[ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2005, o 17:31 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2973
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
1. Rekurencyjne określenie ciągu Fibonacciego.

F_1=1
F_2=1
F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}

Kilka pierwszych wyrazów ciągu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Jest to prosta rekurencja - każda liczba zależy od dwóch poprzednich - jest ich sumą.

2. Postać jawna ciągu Fibonacciego.

F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n)

Jest to tak zwany wzór Bineta. Otrzymujemy go przez rozwiązanie rekurencji z punktu 1-szego, ale o tym może innym razem:)

3. Tożsamości.

F_1+F_2+...+F_n=F_{n+2}-1

F_1+F_3+...+F_{2n-1}=F_{2n}

F_2+F_4+...+F_{2n}=F_{2n+1}-1

F_1-F_2+F_3-F_4+...+(-1)^{n+1}F_n=(-1)^{n+1}F_{n-1}+1

F_1^2+F_2^2+F_3^2+...+F_n^2=F_n F_{n+1}

F_{n+m}=F_{n-1}F_m+F_n F_{m+1}

F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2

F_n^2=F_{n-1}F_{n+1}+(-1)^{n+1}

F_1 F_2+F_2 F_3+...F_{2n-1}F_{2n}=F_{2n}^2

F_1 F_2 + F_2 F_3+... + F_{2n}F_{2n+1}=F_{2n+1}^2-1

nF_1+(n-1)F_2+...+2F_{n-1}+F_n=F_{n+4}-(n+3)

F_1+2F_2+...+nF_n=nF_{n+2}-F_{n+3}+2

NWD(F_n, F_{n+1})=1

NWD(F_m,F_n)=F_{NWD(m,n)}

\mbox{Jeśli }n|m, \mbox{ to } F_n|F_m

\sum\limits_{k=0}^{n-1}{n\choose k}F_{n-k}=F_{2n}

F_{3m} = F_m^{3} + F_{m+1}^{3} - F_{m-1}^{3}

F_{n}^4  = 1+ F_{n-2}F_{n-1}F_{n+1}F_{n+2}

\binom{n}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{1}+\ldots= F_{n+1}.

\phi^n=F_{n}\phi+F_{n-1}, \ (n\geq 2) \mbox{ gdzie } \phi \mbox{ spełnia zależność }\phi^2=\phi+1

\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]^{n} = \left[\begin{array}{cc} f_{n+1} & f_{n} \\ f_{n} & f_{n - 1}\end{array}\right]



Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2013, o 15:58 
Użytkownik

Posty: 4263
Lokalizacja: Kraków
Cytuj:
Tomasz Rużycki napisał(a):
1. Rekurencyjne określenie ciągu Fibonacciego.

F_1=1
F_2=1
F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}

Kilka pierwszych wyrazów ciągu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Jest to prosta rekurencja - każda liczba zależy od dwóch poprzednich - jest ich sumą.

Cytuj:
Kilka mniej znanych twierdzeń na temat ciągu Fibonacciego:
· Jedynymi liczbami w całym ciągu Fibonacciego, będącymi kwadratami liczb całkowitych są 1 i 144.
· Co trzecia liczba Fibonacciego jest podzielna przez 2, co czwarta - przez 3. Ogólniej: jeśli n dzieli się przez k, to liczba F_n dzieli się przez F_k. Zachodzi jeszcze: największy wspólny dzielnik dwóch liczb Fibonacciego jest liczbą Fibonacciego, której numer jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi numerów tych liczb: gcd(F_m, F_n)= F_{gcd(m, n)}
· Każda niezerowa liczba całkowita ma wielokrotność będącą liczbą Fibonacciego.
· Istnieje nieskończenie wiele liczb n, dla których zachodzi podzielność. n | F_n. W szczególności można pokazać, że jeśli m \in N to 5^m | F_{5^m}

