[ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
Witam mam problem otóż nie wiem jak policzyć pochodną po x dla równania:
f(x,y)= \log_x y gdzie x jest podstawa logarytmu

LaTeX :arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 luka52
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 13:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
f_x \left( x,y \right) = \left( \frac{ \ln y }{ \ln x } \right) _x=-\frac{ \ln a }{x  \left(  \ln x  \right) ^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 15:05 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
zakradł Ci się błąd natury raczej technicznej;) zamiast a mialobyc y... następne zadania:

f \left( x,y \right) =\sqrt[x] {x}^{y}
f \left( x,y \right) =\ln \left( x+\sqrt \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)  \right) x i y pod jednym pierwiastkiem;)
f \left( x,y \right) = \left( \frac{x}{y} \right) ^n \\
 f \left( x,y \right) =xy e^{-x^2}

poproszę o rozwiązanie po każdej z niewiadomych, a zarazem przepraszam za mojego Latexa z którym dopiero raczkuje;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2011, o 01:29 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}\\

licząc pochodną f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y} po x, należy zastosować pewne podstawienie:
x= e^{\ln{x}}

wówczas otrzymujemy (oznaczmy funkcję f(x,y), jako z):
z=\sqrt[x]{x}^{y}=x^{ \frac{y}{x}}={\left( e^{\ln{x}}\right)}^{\frac{y}{x}}=e^{ \frac{y\ln{x}}{x}} \\
i teraz podstawiamy:
z=e^u\\
u=\frac{y\ln{x}}{x}\\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}u}\cdot \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}\\
 \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}= \frac{\left( y\ln{x}\right)'x-y\ln{x}\left( x\right)'  }{x^2}= \frac{y-y\ln{x}}{x^2} \\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=e^{u}\cdot \frac{y-y\ln{x}}{x^2}

zauważmy, iż e^u=x^{\frac{y}{x}}

daje to nam ostatecznie:
f'_{x}(x,y)=x^{\frac{y}{x}-2}\cdot\left( y-y\ln{x}\right)

Żeby obliczyć pochodną po y, wystarczy użyć wzoru dla pochodnej funkcji wykładniczej. ;)
Winno wyjść:
f'_{y}(x,y)=\frac{1}{x}\ln{x}\sqrt[x]{x^y}

PS Pomimo tego, że temat sprzed 4 lat, to może komuś się to przyda :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2011, o 18:11 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Polska
Z definicji logarytmu:

f= \log _{x}y  \Leftrightarrow x ^{f}=y

Obustronne zlogarytmowanie przy podstawie e daje: \ln (x ^{f}) = \ln (y)  \Leftrightarrow  f \cdot \ln(x)=\ln(y)  \Leftrightarrow  f= \frac{\ln(y)}{\ln(x)}

Takie wyprowadzenie wzoru na zamianę podstawy logarytmu. :)

Stąd bezpośrednio:

