szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 11:44 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
Witam mam problem otóż nie wiem jak policzyć pochodną po x dla równania:
f(x,y)= \log_x y gdzie x jest podstawa logarytmu

LaTeX :arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 luka52
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 12:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
f_x \left( x,y \right) = \left( \frac{ \ln y }{ \ln x } \right) _x=-\frac{ \ln a }{x  \left(  \ln x  \right) ^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 14:05 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
zakradł Ci się błąd natury raczej technicznej;) zamiast a mialobyc y... następne zadania:

f \left( x,y \right) =\sqrt[x] {x}^{y}
f \left( x,y \right) =\ln \left( x+\sqrt \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)  \right) x i y pod jednym pierwiastkiem;)
f \left( x,y \right) = \left( \frac{x}{y} \right) ^n \\
 f \left( x,y \right) =xy e^{-x^2}

poproszę o rozwiązanie po każdej z niewiadomych, a zarazem przepraszam za mojego Latexa z którym dopiero raczkuje;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2011, o 00:29 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}\\

licząc pochodną f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y} po x, należy zastosować pewne podstawienie:
x= e^{\ln{x}}

wówczas otrzymujemy (oznaczmy funkcję f(x,y), jako z):
z=\sqrt[x]{x}^{y}=x^{ \frac{y}{x}}={\left( e^{\ln{x}}\right)}^{\frac{y}{x}}=e^{ \frac{y\ln{x}}{x}} \\
i teraz podstawiamy:
z=e^u\\
u=\frac{y\ln{x}}{x}\\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}u}\cdot \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}\\
 \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}= \frac{\left( y\ln{x}\right)'x-y\ln{x}\left( x\right)'  }{x^2}= \frac{y-y\ln{x}}{x^2} \\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=e^{u}\cdot \frac{y-y\ln{x}}{x^2}

zauważmy, iż e^u=x^{\frac{y}{x}}

daje to nam ostatecznie:
f'_{x}(x,y)=x^{\frac{y}{x}-2}\cdot\left( y-y\ln{x}\right)

Żeby obliczyć pochodną po y, wystarczy użyć wzoru dla pochodnej funkcji wykładniczej. ;)
Winno wyjść:
f'_{y}(x,y)=\frac{1}{x}\ln{x}\sqrt[x]{x^y}

PS Pomimo tego, że temat sprzed 4 lat, to może komuś się to przyda :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2011, o 17:11 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Polska
Z definicji logarytmu:

f= \log _{x}y  \Leftrightarrow x ^{f}=y

Obustronne zlogarytmowanie przy podstawie e daje: \ln (x ^{f}) = \ln (y)  \Leftrightarrow  f \cdot \ln(x)=\ln(y)  \Leftrightarrow  f= \frac{\ln(y)}{\ln(x)}

Takie wyprowadzenie wzoru na zamianę podstawy logarytmu. :)

Stąd bezpośrednio:

