szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 11:44 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
Witam mam problem otóż nie wiem jak policzyć pochodną po x dla równania:
f(x,y)= \log_x y gdzie x jest podstawa logarytmu

LaTeX :arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 luka52
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 12:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
f_x \left( x,y \right) = \left( \frac{ \ln y }{ \ln x } \right) _x=-\frac{ \ln a }{x  \left(  \ln x  \right) ^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2007, o 14:05 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rybnik
zakradł Ci się błąd natury raczej technicznej;) zamiast a mialobyc y... następne zadania:

f \left( x,y \right) =\sqrt[x] {x}^{y}
f \left( x,y \right) =\ln \left( x+\sqrt \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)  \right) x i y pod jednym pierwiastkiem;)
f \left( x,y \right) = \left( \frac{x}{y} \right) ^n \\
 f \left( x,y \right) =xy e^{-x^2}

poproszę o rozwiązanie po każdej z niewiadomych, a zarazem przepraszam za mojego Latexa z którym dopiero raczkuje;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2011, o 00:29 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}\\

licząc pochodną f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y} po x, należy zastosować pewne podstawienie:
x= e^{\ln{x}}

wówczas otrzymujemy (oznaczmy funkcję f(x,y), jako z):
z=\sqrt[x]{x}^{y}=x^{ \frac{y}{x}}={\left( e^{\ln{x}}\right)}^{\frac{y}{x}}=e^{ \frac{y\ln{x}}{x}} \\
i teraz podstawiamy:
z=e^u\\
u=\frac{y\ln{x}}{x}\\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}u}\cdot \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}\\
 \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}= \frac{\left( y\ln{x}\right)'x-y\ln{x}\left( x\right)'  }{x^2}= \frac{y-y\ln{x}}{x^2} \\
\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=e^{u}\cdot \frac{y-y\ln{x}}{x^2}

zauważmy, iż e^u=x^{\frac{y}{x}}

daje to nam ostatecznie:
f'_{x}(x,y)=x^{\frac{y}{x}-2}\cdot\left( y-y\ln{x}\right)

Żeby obliczyć pochodną po y, wystarczy użyć wzoru dla pochodnej funkcji wykładniczej. ;)
Winno wyjść:
f'_{y}(x,y)=\frac{1}{x}\ln{x}\sqrt[x]{x^y}

PS Pomimo tego, że temat sprzed 4 lat, to może komuś się to przyda :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 paź 2011, o 17:11 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Polska
Z definicji logarytmu:

f= \log _{x}y  \Leftrightarrow x ^{f}=y

Obustronne zlogarytmowanie przy podstawie e daje: \ln (x ^{f}) = \ln (y)  \Leftrightarrow  f \cdot \ln(x)=\ln(y)  \Leftrightarrow  f= \frac{\ln(y)}{\ln(x)}

Takie wyprowadzenie wzoru na zamianę podstawy logarytmu. :)

Stąd bezpośrednio:

