szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 11:44 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
Witam mam problem otóż nie wiem jak policzyć pochodną po x dla równania:
f(x,y)= \log_x y gdzie x jest podstawa logarytmu

LaTeX :arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 luka52
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 12:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
f_x \left( x,y \right) = \left( \frac{ \ln y }{ \ln x } \right) _x=-\frac{ \ln a }{x  \left(  \ln x  \right) ^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 14:05 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
zakradł Ci się błąd natury raczej technicznej;) zamiast a mialobyc y... następne zadania:

f \left( x,y \right) =\sqrt[x] {x}^{y}
f \left( x,y \right) =\ln \left( x+\sqrt \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)  \right) x i y pod jednym pierwiastkiem;)
f \left( x,y \right) = \left( \frac{x}{y} \right) ^n \\
 f \left( x,y \right) =xy e^{-x^2}

poproszę o rozwiązanie po każdej z niewiadomych, a zarazem przepraszam za mojego Latexa z którym dopiero raczkuje;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2011, o 00:29 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}\\

licząc pochodną f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y} po x, należy zastosować pewne podstawienie:
x= e^{\ln{x}}

wówczas otrzymujemy (oznaczmy funkcję f(x,y), jako z):
z=\sqrt[x]{x}^{y}=x^{ \frac{y}{x}}={\left( e^{\ln{x}}\right)}^{\frac{y}{x}}=e^{ \frac{y\ln{x}}{x}} \\
i teraz podstawiamy:
z=e^u\\
u=\frac{y\ln{x}}{x}\\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}u}\cdot \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}\\
 \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}= \frac{\left( y\ln{x}\right)'x-y\ln{x}\left( x\right)'  }{x^2}= \frac{y-y\ln{x}}{x^2} \\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=e^{u}\cdot \frac{y-y\ln{x}}{x^2}

zauważmy, iż e^u=x^{\frac{y}{x}}

daje to nam ostatecznie:
f'_{x}(x,y)=x^{\frac{y}{x}-2}\cdot\left( y-y\ln{x}\right)

Żeby obliczyć pochodną po y, wystarczy użyć wzoru dla pochodnej funkcji wykładniczej. ;)
Winno wyjść:
f'_{y}(x,y)=\frac{1}{x}\ln{x}\sqrt[x]{x^y}

PS Pomimo tego, że temat sprzed 4 lat, to może komuś się to przyda :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2011, o 17:11 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Polska
Z definicji logarytmu:

f= \log _{x}y  \Leftrightarrow x ^{f}=y

Obustronne zlogarytmowanie przy podstawie e daje: \ln (x ^{f}) = \ln (y)  \Leftrightarrow  f \cdot \ln(x)=\ln(y)  \Leftrightarrow  f= \frac{\ln(y)}{\ln(x)}

Takie wyprowadzenie wzoru na zamianę podstawy logarytmu. :)

Stąd bezpośrednio:

