[ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
Witam mam problem otóż nie wiem jak policzyć pochodną po x dla równania:
f(x,y)= \log_x y gdzie x jest podstawa logarytmu

LaTeX :arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 luka52
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 13:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
f_x \left( x,y \right) = \left( \frac{ \ln y }{ \ln x } \right) _x=-\frac{ \ln a }{x  \left(  \ln x  \right) ^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 15:05 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
zakradł Ci się błąd natury raczej technicznej;) zamiast a mialobyc y... następne zadania:

f \left( x,y \right) =\sqrt[x] {x}^{y}
f \left( x,y \right) =\ln \left( x+\sqrt \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)  \right) x i y pod jednym pierwiastkiem;)
f \left( x,y \right) = \left( \frac{x}{y} \right) ^n \\
 f \left( x,y \right) =xy e^{-x^2}

poproszę o rozwiązanie po każdej z niewiadomych, a zarazem przepraszam za mojego Latexa z którym dopiero raczkuje;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2011, o 01:29 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}\\

licząc pochodną f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y} po x, należy zastosować pewne podstawienie:
x= e^{\ln{x}}

wówczas otrzymujemy (oznaczmy funkcję f(x,y), jako z):
z=\sqrt[x]{x}^{y}=x^{ \frac{y}{x}}={\left( e^{\ln{x}}\right)}^{\frac{y}{x}}=e^{ \frac{y\ln{x}}{x}} \\
i teraz podstawiamy:
z=e^u\\
u=\frac{y\ln{x}}{x}\\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}u}\cdot \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}\\
 \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}= \frac{\left( y\ln{x}\right)'x-y\ln{x}\left( x\right)'  }{x^2}= \frac{y-y\ln{x}}{x^2} \\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=e^{u}\cdot \frac{y-y\ln{x}}{x^2}

zauważmy, iż e^u=x^{\frac{y}{x}}

daje to nam ostatecznie:
f'_{x}(x,y)=x^{\frac{y}{x}-2}\cdot\left( y-y\ln{x}\right)

Żeby obliczyć pochodną po y, wystarczy użyć wzoru dla pochodnej funkcji wykładniczej. ;)
Winno wyjść:
f'_{y}(x,y)=\frac{1}{x}\ln{x}\sqrt[x]{x^y}

PS Pomimo tego, że temat sprzed 4 lat, to może komuś się to przyda :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2011, o 18:11 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Polska
Z definicji logarytmu:

f= \log _{x}y  \Leftrightarrow x ^{f}=y

Obustronne zlogarytmowanie przy podstawie e daje: \ln (x ^{f}) = \ln (y)  \Leftrightarrow  f \cdot \ln(x)=\ln(y)  \Leftrightarrow  f= \frac{\ln(y)}{\ln(x)}

Takie wyprowadzenie wzoru na zamianę podstawy logarytmu. :)

Stąd bezpośrednio:

