szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
Witam mam problem otóż nie wiem jak policzyć pochodną po x dla równania:
f(x,y)= \log_x y gdzie x jest podstawa logarytmu

LaTeX :arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 luka52
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 13:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
f_x \left( x,y \right) = \left( \frac{ \ln y }{ \ln x } \right) _x=-\frac{ \ln a }{x  \left(  \ln x  \right) ^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 15:05 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
zakradł Ci się błąd natury raczej technicznej;) zamiast a mialobyc y... następne zadania:

f \left( x,y \right) =\sqrt[x] {x}^{y}
f \left( x,y \right) =\ln \left( x+\sqrt \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)  \right) x i y pod jednym pierwiastkiem;)
f \left( x,y \right) = \left( \frac{x}{y} \right) ^n \\
 f \left( x,y \right) =xy e^{-x^2}

poproszę o rozwiązanie po każdej z niewiadomych, a zarazem przepraszam za mojego Latexa z którym dopiero raczkuje;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2011, o 01:29 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}\\

licząc pochodną f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y} po x, należy zastosować pewne podstawienie:
x= e^{\ln{x}}

wówczas otrzymujemy (oznaczmy funkcję f(x,y), jako z):
z=\sqrt[x]{x}^{y}=x^{ \frac{y}{x}}={\left( e^{\ln{x}}\right)}^{\frac{y}{x}}=e^{ \frac{y\ln{x}}{x}} \\
i teraz podstawiamy:
z=e^u\\
u=\frac{y\ln{x}}{x}\\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}u}\cdot \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}\\
 \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}= \frac{\left( y\ln{x}\right)'x-y\ln{x}\left( x\right)'  }{x^2}= \frac{y-y\ln{x}}{x^2} \\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=e^{u}\cdot \frac{y-y\ln{x}}{x^2}

zauważmy, iż e^u=x^{\frac{y}{x}}

daje to nam ostatecznie:
f'_{x}(x,y)=x^{\frac{y}{x}-2}\cdot\left( y-y\ln{x}\right)

Żeby obliczyć pochodną po y, wystarczy użyć wzoru dla pochodnej funkcji wykładniczej. ;)
Winno wyjść:
f'_{y}(x,y)=\frac{1}{x}\ln{x}\sqrt[x]{x^y}

PS Pomimo tego, że temat sprzed 4 lat, to może komuś się to przyda :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2011, o 18:11 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Polska
Z definicji logarytmu:

f= \log _{x}y  \Leftrightarrow x ^{f}=y

Obustronne zlogarytmowanie przy podstawie e daje: \ln (x ^{f}) = \ln (y)  \Leftrightarrow  f \cdot \ln(x)=\ln(y)  \Leftrightarrow  f= \frac{\ln(y)}{\ln(x)}

Takie wyprowadzenie wzoru na zamianę podstawy logarytmu. :)

Stąd bezpośrednio:

\frac{ \partial f}{  \partial x } =  \frac{0 \cdot \n(x)-\ln(y)  \cdot \frac{1}{x} }{ \ln ^ {2} (x) } = - \frac{\ln(y)}{x \cdot  \ln ^ {2}(x)} \\ \\
 \frac{ \partial f}{ \partial y} =  \frac{1}{y \cdot \ln(x)}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pochodne dwóch zmiennych - zadanie 2
Stawiam pierwsze kroki w tym temacie i nie rozumiem paru rzeczy. u=ab^v, gdzie v=f(x) Pochodna w książce jest taka: u'=av'b^v \ln b. Skąd to się wzięło? Czy pochodna z b^...
 gosia19  3
 ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych
Mam taki przyklad f(x,y)= x ^{2} - xy+2 y^{2}-x +4y-5 i mam wyznaczyc ekstrema lokalne funkcji, jak mam to zrobic? czy ktos moze mi rozwiazac tez przyklad?...
 eljot89  2
 pochodne kierunkowe - zadanie 5
Obliczyć pochodne kierunkowe funkcji w podanych punktach a) f(x,y,z)=(x+\left| y\right| , x\left| 1-z\right| ) (0,1,1), (1,1,1) b) f(x,y)...
 anetaaneta1  0
 Ekstremum lokalne funkcji wielu zmiennych
Szukam ekstremów takiej funkcji: f(x,y)=xy^2(12-x-y) \frac{ \partial f(x,y)}{\partial x}=12y^2-2y^2x-y^3 \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y}= 2...
 sprzedamsanki  0
 Esktremum, jak wyliczyć kolejne pochodne?
Wyznaczyć ekstremum: f(x,y) = e^{2y} (y+x^{2}) ekstremum to sprawia mi problem ze względu na wyliczenie pochodnych e^{2y} (y+x^{2}). proszę o pomoc, jak wyliczyć kolej...
 chatkapuchatka  2
 Pochodne mieszane - zadanie 4
Witam, mam pewien dylemat odnośnie obliczania pochodnych mieszanych, mianowicei mam funkcję: f(x) = \begin{cases} xy \frac{x^2-y2}{x^2+y^2} , \ x^2+y^2 \neq 0\\ 0, pozostale \end{cases}. Moim zadaniem jest poli...
 patlas  16
 ekstremum lokalne funkcji 2 zmiennych - zadanie 6
Poprawna odpowiedź jest zgodna z tym co pokazałeś....
 Xandow  7
 Obliczyć pochodne - zadanie 23
Witajcie , potrzebuje pomocy, pochodne miałem w techniku a było to dawno temu, muszę ich trochę obliczyć, pomóżcie: 1) 10x^{-3x} ??? [tex:...
 wesol29  2
 Wspólna styczna dwóch funkcji.
Witam, jak w temacie, zadanie dotyczy wyznaczenia wspólnej stycznej f(x)=x ^{2} oraz g(x)=\left( x-2\right)^{2}+4. Próbowałem przyrównac do siebie wzory na styczne obu ...
 salvatore13  3
 Wyznacz pochodne cząstkowe drugiego rzędu z funkcji
Jak na moje oko - źle. Pochodnych drugiego stopnia przy funkcji dwóch zmiennych powinno być cztery....
 Kula_FCI  6
 Funkcja dwóch zmiennych - ekstrema
Nie moge sobie poradzić z takim zadaniem. Oblicz ekstrema funkcji: f(x,y)=e^{x+2y} (x^2-y^2)...
 fantek  3
 Dwie pochodne cząstkowe do sprawdzenia
Witam. Chciałbym wiedzieć czy dobrze policzyłem dwie pochodne. 1. f(x,y)=x^3\sqrt{y+11} \frac{ \partial }{ \partial x}=\sqrt{y+11} \cdot 3x^2 \frac{ \partial }{ \partia...
 niestety21  1
 Ekstremum funkcji wielu zmiennych.
Mam taki przykład f(x,y)=x^{2}y(4-x-y) Nie bardzo wiem jak policzyć pochodne cząstkowe. Próbowałem tak, że wymnożyłem przez nawias x^{2}y ale nie wiem czy tak jest dobrze. [...
 mentor921  4
 poszukiwane pochodne cząstkowe
Witam. potrzebuję znaleźć pochodne cząstkowe funkcji \alpha po zmiennych \Omega, i, T, t _{0} \alpha = a \tan \frac{\cos (\frac{2 \pi} {T} \cdot...
 ninj4i  2
 pochodne cząstkowe pierwszego rzędu - zadanie 13
f \left( x,y \right) =x \cdot \ln \left( y^2-3y \right) +x^3y^7-e^x^y moje obliczenia \frac{ \partial F}{ \mbox{d}x }=\ln \left( y^2-3y \right) +3x^2y^7-y^2e^x^y^2...
 Mandolinka  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com