\frac{ \partial f}{  \partial x } =  \frac{0 \cdot \n(x)-\ln(y)  \cdot \frac{1}{x} }{ \ln ^ {2} (x) } = - \frac{\ln(y)}{x \cdot  \ln ^ {2}(x)} \\ \\
 \frac{ \partial f}{ \partial y} =  \frac{1}{y \cdot \ln(x)}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pochodne dwóch zmiennych - zadanie 2
Stawiam pierwsze kroki w tym temacie i nie rozumiem paru rzeczy. u=ab^v, gdzie v=f(x) Pochodna w książce jest taka: u'=av'b^v \ln b. Skąd to się wzięło? Czy pochodna z b^...
 gosia19  3
 pochodne funkcji - zadanie 12
Mam obliczyć pochodne takich funkcji: - f(x)=(x-2)^{-3} (mój wynik : \frac{1}{(x^{3}-6x^{2}+12x-8)^{2}} - f(x)=(tgx)^{sinx}[/tex:18nho7v...
 eerroorr  8
 Ekstremum ciekawej f-cji 2 zmiennych do obliczenia
Witam, Mam obliczyć ekstremum takiej funkcji (wlacznie z dziedzina itd): z=x^{2}y, przy warunku x+y-100=0. Z gory dziekuje za pomoc....
 unreal1986  7
 Kresy funkcji wielu zmiennych
Niech A będzie macierzą symetryczną A \in M^{n \times n}. Wykaż, że funkcja f(x)= \frac{ x^{T}Ax }{||x||^{2} } określona na R^{n} \{0} przyjmuje swoje k...
 Kaleo  6
 funkcja dwóch zmiennych - zadanie 3
Dana jest funkcja:. f(x,y)= \sqrt{x ^{2}+4y ^{2} } Zbadać ciągłość ,różniczkowalność. Wyznaczyć punkty stacjonarne,ekstrema globalne. Dodano: 27 Listop...
 forsa2135  0
 Zbadanie monotoniczności funkcji wielu zmiennych
Witam. Czy mógłby ktoś obliczyć mi zadanie, przygotowuje sie do poprawki egzaminu z matematyki a w podreczniku tylko odpowiedzi ;( Zbadać monotoniczność w otoczeniu x0 w kierunku a oraz b x_0= (1,-1)^T,\ \ a= (2,3)^T,...
 figo101  0
 Jak obliczyć pochodne cząstkowe
Witam Mam problem z danym zadaniem a mianowicie : Obliczyć pochodne cząstkowe 1-go i 2-go rzędu dla funkcji f(x,y) = x*sin(xy ^{2})[/...
 crew1988  6
 Ekstremum funkcji dwóch zmiennych - zadanie 7
Witajcie, być może jest gdzieś tu odpowiedź na moje pytania, ale ciut zmęczony jestem wertowaniem google już;). Jeżeli było to proszę po prostu o przekierowanie mnie. 1. Co należy zrobić, gdy hesjan(jego wyznacznik) jest równy 0? Jest to tzw. przy...
 BioZ  7
 Pochodne funkcji wielu zmiennych - zadanie 3
Pokazać, że funkcja f \left( x,y \right) = \left( x-y^{2} \right) \left( 3x-y ^{2}\right) po obcięciu do dowolnej prostej przechodzącej przez ( 0, 0) ma minimum lokalne w (0,0). Czy f ma minimum l...
 miauczykotek  1
 Pochodne + indukcja matematyczna
Prosze o sprawdzenie i ewentualne poprawienie błędów: Funkcja f(x) dana jest wzorem: f(x) = ln(3-x). Obliczając kolejne pochodne sformułować, a następnie udowodnić indukcyjnie hipotezę na n-tą pochodną funkcji f(x)=ln(3-x&...
 ksavi  3
 Pochodne sprawdzenie wyników.
Dziś na egzaminie miałam zadanie, aby obliczyć monotoniczność tej funkcji : \frac{3x^2}{1-4x} Wyliczając f' wyszło mi \frac{-18x+12x^2}{-16x^2} miejsca zerowe...
 Dyy  1
 Zbadaj pochodne jednostronne
Badając pochodne jednostronne zbadaj czy istnieje pochodna w x=0 f(x) = \begin{cases} xarctg \frac{1}{x} x ...
 mafiaq  0
 Pochodne, monotoniczność
Witajcie! Mam zbadać monotoniczność takiej funkcji, \sin ^{2}x+ \frac{2}{3}\cos ^{4}x Wyliczyłem pochodną i równanie. Otrzymałem, że dla sin2x,x= \frac{k \pi }{2}, cos to \frac{...
 Ctrene  0
 Pochodne Cząstkowe - zadanie 106
Potrzebna mi pomoc żeby ogarnąć pochodne cząstkowe. Nie zbyt wiem jak je liczyć i wgl. Zacznijmy może od czego w miarę prostego (?): f\left(x,y\right) = 2x ^{7} - 4x ^{3} + 2xy + 5y ^{3} -3 Licząc pochodną po x...
 Riot  1
 Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych - zadanie 5
pewnie bez myślenia tak wpisałem. Już poprawiam...
 LeopoldSTUFF  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com