\frac{ \partial f}{  \partial x } =  \frac{0 \cdot \n(x)-\ln(y)  \cdot \frac{1}{x} }{ \ln ^ {2} (x) } = - \frac{\ln(y)}{x \cdot  \ln ^ {2}(x)} \\ \\
 \frac{ \partial f}{ \partial y} =  \frac{1}{y \cdot \ln(x)}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pochodne dwóch zmiennych - zadanie 2
Stawiam pierwsze kroki w tym temacie i nie rozumiem paru rzeczy. u=ab^v, gdzie v=f(x) Pochodna w książce jest taka: u'=av'b^v \ln b. Skąd to się wzięło? Czy pochodna z b^...
 gosia19  3
 Pochodne funkcji z definicja
f(x)=\tg x, x_{0}= \frac{1}{6} \pi Wiem że to wyjdzie \frac{1}{ \cos ^{2}x } patrząc na wzory, ale chciałbym to zobaczyć krok po kroku. Pomożecie?...
 photer92  4
 Obliczyć pochodne cząstkowe - zadanie 4
Zgodnie ze wzorem na pochodną iloczynu drugi czynnik nie ulega różniczkowaniu, a faktycznie, tak jak napisałaś x' = 1, dlatego z pierwszego składnika z mnożenia powinno wyjść \left( \cos y\right)...
 enika  16
 różniczkowalność funkcji dwóch zmiennych - zadanie 8
Mam pytanie jak z definicji sprawdzić czy funkcja jest różniczkowalna w punkcie który jest podejrzany że może w nim nie być?...
 Kamil2536  1
 Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych - zadanie 17
Witam Mój problem polega na tym że nie byłem w stanie wyliczyć wartości x i y wychodziły jakieś kosmosy, czy ktoś będzie tak dobry i rozwiąże to zadanie krok po kroku albo poda wynik może taki ma być jak mi wyszedł z=x^{3}+8y^{3}-6xy+...
 Tomasz89  5
 wyliczyć pochodne cząstkowe - zadanie 2
f\left( x,y\right)=ysinx+xy ^{2} pochodne: x,y, xx, yy, xy, yx. Prosiłbym o wyjaśnienie. Dziękuje z góry....
 izhmash  3
 Pochodne cząstkowe funkcji złożonych
Znaleźć pochodne cząstkowe \frac{\partial z}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial v} dla z=F(x(v), y(u)) i z=F(t(u, v))...
 lennyh  2
 Pochodne - wklęsłość, wypukłość, ekstrema, monotoniczność
Witam ponownie, jestem tu nowa, jeśli znowu źle umieściłam to proszę o przeniesienie. Mam problem z zadaniami z pochodnymi i bardzo proszę o pomoc, byłabym wdzięczna również gdyby ktoś mi wytłumaczył kiedy stosuje się tw. o funkcji złożonej. Zad. 1...
 edycia17211  6
 Pochodne funkcji - zadanie 77
f(x)= \frac{2^x+\ln 3}{3^x} f'(x)= \frac{(2^x\ln 2- { \frac{1}{3}) \cdot 3^x-(2 ^{x}-\ln 3) \cdot (3^x\ln 3 ) } }{3^x{2}} nie wiem co dalej ... odp...
 adaxada  1
 ekstremum funkcji dwoch zmiennych - zadanie 27
Niezupełnie Mamy raczej: 2cos\frac{2x+y}{2}cos\frac{-y}{2}=0 2cos\frac{x+2y}{2}cos\frac{-x}{2}=0...
 milar1  14
 pochodne cząstkowe - zadanie 57
jak wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego względem każdej ze zmiennych? f(x,y)=(2x^{2}y-x^{5}+2y)^{4}...
 sasasa  1
 Pochodne niewlasciwe
Zbadac czy podana funkcja ma pochodzna niewlasciwa w punkcie x_{0}=0 f(x)= \sqrt{sinx} prosze o pelny sposob rozwiazania zadania...
 adrian_wroclaw  1
 Pochodne cząstkowe. Czy dobrze to liczę ?
Witam Muszę policzyć pochodne cząstkowe funkcji \frac{c ^{2}-s ^{2}}{ 4c} I trochę dziwnie mi to wychodzi. Może ktoś sprawdzić: \frac{\partial f}{ \partial c}= \frac{(c^2-s^2)'*(4c^2)-&#4...
 edek1234  11
 Pochodne funkcji!
Witam niedlugo mam kolokwium z pochodnej funkcji a niezbyt się orientuje. Na chwile obecna znam wzory elementarne i ogolnie wzory ilorazu iloczynu itp. Zamieszczam liste zadań z których jakieś bedą na kolokwium. Zadania od a-d potrafie rozwiazać z r...
 macbaz  3
 ekstrema wielu zmiennych
siemka, mam ciężkie zadanie z ekstremów funkcji wielu zmiennych a mianowicie f(x,y)= x^{3} + y ^{2} -2xy może ktoś pomoże rozwiązać zadanie i objaśni jak sie to robi i skąd...
 marcinp-87  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com