Do policzenia mam pochodne trzech różnych funkcji: \frac{ \sqrt{sin^{3}+1}}{e ^{-x-2}} Dodano: 20 Kwietnia 2008, 23:30 ] [...
 Kukasz  7
 Ekstrema f.dwóch zmiennych
x^2+y^2=u\ge 0\\ f(x,y)=(4-x^2-y^2)^2=(4-u)^2=g(u) \Rightarrow \text{ parabola}\\ g(0)=16\Rightarrow \text{maksimum}\\ g(4)=0\Rightarrow \text{minimum}\\ czyli mamy maksimu...
 klaudekk  3
 Pochodne cząstkowe 2 rzędu. - zadanie 2
Witam mam problem z następującym zadniem: należy wyznaczyć pochodna po x i y oraz pochodne 2 rzędu i pochodne mieszane . f(x,y)= \frac{y}{x^2}...
 mazuzu  1
 pochodne - czy dobrze?
Pierwszy post na forum, chciałbym prosić o sprawdzenie następujących pochodnych: a) y=(lnx)^{x} y'=(lnx)^{x}ln^{2}(x)\frac{1}{x} ? b) y=xe^{...
 szamaneq  5
 Oblicz pochodne funkcji
f(x) = 2x ^{2} +3 f(x) = \sqrt{ x^{2}+1 } -x ^{2} f(x) = ( 1 + x) sinx f(x) = \frac{ x^{2} - 2x - 8 }{x...
 gigi2b  5
 pochodne do sprawdzenia - zadanie 5
yyy... nie bardzo rozumiem ostatnie przejście;/ a ten wynik co mi wyszedł jak podstawiałam pochodną 1+tg ^{2}x nie jest poprawny? czy koniecznie trzeba podstawić \frac{1}{cos ^{2}x }...
 dzoanka  5
 Wyznacz ekstremum funkcji dwóch zmiennych (sprawdzenie)
Prosiłbym o sprawdzenie tego zadanka:) Wyznacz ekstrema funkcji: f(x,y)=x^{2}+y^{2}-50lny obliczam pochodne rzędu pierwszego f'x=2x f'y=2y- \frac{50}{y...
 pawel23R  1
 Wyznaczyć ekstrema dwóch funkcjii
Wyznacz ekstrema. f_{1}(x)=x+\frac{4}{x^{2}} W odpowiedziach jest napisane, że powyższa funkcje ma minimum w x=-2, zaś mi wychodzi mimimum w x=2. Można sprawdzić, że odpowiedź jest dobra. f_{2}(x...
 Andrzejmm  6
 pochodne dwa sposoby dwa wyniki, który dobry?
Jasne, zagapiłem się. Oczywiście należy zapisać x^5 w argumencie logarytmu, i nie ma mowy o żadnym kwadracie przed logarytmem. to w takim razie co powinienem zrobić z...
 albert616  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com