oraz…
suma kolejnych (więcej niż dwóch) wyrazów ciągu Fibonacciego nie jest wyrazem ciągu Fibonacciego:
F_n + F_{n+1}+…+F_{n+k} \neq F_m dla k>1
F_n = m^3 gdzie m, n \in N jest tylko gdy m=1 lub m=2
W ciągu 8n+4 nie ma żadnej liczby Fibonacciego
Jeśli F_n^2 dzieli F_m tylko wtedy gdy nF_n dzieli F_m gdy n>2 (Matijasewicz)
Jeśli k \in N to liczby kF_{n+2} + F_n oraz kF_{n+3} + F_{n+1} są względnie pierwsze
Co ósmy wyraz ciągu Fibonacciego jest podzielny przez 7; itd.
Dowolne dwie kolejne liczby Fibonacciego (tj. F_n i F_{n+1}) są względnie pierwsze.
Interpretacja kombinatoryczna: to ilość takich podzbiorów zbioru \{1, ..., n \}, które nie mają żadnych kolejnych elementów. (np. gdy n=5 jest ich 13: \emptyset, \{ 1 \}, \{ 2 \},  \{ 3 \}, \{ 4 \},  \{ 5 \},  \{ 1, 3 \}, \{ 1, 4 \},  \{ 1, 5 \},  \{ 2, 4 \}, \{ 2, 5 \},  \{ 3, 5 \},  \{ 1, 3, 5\} ).
Jeśli nie uwzględni się tych podzbiorów, które maja w sobie elementy 1 oraz n, to uzyska się liczbę Lucasa L_n (L_5 =11 )

c. F: 1, \ 1, \ 2, \ 3, \ 5, \ 8 , \ 13, \ 21, \ 34, \ 55, \ 89, \ 144, \ 233, \  377, \ 610, \ 987, \ 1597, \ 2584, \ 4181, \ 6765 , \ 10946, \ 17711…

Cytuj:
Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają się ("czubek" pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu - pojawia się nad nim "biały trójkąt"), co czyni go podobnym do fraktala.

Cytuj:
Obliczanie liczb Fibonacciego
Teoretycznie wartości kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego mogą być obliczone wprost z definicji, jest to jednak metoda na tyle wolna, że stosowanie jej ma tylko sens dla niewielu początkowych wyrazów ciągu, … Wynika to z tego, że definicja F_n wielokrotnie odwołuje się do wartości poprzednich wyrazów ciągów. Drzewo wywołań takiego algorytmu dla parametru n musi mieć co najmniej F_n liści o wartości 1.
Ukryta treść:    


Zarówno wzór rekurencyjny jak i Lucasa jest więc nieefektywny. (chcąc np. obliczyć F_{30}) trzeba zrobić 29 operacji dodawania coraz to większych liczb, bądź też sumowania 14 składników, które trzeba obliczać osobno*:
F_n = {n - 1 \choose 0} + {n - 2 \choose 1} +…+ {n - j \choose j-1}  + {n - j-1 \choose j} gdzie j=\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor
tj. tzw. wzór Lucasa.
*Inną metodą może być tu użycie ciągu Lucasa (np. F_{30}=F_{15}L_{15}) itp.

Jeśli \phi = 1+ \frac{1}{1 + \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ ...}}}} tj. \phi = 1+ \frac{1}{\phi} tj. \phi = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \approx 1, 618 to
:arrow: F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} (\phi^n - (-\phi)^{-n}) Binet;
Wynika to z tożsamości: F_{n+1} - xF_n = (1-x)(F_n - xF_{n-1})+(1+x-x^2)F_{n-1}

F_{n} jest więc taką liczbą całkowitą, która jest najbliżej n tego wyrazu ciągu a_n = \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}.
np. F_8 =21 zaś a_8 = \frac{\phi^8}{\sqrt{5}}= \frac{21\phi + 13}{\sqrt{5}} \approx 21,01
Ukryta treść:    

Można też określić F_n gdy n jest liczbą całkowitą ujemną, tj. F_{ - n} = F_n (-1)^{n+1} dla n>0 i wtedy F_{n+1} = F_{n}+ F_{n-1} dla n \in Z.