\frac{ \partial f}{  \partial x } =  \frac{0 \cdot \n(x)-\ln(y)  \cdot \frac{1}{x} }{ \ln ^ {2} (x) } = - \frac{\ln(y)}{x \cdot  \ln ^ {2}(x)} \\ \\
 \frac{ \partial f}{ \partial y} =  \frac{1}{y \cdot \ln(x)}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pochodne dwóch zmiennych - zadanie 2
Stawiam pierwsze kroki w tym temacie i nie rozumiem paru rzeczy. u=ab^v, gdzie v=f(x) Pochodna w książce jest taka: u'=av'b^v \ln b. Skąd to się wzięło? Czy pochodna z b^...
 gosia19  3
 Pochodna z pierwiastka sumy dwóch liczb
Mam do policzenia jedną pochodną, z którą sobie nie radzę. Proszę o pomoc, oto ona: f(x)= \sqrt{2+5\ln^{3}x} Proszę o podanie wzorów wykorzystanych do rozwiązania, przynajmniej początkową postać...
 josep6  4
 Zamiana zmiennych w równaniu z pochodnymi cząstkowymi
Witam! Mam napisać następujące równanie w zmiennych (u,v,w(u,v))=(yz-x,xz-y, xy-z): (xy+z)\frac{\partial z}{\partial x}+(1-y^2)\frac{\partial z}{\partial y}=x+yz.[/tex...
 michalpp  0
 Pochodne cząstkowe wielomianów
No to właśnie to napisałem w pierwszym poście, że umiem zapisać go w postaci ogólnej i udowodnić, pytam czy można inaczej ...
 silvaran  3
 pochodne - zadanie 61
mam tu trzy pochodne ktore mi nie chcą wyjść 1. y=arcsin(sinx) 2. y= arctg \frac{1+x}{1-x} 3. y= ln(x+ \sqrt{ 1+x ^{2}}...
 Mariola89  11
 pochodne cząstkowe i różniczkowalność
dana jest funkcja f: R^{2} \rightarrow R określona wzorem: f(x,y)= \left\{\begin{array}{l}xy \cdot \sin \frac{1}{ x^{2} + y^{2} } , (x,y) \neq (0,0&#...
 kkate559  0
 4 zadania - funkcje 1 i 2 zmiennych
Witam serdecznie Forumowiczów ... zaczne od tego , że jestem cienki z matmy ( dlatego prosze o pomoc) , a mianowicie dostałem pare zadań do zrobienia na zaliczenie ... z którymi mam nie mały kłopot ... tak wiec prosze o pomoc ... sa to 4 zadania ... ...
 gRAVE  1
 Ekstrema lok. f. 2 zmiennych - sprawdzenie
Witam! Mam obliczyć ekstrema lokalne. Proszę o sprawdzenie: f(x,y) = 3\ln \frac{x}{6}+2 \ln y + \ln(12-x-y) \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{3}{x}+\frac{1}{12-x-y}[/tex:1espg...
 elektro  4
 kłopotliwe pochodne
Cześć ...
 Raja  1
 Pochodne. Ekstremum.
Wymiary podstawy: 3x i 4x, wysokość: H. P _{c} =2 \cdot 12x ^{2} +2 \cdot 4x \cdot H+2 \cdot 3x \cdot H=48 /:2 12x ^{2} +4xH+3xH=24 12x ^{2} +7xH=24 ...
 khatus  1
 oblicz gradient i pochodne cząstkowe
Nie. Cała reszta jest zle. Tylko to co Ci podpowiedziałem się zgadza. Wrocic do pochodnych funkcji jednej zmiennej bo tego się nigdy nie nauczysz...
 ilcia123123  24
 równanie i pochodne cząstkowe
Sprawdzić czy dana funkcja spełnia podane równanie: u= \frac{1}{ \sqrt{x^2+y^2+z^2} } \frac{ \partial ^2u}{ \partial x^2} + \frac{ \partial ^2u}{ \partial y^2} + \frac{ \partial ^2u}{ \partial z^2} =0[/tex:...
 lofi  4
 Wyznaczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania: Wyznaczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem każdej zmiennej: a) f \left( x, y \right) = x ^{4} + y ^{2} - 4x b) f \left( x, y, z \...
 ggg  2
 pochodna funkcji trzech zmiennych
witam prosze o sprawdzenie zadania: obliczyc gradient funkcji F(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2-z^2} grad F = (\frac{\partial F}{\partial x}},\frac{\partial F}{\partial y}},\frac{\partial F}{\partial z}}...
 Jacek_fizyk  1
 Zbadać ekstrema funkcji 2 zmiennych
Zbadać ekstrema funkcji dwóch zmiennych: f(x,y) = x ^{3} + 8y^{3} - 6xy +1 byłabym wdzięczna gdyby ktoś krok po kroku wytłumaczył co się robi. Z góry dziękuje....
 nataleczkafr  25
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com