szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2007, o 21:42 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: 3m
Witam, prosze o pomoc w znalezieniu wzoru jawnego.

Ciagi typu
a_{n+2}=5\cdot a_{n+1}-6\cdot a_{n}
a_{0}=2
a_{1}=5

rozwiazuje sie poprzez rownanie charakterystyczne, a co jesli mamy 3 skladniki sumy i sa to:

a). trzy wyrazy ciagu
a_{n+3}=2\cdot a_{n+2}+\cdot a_{n+1}-2\cdot a_{n}
a_{0}=0
a_{1}=1
a_{2}=9

b). dwa wyrazy i wyraz wolny
a_{n+2}=5\cdot a_{n+1}-6\cdot a_{n}+5
a_{0}=2
a_{1}=5
?


Podpunkt a). mam w zbiorze w temacie / dziale rownania charakterystyczne i brak jest do niego rozwiazania, sama odpowiedz, wiec podejrzewam, ze jakos przez analogie mozna go rozwizac, niestety nie umiem.

Podpunkt b). znalazlem gdzies w jakims zbiorze...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2007, o 22:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
Co do a), to możesz rozpatrywać analogiczne równanie charakterystyczne:
x^{3} = 2x^{2} + x - 2
i akurat w tym wypadku są ładne rozwiązania.
Co do b) to zobacz tu (od 3 strony).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2007, o 23:17 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: 3m
Nie do konca umiem jeszcze sobie poradzic z a).
Mam:
(x-1)(x+1)(x-2)=0
i teraz nie za bardzo wiem do czego to podstawic, dla wielomianu stopnia drugiego podstawialem pierwiastki do:
a\cdot 2^{n}+b\cdot 3^{n}
gdzie wspolczynniki a i b sobie potem wyliczalem.

Jak wygalda takie rownanie dla wielomianu stopnia 3?

Odpowiedz do tego przykladu jest nastepujaca:
-4 + (-1)^{n}+3\cdot 2^{n}
co sugeruje, ze w rownaniu, do ktorego bede podstawial wystepuja skladniki
(-1)^{n} oraz 2^{n}?


I jeszcze pytanie ogolne, czy rownanie takie jak w a). czyli postaci
A\cdot a_{n+3}=B\cdot a_{n+2}+C\cdot a_{n+1}-D\cdot a_{n}
rozwiazuje sie poprzez rownanie trzeciego stopnia tzn:
A\cdot x^{3} = B\cdot x^{2} + C\cdot x - D
czyli innymi slowy czy to co podales powyzej mozna przeniesc na ogolny przypadek?

Dziekuje za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2007, o 23:37 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2656
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Ładnie opisał to zagadnienie w kompendium polskimisiek :arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=25578
Polecam szczególnie dużą uwagę poświęcić "ważnym uwagom". Tam są odpowiedzi na twoje wątpliwości.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 wrz 2007, o 00:16 
Użytkownik

Posty: 204
Lokalizacja: Siedlce
możesz skorzystać z funkcji tworzących

a)

a_{n+3}=2a_{n+2}+a_{n+1}-2a_n \quad \hbox{, gdzie} \quad a_0=0, \quad a_1=1, \quad a_2=9

oznaczmy F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n

wówczas równanie możemy zapisać w postaci

\frac{1}{x^3}(F(x)-9x^2-x)=\frac{2}{x^2}(F(x)-x)+\frac{1}{x}F(x)-2F(x)

co po przekształceniach daje

F(x)=\frac{3}{1-2x}-\frac{4}{1-x}+\frac{1}{1+x}

rozwijając w szereg otrzymujemy

a_n=3\cdot2^n+(-1)^n-4

b) analogicznie

a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_{n}+5 \quad \hbox{, gdzie} \quad a_0=2, \quad a_1=5

\frac{1}{x^2}(F(x)-5x-2)=\frac{5}{x}(F(x)-2)-6F(x)+\frac{5}{1-x}

F(x)=\frac{1}{6}(\frac{15}{1-x}-\frac{24}{1-2x}+\frac{21}{1-3x})

a_n=\frac{15+7\cdot3^{n+1}}{6}-2^{n+2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 wrz 2007, o 14:06 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: 3m
Dziekuje bardzo za pomoc :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zadania testowe - pemutacje, zwracanie :)  Anonymous  2
 Ciagi i kombinacje.  Anonymous  7
 Ciągi liczb wierchołków kolejnych stopni grafów?  Sonite  0
 3 zadania...  Ciapanek  2
 Zadania z kombinatoryki  neworder  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com