\sum_{j=0}^{n-1} {n \choose k}F_{n-k} = F_{2n}
F_{3n} = F_{n+1}^3 + F_n^3 - F_{n-1}^3
F_n^4 = 1+ F_{n-2}F_{n-1} F_{n+1}F_{n+2} dla n>1 Casàro
\sum_{k=0}^n \frac{F_{k+2}}{F_{k+1}F_{k+3}} =  \frac{F_4}{F_2F_3} - \frac{F_{2n+4}}{F_{2n+2}F_{2n+3}}
arctg(F_{2n+1}) + arctg(F_{2n+2})= arctg(F_{2n})
F_{2n}= F_{n+1}^2 - F_{n-1}^2
F_{2n+1}=F_n^2+ F_{n+1}^2
oraz F_{n+1}^2 - F_{n-2}^2 =4F_nF_{n-1}

Cytuj:
1) kwadrat każdego wyrazu ciągu Fibonacciego różni się od iloczynu wyrazów sąsiednich o \pm 1
2) dla każdych czterech kolejnych wyrazów iloczyny wyrazów skrajnych i środkowych różnią się o \pm 1
3) Dla każdych kolejnych pięciu wyrazów kwadrat wyrazu środkowego, iloczyn jego wyrazów będących obok siebie i iloczyn skrajnych są kolejnymi liczbami naturalnymi
4) suma kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego jest liczbą Fibonacciego pomniejszoną o 1

1) np. F_{13}^2 - F_{12}F_{14} = F_{13}(F_{11} + F_{12} ) - F_{12}(F_{12} + F_{13}) = - (F_{12}^2 - F_{10}F_{13}) = 1

4) np. jeśli F_1 + F_2 + F_3 = F_5 - 1 to F_1 + F_2 + F_3 +F_4 +F_5 = F_5 - 1 +  F_4+ F_5 = F_5 - 1 + F_6 = F_7 - 1 itd.

:arrow: \sum_{j=1}^n  jF_j = (n+1)F_{n+2} - F_{n+4} +2
(F_n,F_{n+3})^2 + (2F_{n+1}F_{n+2})^2 = F_{2n+3}^3

F_n^2 - F_{n-r}F_{n+r}= (-1)^{n-r}F_r^2 Catalan

Rekurencja F_{n+1} a F_{n}
F_{n+1} = \lfloor \frac{F_n(1+ \sqrt{5})+ 1}{2} \rfloor

uogólnienie: F_{a}F_{b} - F_{c}F_{d}=(-1)^r (F_{a-r}F_{b-r} - F_{c-r}F_{d-r}) o ile a+b=c+d

:arrow: \sum_{j=1}^n F_j^2 = F_nF_{n+1}
Cytuj:
Kwadraty o bokach równych liczbom Fibonacciego tworzą prostokąt Fibonacciego; wpisując w nie ćwiartki okręgów otrzyma się tzw. spiralę Fibonacciego.

\sum_{j=1}^n F_j^3 = \frac{1}{10}F_{3n+2} + (-1)^{n+1}\frac{3}{5}F_{n-1}+ \frac{1}{2}

F_n^2 - F_{n-1}F_{n+1} = (-1)^{n+1} lub równoważnie tak: \frac{F_{n+1}}{F_n} - \frac{F_{n}}{F_{n-1}}= \frac{(-1)^n}{F_nF_{n+1}} tj. \lim \frac{F_{n+1}}{F_n} = \phi (oscylująco ale intensywnie; np. \frac{F_{10}}{F_9}= \frac{55}{34} \approx 1, 6176 \   \frac{F_{11}}{F_{10}}= \frac{89}{55} \approx 1, 6182 \  \frac{F_{12}}{F_{11}}= \frac{144}{89} \approx 1, 6179 etc.)
Tożsamość ta (Catalan z r=1) wiąże się z tzw. zagadką brakującego kwadratu.