\frac{ \partial f}{  \partial x } =  \frac{0 \cdot \n(x)-\ln(y)  \cdot \frac{1}{x} }{ \ln ^ {2} (x) } = - \frac{\ln(y)}{x \cdot  \ln ^ {2}(x)} \\ \\
 \frac{ \partial f}{ \partial y} =  \frac{1}{y \cdot \ln(x)}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pochodne dwóch zmiennych - zadanie 2
Stawiam pierwsze kroki w tym temacie i nie rozumiem paru rzeczy. u=ab^v, gdzie v=f(x) Pochodna w książce jest taka: u'=av'b^v \ln b. Skąd to się wzięło? Czy pochodna z b^...
 gosia19  3
 pochodne wyższych rzędów... - zadanie 2
proszę mi pokazać bo zapomniałem... jak obliczyć pochodną do czwartego rzędu z tego: f(x)= \sqrt{x+1} f'(x)= \frac{1}{2 \sqrt{x+1} } a dalej?! można prosi o pomoc?!...
 kamilcielinski  1
 Co to są pochodne?
facet na fizykę kazał nam sobie powtórzyć pochodne (dokładniej pochodna jednej zmiennej i stałej), tylko jest mały problem... ja nigdy o czymś takim nie słyszałam! w liceum miałam bardzo niski poziom fizyki i nie robiliśmy żadnych skomplikowanych rze...
 kalinka02  4
 ekstremum fukcji wielu zmiennych
Witam;)...mam problem z następujacym zadaniem : Na elipsie opisać trójkąt o najwiekszym polu o podstawie równoległej do osi elipsy...czy ktoś mógłby mi pomóc w ułozeniu funkcji pola takiego trójkata?...z góry dziękuje za pomoc;)...
 xtremalny  3
 Kresy funkcji wielu zmiennych
Niech A będzie macierzą symetryczną A \in M^{n \times n}. Wykaż, że funkcja f(x)= \frac{ x^{T}Ax }{||x||^{2} } określona na R^{n} \{0} przyjmuje swoje k...
 Kaleo  6
 Zamiana zmiennych w równaniu z pochodnymi cząstkowymi
Witam! Mam napisać następujące równanie w zmiennych (u,v,w(u,v))=(yz-x,xz-y, xy-z): (xy+z)\frac{\partial z}{\partial x}+(1-y^2)\frac{\partial z}{\partial y}=x+yz.[/tex...
 michalpp  0
 Zbadanie monotoniczności funkcji wielu zmiennych
Witam. Czy mógłby ktoś obliczyć mi zadanie, przygotowuje sie do poprawki egzaminu z matematyki a w podreczniku tylko odpowiedzi ;( Zbadać monotoniczność w otoczeniu x0 w kierunku a oraz b x_0= (1,-1)^T,\ \ a= (2,3)^T,...
 figo101  0
 pochodne - zadanie 61
mam tu trzy pochodne ktore mi nie chcą wyjść 1. y=arcsin(sinx) 2. y= arctg \frac{1+x}{1-x} 3. y= ln(x+ \sqrt{ 1+x ^{2}}...
 Mariola89  11
 pochodne funkcji z definicji
Witam. Obliczyć trzeba pochodne: \log_a x logarytm o podstawie a z x oraz a^x -( a do potęgi x) z definicji pochodnej czyli \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x) -...
 piotrek24061988  1
 Ekstrema lok. f. 2 zmiennych - sprawdzenie
Witam! Mam obliczyć ekstrema lokalne. Proszę o sprawdzenie: f(x,y) = 3\ln \frac{x}{6}+2 \ln y + \ln(12-x-y) \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{3}{x}+\frac{1}{12-x-y}[/tex:1espg...
 elektro  4
 Pochodne + indukcja matematyczna
Prosze o sprawdzenie i ewentualne poprawienie błędów: Funkcja f(x) dana jest wzorem: f(x) = ln(3-x). Obliczając kolejne pochodne sformułować, a następnie udowodnić indukcyjnie hipotezę na n-tą pochodną funkcji f(x)=ln(3-x&...
 ksavi  3
 Pochodne. Ekstremum.
Wymiary podstawy: 3x i 4x, wysokość: H. P _{c} =2 \cdot 12x ^{2} +2 \cdot 4x \cdot H+2 \cdot 3x \cdot H=48 /:2 12x ^{2} +4xH+3xH=24 12x ^{2} +7xH=24 ...
 khatus  1
 oblicz gradient i pochodne cząstkowe
Nie. Cała reszta jest zle. Tylko to co Ci podpowiedziałem się zgadza. Wrocic do pochodnych funkcji jednej zmiennej bo tego się nigdy nie nauczysz...
 ilcia123123  24
 Zbadaj pochodne jednostronne
Badając pochodne jednostronne zbadaj czy istnieje pochodna w x=0 f(x) = \begin{cases} xarctg \frac{1}{x} x ...
 mafiaq  0
 Pochodne ze wzorów
Oblicz pochodne funkcji za pomocą wzorów: a)\ln f(x) b)f(x)^{2} c)f \left( g \left( x \right) +h \left( x \right) \right)[/tex:2em33hlh...
 roksana107  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com