szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
Witam mam problem otóż nie wiem jak policzyć pochodną po x dla równania:
f(x,y)= \log_x y gdzie x jest podstawa logarytmu

LaTeX :arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 luka52
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 13:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
f_x \left( x,y \right) = \left( \frac{ \ln y }{ \ln x } \right) _x=-\frac{ \ln a }{x  \left(  \ln x  \right) ^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 15:05 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
zakradł Ci się błąd natury raczej technicznej;) zamiast a mialobyc y... następne zadania:

f \left( x,y \right) =\sqrt[x] {x}^{y}
f \left( x,y \right) =\ln \left( x+\sqrt \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)  \right) x i y pod jednym pierwiastkiem;)
f \left( x,y \right) = \left( \frac{x}{y} \right) ^n \\
 f \left( x,y \right) =xy e^{-x^2}

poproszę o rozwiązanie po każdej z niewiadomych, a zarazem przepraszam za mojego Latexa z którym dopiero raczkuje;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2011, o 01:29 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}\\

licząc pochodną f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y} po x, należy zastosować pewne podstawienie:
x= e^{\ln{x}}

wówczas otrzymujemy (oznaczmy funkcję f(x,y), jako z):
z=\sqrt[x]{x}^{y}=x^{ \frac{y}{x}}={\left( e^{\ln{x}}\right)}^{\frac{y}{x}}=e^{ \frac{y\ln{x}}{x}} \\
i teraz podstawiamy:
z=e^u\\
u=\frac{y\ln{x}}{x}\\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}u}\cdot \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}\\
 \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}= \frac{\left( y\ln{x}\right)'x-y\ln{x}\left( x\right)'  }{x^2}= \frac{y-y\ln{x}}{x^2} \\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=e^{u}\cdot \frac{y-y\ln{x}}{x^2}

zauważmy, iż e^u=x^{\frac{y}{x}}

daje to nam ostatecznie:
f'_{x}(x,y)=x^{\frac{y}{x}-2}\cdot\left( y-y\ln{x}\right)

Żeby obliczyć pochodną po y, wystarczy użyć wzoru dla pochodnej funkcji wykładniczej. ;)
Winno wyjść:
f'_{y}(x,y)=\frac{1}{x}\ln{x}\sqrt[x]{x^y}

PS Pomimo tego, że temat sprzed 4 lat, to może komuś się to przyda :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2011, o 18:11 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Polska
Z definicji logarytmu:

f= \log _{x}y  \Leftrightarrow x ^{f}=y

Obustronne zlogarytmowanie przy podstawie e daje: \ln (x ^{f}) = \ln (y)  \Leftrightarrow  f \cdot \ln(x)=\ln(y)  \Leftrightarrow  f= \frac{\ln(y)}{\ln(x)}

Takie wyprowadzenie wzoru na zamianę podstawy logarytmu. :)

Stąd bezpośrednio:

\frac{ \partial f}{  \partial x } =  \frac{0 \cdot \n(x)-\ln(y)  \cdot \frac{1}{x} }{ \ln ^ {2} (x) } = - \frac{\ln(y)}{x \cdot  \ln ^ {2}(x)} \\ \\
 \frac{ \partial f}{ \partial y} =  \frac{1}{y \cdot \ln(x)}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pochodne dwóch zmiennych - zadanie 2
Stawiam pierwsze kroki w tym temacie i nie rozumiem paru rzeczy. u=ab^v, gdzie v=f(x) Pochodna w książce jest taka: u'=av'b^v \ln b. Skąd to się wzięło? Czy pochodna z b^...
 gosia19  3
 Pochodne - wklęsłość, wypukłość, ekstrema, monotoniczność
Witam ponownie, jestem tu nowa, jeśli znowu źle umieściłam to proszę o przeniesienie. Mam problem z zadaniami z pochodnymi i bardzo proszę o pomoc, byłabym wdzięczna również gdyby ktoś mi wytłumaczył kiedy stosuje się tw. o funkcji złożonej. Zad. 1...
 edycia17211  6
 Różniczkowalność funkcji 2 zmiennych - zadanie 2
Sprawdź róźniczkowalność funkcji w całej dziedzinie. f(x,y)= \begin{cases} \frac{ y^{3} }{ x^{2} + y^{2}} , (x,y)=(0,0) \\ 0, (x,y) \neq (0,0) \end{cases} Proszę o pomoc z tą...
 zeegy1  6
 Obliczyć pochodne z reguł różniczkowania
Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji: a) y = \frac{ x^{2} + 1 }{x^{3} + x} \\ \\ b) y = (1 + \sqrt{x} ) tg \sqrt{x} \\ \\ c) y = \sqrt{sin \frac{1}{x^{4}} + 3 }...
 zaba555  1
 Błedy pomiarowe ( pochodne)
witam obliczyłem współczynnik napięcia powierzchniowego ze wzoru \alpha =\frac{hyr}{2} lecz nie wiem jak policzyć teraz błąd maksymalny ponoć coś z pochodnych ale my tego jeszcze nie robiliśmy i nie mam zielonego pojęcia...
 03iverson91  6
 ekstremum funkcji dwoch zmiennych - zadanie 27
Niezupełnie Mamy raczej: 2cos\frac{2x+y}{2}cos\frac{-y}{2}=0 2cos\frac{x+2y}{2}cos\frac{-x}{2}=0...
 milar1  14
 Pochodne cząstkowe mieszane
Jak je obliczać ?? Jeżeli jest np. funkcja: f(x,y)=xy+\frac{x^2}{y^3} to: \frac{\partial f}{\partial x}=y+\frac {2x}{y^3} \frac{\partial f}{\partial y}=x-\...
 Pindol  4
 ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych - zadanie 9
Hmm wydaje mi się, że dobrze myślisz. Policzyłeś pierwszą pochodną, musisz policzyć drugą (po x i po y). Układasz je w macierz, jeśli jej wyznacznik jest większy od 0 to punkt który wyliczyłeś ma ekstremum lokalne. Jeżeli \frac{ \parti...
 llkk  2
 Tajemnicze pochodne
napisane: 1 lutego] Należy zróżniczkować: 1) |x|^{3} 2) \{x\} 3) sgn(x^{5}-x^{3}) Gdzie [tex...
 Dedemonn  1
 Kiedy funkcja 2 zmiennych jest różniczkowalna?
Jak zbadać rozróżnialność funkcji 2 zmiennych? Na pewno funkcja musi być ciągła, pochodne 1 rzędu muszą istnieć i być ciągłe. Czy jest to warunek KONIECZNY ?...
 myszka9  7
 Obliczyć pochodne - zadanie 15
Dwa przykłady: f(x) = log_{(1-x)}sinx \\ f(x) = (tgx)^{3x^{2}} W pierwszym przykładzie kompletnie nie wiem co zrobić, żaden ze znanych mi wzorów nie pomaga, a nie do końca wiem jak zast...
 OzzyM  1
 Pochodne + indukcja matematyczna
Prosze o sprawdzenie i ewentualne poprawienie błędów: Funkcja f(x) dana jest wzorem: f(x) = ln(3-x). Obliczając kolejne pochodne sformułować, a następnie udowodnić indukcyjnie hipotezę na n-tą pochodną funkcji f(x)=ln(3-x&...
 ksavi  3
 obliczyc 2 pochodne
Jak w temacie, obliczyc pochodne, korzystajac z regul rozniczkowania y= \sqrt{x} y= \arctg(1+\sqrt{2x})tg(\sqrt{2x})...
 TheTaoist  4
 zbadaj pochodne
Prosze bardzo o pomoc sam nie jestem w stanie nawet zaczac tych zadan... a) y= \frac{1+x ^{3} }{1-x ^{3}} b) y=(1- ...
 WojtekF  4
 Zbadaj pochodne jednostronne
Badając pochodne jednostronne zbadaj czy istnieje pochodna w x=0 f(x) = \begin{cases} xarctg \frac{1}{x} x ...
 mafiaq  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com