szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 11:44 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
Witam mam problem otóż nie wiem jak policzyć pochodną po x dla równania:
f(x,y)= \log_x y gdzie x jest podstawa logarytmu

LaTeX :arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 luka52
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 12:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
f_x \left( x,y \right) = \left( \frac{ \ln y }{ \ln x } \right) _x=-\frac{ \ln a }{x  \left(  \ln x  \right) ^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 14:05 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
zakradł Ci się błąd natury raczej technicznej;) zamiast a mialobyc y... następne zadania:

f \left( x,y \right) =\sqrt[x] {x}^{y}
f \left( x,y \right) =\ln \left( x+\sqrt \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)  \right) x i y pod jednym pierwiastkiem;)
f \left( x,y \right) = \left( \frac{x}{y} \right) ^n \\
 f \left( x,y \right) =xy e^{-x^2}

poproszę o rozwiązanie po każdej z niewiadomych, a zarazem przepraszam za mojego Latexa z którym dopiero raczkuje;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2011, o 00:29 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}\\

licząc pochodną f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y} po x, należy zastosować pewne podstawienie:
x= e^{\ln{x}}

wówczas otrzymujemy (oznaczmy funkcję f(x,y), jako z):
z=\sqrt[x]{x}^{y}=x^{ \frac{y}{x}}={\left( e^{\ln{x}}\right)}^{\frac{y}{x}}=e^{ \frac{y\ln{x}}{x}} \\
i teraz podstawiamy:
z=e^u\\
u=\frac{y\ln{x}}{x}\\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}u}\cdot \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}\\
 \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}= \frac{\left( y\ln{x}\right)'x-y\ln{x}\left( x\right)'  }{x^2}= \frac{y-y\ln{x}}{x^2} \\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=e^{u}\cdot \frac{y-y\ln{x}}{x^2}

zauważmy, iż e^u=x^{\frac{y}{x}}

daje to nam ostatecznie:
f'_{x}(x,y)=x^{\frac{y}{x}-2}\cdot\left( y-y\ln{x}\right)

Żeby obliczyć pochodną po y, wystarczy użyć wzoru dla pochodnej funkcji wykładniczej. ;)
Winno wyjść:
f'_{y}(x,y)=\frac{1}{x}\ln{x}\sqrt[x]{x^y}

PS Pomimo tego, że temat sprzed 4 lat, to może komuś się to przyda :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2011, o 17:11 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Polska
Z definicji logarytmu:

f= \log _{x}y  \Leftrightarrow x ^{f}=y

Obustronne zlogarytmowanie przy podstawie e daje: \ln (x ^{f}) = \ln (y)  \Leftrightarrow  f \cdot \ln(x)=\ln(y)  \Leftrightarrow  f= \frac{\ln(y)}{\ln(x)}

Takie wyprowadzenie wzoru na zamianę podstawy logarytmu. :)

Stąd bezpośrednio:

\frac{ \partial f}{  \partial x } =  \frac{0 \cdot \n(x)-\ln(y)  \cdot \frac{1}{x} }{ \ln ^ {2} (x) } = - \frac{\ln(y)}{x \cdot  \ln ^ {2}(x)} \\ \\
 \frac{ \partial f}{ \partial y} =  \frac{1}{y \cdot \ln(x)}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pochodne dwóch zmiennych - zadanie 2
Stawiam pierwsze kroki w tym temacie i nie rozumiem paru rzeczy. u=ab^v, gdzie v=f(x) Pochodna w książce jest taka: u'=av'b^v \ln b. Skąd to się wzięło? Czy pochodna z b^...
 gosia19  3
 Wyznaczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania: Wyznaczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem każdej zmiennej: a) f \left( x, y \right) = x ^{4} + y ^{2} - 4x b) f \left( x, y, z \...
 ggg  2
 Esktrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Mam znaleźć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych postaci: f(x,y)=x^{4}+y^{4} Wychodzi mi, że istnienie ekstremum jest możliwe tylko w punkcie (0,0), a więc macierz pochod...
 merila  1
 pochodne częstkowe-korekta
Poproszę o sprawdzenie i ewentualne korekty: 100 \sqrt{x_{1}x_{2}} -2x_{1}-3x_{2} po x1) 100* \frac{2}{3}x ^{ \frac{5}{3} } * \sqrt{x_{2}}-2-3x_{2}...
 MgielkaCuba  5
 Pochodne czastkowe - zadanie 10
Ucze sie do poprawki aktualnie. Granice rozumiem, mam problem z pewnymi przykladami, szczegolnie z wart bezwzg. Pochodne potrafie robic, liczyc wypuklosci,pkt przegiecia. Mam problem z ekstramami -normalne potrafie obliczyc, gorzej gdy sa to pochodne...
 kolokolo  1
 Granica 3 zmiennych
Przy badaniu różniczkowalności pojawia mi się taka granica: \lim_{(h_1,h_2,h_3) \to (0,0,0)} \frac{h_2(h_1^2+2h_1)}{|h_2| \sqrt{1+ \frac{h_1^2}{h_2^2}+ \frac{h_3^2}{h_2^2} } }... Czy mogę tutaj sk...
 wiskitki  1
 Pochodne funkcji złożonej i eksponencjalnej
mam problem z policzeniem kilku przykładów, może ktoś by coś poradził? Byłbym bardzo wdzięczny...bardzo bardzo 1. y= 3tg\sqrt{x}\cdot e^{-2x}[/tex:2y...
 ceiro  1
 Różniczka funkcji wielu zmiennych
w pierwszym przykladzie liczysz pochodna czastokowa po x a \ln y jest wtedy traktowane jak czynnik staly przy pochodnej jednej zmiennej, w drugiej masz natomiast iloczyn dwoch czynnikow zawier...
 Fotoraj  2
 Różniczkowalność funkcji dwóch zmiennych - zadanie 10
Witam! Zbadać różniczkowalność funkcji f(x,y) = \begin{cases} 15 \ , \ (x,y)=(0,-3) \\ 3x- 5y +\frac{xy+3x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+6y+9}}, \ (x,y) \neq (0,-3) \end{cases} w punkcie [tex...
 bombek  4
 pochodne kierunkowe - zadanie 6
Mam do policzenia pochodne kierunkowe następujących funkcji a) f(x,y)= \begin{cases}( \frac{x ^{2}y ^{2} }{x ^{2}+y ^{2}}, \frac{x ^{2}y}{x ^{4}+y ^{2}} , x+y) dla (x,y) \neq (0,0) \\ (0,0,0)...
 anetaaneta1  0
 Pochodne do sprawdzenia - zadanie 6
y'=\left(4 \sqrt{\ctg ^{2}x}+ \sqrt{\ctg ^{8}x} \right)' = -\frac{2}{ \sqrt{\ctg x} \cdot \sin ^{2}x }- \frac{8 \sqrt{\ctg ^{5}x} }{3\sin ^{2}x} Dobrze?...
 XarkaX  1
 Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych
Witam, jestem zdesperowany nieumiejętnością znalezienia odpowiedzi, dlatego zwracam się do forumowiczów. Dane są: f: x^{4}y+xy^{4}-ax^{2}y{2}=a^{5}, a\neq0, f: x \rightarrow y(x). W otoczeniu (...
 lifer  2
 Pochodne 3 zadania
Proszę o rozwiązania poniższych przykładów zadan: Wyznacz pochodne z definicji g(x)=\frac{2}{x} Wyznacz dziedzine i pochodną funkcji h(x)=\sqrt{x^2-7x+6} Wyznacz pochodną fu...
 Bartt  1
 pochodne cząstkowe w punkcie - zadanie 3
Dana jest funkcja u= \frac{\cos (\phi-2\psi)}{\cos (\phi+2\psi)}. Znaleźć \frac{du}{d\psi} w punkcie \phi=\pi, \psi= \frac{\pi}{4} Powinno wyjść [...
 murfy  1
 pochodna dwóch zmiennych - zadanie 3
Witam, Mam problem z pochodną dwóch zmiennych. Nie miałam ich jeszcze na uczelni, a mam do obliczenia niepewność pomiarową metodą różniczkowania w sprawozdaniu z fizyki. Kompletnie nie wiem jak się za ta zabrać. Proszę o pomoc. Przykład: [tex:94y3rdu...
 milen_a  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com