[ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
Witam mam problem otóż nie wiem jak policzyć pochodną po x dla równania:
f(x,y)= \log_x y gdzie x jest podstawa logarytmu

LaTeX :arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 luka52
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 13:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
f_x \left( x,y \right) = \left( \frac{ \ln y }{ \ln x } \right) _x=-\frac{ \ln a }{x  \left(  \ln x  \right) ^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 15:05 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
zakradł Ci się błąd natury raczej technicznej;) zamiast a mialobyc y... następne zadania:

f \left( x,y \right) =\sqrt[x] {x}^{y}
f \left( x,y \right) =\ln \left( x+\sqrt \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)  \right) x i y pod jednym pierwiastkiem;)
f \left( x,y \right) = \left( \frac{x}{y} \right) ^n \\
 f \left( x,y \right) =xy e^{-x^2}

poproszę o rozwiązanie po każdej z niewiadomych, a zarazem przepraszam za mojego Latexa z którym dopiero raczkuje;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2011, o 01:29 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}\\

licząc pochodną f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y} po x, należy zastosować pewne podstawienie:
x= e^{\ln{x}}

wówczas otrzymujemy (oznaczmy funkcję f(x,y), jako z):
z=\sqrt[x]{x}^{y}=x^{ \frac{y}{x}}={\left( e^{\ln{x}}\right)}^{\frac{y}{x}}=e^{ \frac{y\ln{x}}{x}} \\
i teraz podstawiamy:
z=e^u\\
u=\frac{y\ln{x}}{x}\\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}u}\cdot \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}\\
 \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}= \frac{\left( y\ln{x}\right)'x-y\ln{x}\left( x\right)'  }{x^2}= \frac{y-y\ln{x}}{x^2} \\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=e^{u}\cdot \frac{y-y\ln{x}}{x^2}

zauważmy, iż e^u=x^{\frac{y}{x}}

daje to nam ostatecznie:
f'_{x}(x,y)=x^{\frac{y}{x}-2}\cdot\left( y-y\ln{x}\right)

Żeby obliczyć pochodną po y, wystarczy użyć wzoru dla pochodnej funkcji wykładniczej. ;)
Winno wyjść:
f'_{y}(x,y)=\frac{1}{x}\ln{x}\sqrt[x]{x^y}

PS Pomimo tego, że temat sprzed 4 lat, to może komuś się to przyda :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2011, o 18:11 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Polska
Z definicji logarytmu:

f= \log _{x}y  \Leftrightarrow x ^{f}=y

Obustronne zlogarytmowanie przy podstawie e daje: \ln (x ^{f}) = \ln (y)  \Leftrightarrow  f \cdot \ln(x)=\ln(y)  \Leftrightarrow  f= \frac{\ln(y)}{\ln(x)}

Takie wyprowadzenie wzoru na zamianę podstawy logarytmu. :)

Stąd bezpośrednio:

\frac{ \partial f}{  \partial x } =  \frac{0 \cdot \n(x)-\ln(y)  \cdot \frac{1}{x} }{ \ln ^ {2} (x) } = - \frac{\ln(y)}{x \cdot  \ln ^ {2}(x)} \\ \\
 \frac{ \partial f}{ \partial y} =  \frac{1}{y \cdot \ln(x)}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pochodne dwóch zmiennych - zadanie 2
Stawiam pierwsze kroki w tym temacie i nie rozumiem paru rzeczy. u=ab^v, gdzie v=f(x) Pochodna w książce jest taka: u'=av'b^v \ln b. Skąd to się wzięło? Czy pochodna z b^...
 gosia19  3
 Ekstremum ciekawej f-cji 2 zmiennych do obliczenia
Witam, Mam obliczyć ekstremum takiej funkcji (wlacznie z dziedzina itd): z=x^{2}y, przy warunku x+y-100=0. Z gory dziekuje za pomoc....
 unreal1986  7
 Obliczyć pochodne z reguł różniczkowania
Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji: a) y = \frac{ x^{2} + 1 }{x^{3} + x} \\ \\ b) y = (1 + \sqrt{x} ) tg \sqrt{x} \\ \\ c) y = \sqrt{sin \frac{1}{x^{4}} + 3 }...
 zaba555  1
 Pochodne cząstkowe mieszane
Jak je obliczać ?? Jeżeli jest np. funkcja: f(x,y)=xy+\frac{x^2}{y^3} to: \frac{\partial f}{\partial x}=y+\frac {2x}{y^3} \frac{\partial f}{\partial y}=x-\...
 Pindol  4
 Zbadanie monotoniczności funkcji wielu zmiennych
Witam. Czy mógłby ktoś obliczyć mi zadanie, przygotowuje sie do poprawki egzaminu z matematyki a w podreczniku tylko odpowiedzi ;( Zbadać monotoniczność w otoczeniu x0 w kierunku a oraz b x_0= (1,-1)^T,\ \ a= (2,3)^T,...
 figo101  0
 Jak obliczyć pochodne cząstkowe
Witam Mam problem z danym zadaniem a mianowicie : Obliczyć pochodne cząstkowe 1-go i 2-go rzędu dla funkcji f(x,y) = x*sin(xy ^{2})[/...
 crew1988  6
 Tajemnicze pochodne
napisane: 1 lutego] Należy zróżniczkować: 1) |x|^{3} 2) \{x\} 3) sgn(x^{5}-x^{3}) Gdzie [tex...
 Dedemonn  1
 Pochodne funkcji wielu zmiennych - zadanie 3
Pokazać, że funkcja f \left( x,y \right) = \left( x-y^{2} \right) \left( 3x-y ^{2}\right) po obcięciu do dowolnej prostej przechodzącej przez ( 0, 0) ma minimum lokalne w (0,0). Czy f ma minimum l...
 miauczykotek  1
 obliczyc 2 pochodne
Jak w temacie, obliczyc pochodne, korzystajac z regul rozniczkowania y= \sqrt{x} y= \arctg(1+\sqrt{2x})tg(\sqrt{2x})...
 TheTaoist  4
 Pochodne sprawdzenie wyników.
Dziś na egzaminie miałam zadanie, aby obliczyć monotoniczność tej funkcji : \frac{3x^2}{1-4x} Wyliczając f' wyszło mi \frac{-18x+12x^2}{-16x^2} miejsca zerowe...
 Dyy  1
 wyprowadzić wzory na pochodne z definicji pochodnej
z definicji pochodnej lim A->0 (f(x+A) - f(x))/(A) wyprowadzić wzory na pochodne: 1.arcsinx 2.arccosx 3.arctanx. 4arccotx. 5. xe^(-x) 6. (cosx)/(x)...
 piotrek24061988  1
 Pochodne, monotoniczność
Witajcie! Mam zbadać monotoniczność takiej funkcji, \sin ^{2}x+ \frac{2}{3}\cos ^{4}x Wyliczyłem pochodną i równanie. Otrzymałem, że dla sin2x,x= \frac{k \pi }{2}, cos to \frac{...
 Ctrene  0
 Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych - zadanie 5
pewnie bez myślenia tak wpisałem. Już poprawiam...
 LeopoldSTUFF  7
 Zamiana zmiennych - zadanie 2
W wyrażeniu: y \frac{dz}{dx} - x \frac{dz}{dy}[/tex:mt...
 nerdek  2
 wykres funkcji dwóch zmiennych - zadanie 2
obliczyć dziedzinę i narysować w układzie współrzędnych. z=ln \frac{x+2y}{3x}...
 nowas-looz  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com