\frac{ \partial f}{  \partial x } =  \frac{0 \cdot \n(x)-\ln(y)  \cdot \frac{1}{x} }{ \ln ^ {2} (x) } = - \frac{\ln(y)}{x \cdot  \ln ^ {2}(x)} \\ \\
 \frac{ \partial f}{ \partial y} =  \frac{1}{y \cdot \ln(x)}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pochodne dwóch zmiennych - zadanie 2
Stawiam pierwsze kroki w tym temacie i nie rozumiem paru rzeczy. u=ab^v, gdzie v=f(x) Pochodna w książce jest taka: u'=av'b^v \ln b. Skąd to się wzięło? Czy pochodna z b^...
 gosia19  3
 pochodne wyższych rzędów...
mam problem z takimi funkcjami: nie wiem czy dobrze zrobiłem: f=\frac{1+\sqrt{1+8x}}{4x} f'=\frac{(1+\sqrt{1+8x})' ...
 ksavi  2
 Obliczyć pochodne - zadanie 19
a) p(x)=(x-1)e^{\frac{1}{x-1}} b) q(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} c) f(x)=xe^{-3x} d) g(x)=\frac{1}{x\lnx}[/te...
 edycia17211  3
 Zamiana zmiennych w równaniu z pochodnymi cząstkowymi
Witam! Mam napisać następujące równanie w zmiennych (u,v,w(u,v))=(yz-x,xz-y, xy-z): (xy+z)\frac{\partial z}{\partial x}+(1-y^2)\frac{\partial z}{\partial y}=x+yz.[/tex...
 michalpp  0
 Ekstremum dwóch zmiennych
f(x,y)=2xy+ \frac{1}{x+y} f' _{x}=2y- \frac{1}{\left( x+y\right) ^{2} } f' _{y}=2x- \frac{1}{\left( x+y\right) ^{2} } Z waruneku ...
 m_skiba24  4
 pochodne cząstkowe - sprawdzenie
Nie wiem czy dobrze licze taka pochodna? f(x,y,z)= x^2 + \frac{xz}{y} +yz^3 mi wychodzi tak: \frac{ ...
 soocharek  1
 ekstremum funkcji 2 zmiennych - zadanie 11
Mam oto ten przykład : Sprawdz czy w P(0,0) Funkcja F(x,y)=e^{x-y}(x^{2}-2y^{2}) ma ekstremum jeśli tak to podaj jego wartość. I tu zaczyna się problem gdyż robi się u mnie sajgon przy liczeniu pochodnej...
 bul4  1
 Ekstrema lok. f. 2 zmiennych - sprawdzenie
Witam! Mam obliczyć ekstrema lokalne. Proszę o sprawdzenie: f(x,y) = 3\ln \frac{x}{6}+2 \ln y + \ln(12-x-y) \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{3}{x}+\frac{1}{12-x-y}[/tex:1espg...
 elektro  4
 oblicz gradient i pochodne cząstkowe
Nie. Cała reszta jest zle. Tylko to co Ci podpowiedziałem się zgadza. Wrocic do pochodnych funkcji jednej zmiennej bo tego się nigdy nie nauczysz...
 ilcia123123  24
 pochodne - zadanie 44
1. oblicz pochodne 1. y=x ln ^{2}x -2xlnx+2x 2.y=\frac{1}{2} x \sqrt{1-x^{2}} + \frac{1}{2} arcsinx 3.y=3sin ^{2} x-sin ^{3} x 4. y=sin ^{2} x ...
 tomek11  7
 Sprawdź ciągłość funkcji dwóch zmiennych z definicji
Sprawdzając, czy \lim_{(x,y)\to\pmb{0}}f(x,y)=2, sprawdzasz ciągłość f. A pochodne cząstkowe musisz liczyć w zerze z definicji. Z górnego wzoru obliczałbyś je poza zerem....
 Kerkyros  1
 Pochodne cząstkowe w ekstremum funkcji
Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu mam na pewno dobrze policzone. \frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \frac{1-3y}{x^2 + y^2} \frac{\partial f}{\partial x} = -2 + \frac{3y+...
 Sewar  6
 Pochodne funkcji - zadanie 38
Sprawdż że funkcjay= \sqrt{2x-x^2} spełnia warunek y^I^I^I*y^I^I+1=0 ^I^I^I ^I^I chodzi tu o pochodne a dokladnie 2 i 3 pochod...
 agnieszkaijustyna  7
 Wydzielono z: wzory na pochodne złożone
\mbox{f}(x)= \frac{\sqrt{\ln \left(x^2+5x \right)+x^4}}{ \tg \left( \sin \left(x^2+3x \right)+x^3 \right)} Potrzebuję pomocy przy wyliczeniu tej pochodnej. Wpisując w MATLAB'a mam jakiś...
 jjedrek  1
 Pochodne funkcji - zadanie 10
Witam. Mam Zbadać przebieg monotoniczności tej funkcji. f(x)= \frac{4x}{x ^{2}+2 } Zabrałam sięza to zadanie. Ale mm problem typu, że nie umiem dobrze obliczyć nawet jej 1 pochodnej. zaczelam to robic z wzoru [tex:37b4y...
 Daisyy  15
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com