Formuła F_n z liczbami zespolonymi: F_n= \prod_{k=1}^{n-1} (1- 2icos(\frac{k\pi}{n}))

Funkcja f ciągu Fibonacciego
f(z) =\sum_{j=1} F_jz^j = z+ z^2+ 2z^3 + 3z^4 +...=\frac{z}{1 - z - z^2}

Twierdzenie Każda liczba całkowita nieujemna n>2 jest sumą różnych wyrazów ciągu Fibonacciego
Istnieje więc (jednoznaczność rozkładu) system Fibonacciego:
n = (c_m c_{m-1}...c_2)_F \iff  n = \sum_{j=2}^m c_jF_j oraz c_j \in \{ 0, 1 \}
np. 1202 = F_{16}+ F_{12}+ F_{10}+ F_{7}+ F_{4} a wiec 1202 = (100010100100100)_F. Rozkład taki jest łatwo wyznaczać: oblicza się największą liczbę Fibonacciego F_k mniejszą od n i wyznacza się w ten sam sposób rozkład n - F_k etc.
(tu: k=16 gdyż F_{16}=987 < 1202 ale F_{17}> 1202)

algorytm
Cytuj:
a:=2;
b:=1;
for j:=1 to n do begin
a:=a+b;
b:=a-b;
end;
fib:= b;


słowo Fibonacciego
Jeśli F_n = \begin{cases} b \ dla \ n=1 \\ a \ dla \ n= 2\\ F_{n-1} \cdot F_{n-2} \ n>2\end{cases}
tj. np. F_3=F_2F_1 =ab \ F_4=F_3F_2 =aba \ F_5= F_4F_3=abaab itd. Każde słowo F_n składa się tylko z liter a i b i jest „językową sumą” dwóch poprzednich słów.

Uogólniony ciąg Fibonacciego
\begin{cases}f_0= a \\ f_1 = b\\ f_{n+2}=Af_{n+1}+ Bf_n\end{cases}

tj. jeśli f_0= 0 \ f_1 = 1 oraz A = B= 1 to f_n = F_n

Jeśli A^2+ 4B \neq 0 to f_n= \frac{\alpha^n - \beta^n }{\alpha - \beta}b - \frac{\alpha^{n-1} - \beta^{n-1}}{\alpha - \beta}aB gdzie \alpha i \beta spełniają x^2=Ax + B, \alpha \neq \beta. (zmiennej A nie ma „jawnie” w tym wzorze, ale jest „ukryta” w \alpha i \beta)
Jeśli A^2+ 4B = 0 to f_n = nb(\frac{A}{2})^{n-1} - (n-1) (\frac{A}{2})^{n}


ciąg Lucasa
\begin{cases} L_1 = 1\\ L_2 = 3 \\ L_{n+2}=L_{n+1}+ L_n \end{cases}
Ciag Lucasa jest więc u.c. F (a=1 \ b=3 \ A=B=1).

c. L: 1, \ 3, \ 4, \ 7, \  11, \ 18, \ 29, \  47, \  76, \ , 123, \ 199, \ 322, \ 521, \  …
Istnieje różne analogie (ale też i różnice) między F_n a L_n np. L_n=(\frac{1+ \sqrt{5}}{2})^n + \frac{(1- \sqrt{5}}{2})^n = \lfloor \phi^n \rfloor (Binet); uogólnienie na indeksy ujemne: L_{-n} = (-1)^nL_n oraz np. L_n^2 - L_{n-1}L_{n+1} = 5(-1)^n lub \frac{L_{n+1}}{L_n} - \frac{L_{n}}{L_{n-1}}= \frac{5(-1)^n}{L_nL_{n+1}}

\begin{cases} L_1^2+ … +L_n^2=L_nL_{n+1}-2\\F_mL_n=F_{m+n} +(-1)^nF_{m-n}\\F_{m}F_n = \frac{1}{5}(L_{m+n} - (-1)^nL_{m-n})\end{cases}

oraz:
\begin{cases}L_1+ …+L_n=L_{n+2} - 3 \\ L_{1}+ L_3+ … L_{2n-3}+L_{2n-1}=L_{2n} -2\\ L_2+L_4+…+L_{2n-2}+L_{2n}=L_{2n+1}-1\\L_{n-1}+L_{n+1}=5F_n\end{cases}

Funkcja g ciągu Lucasa
g(z) =\sum_{j=1} L_jz^j = z+ 3z^2+ 4z^3 + 7z^4 +...=\frac{2-z}{1 - z - z^2}
Ukryta treść:    


Zależności między F_n a L_n są np. takie:
\begin{cases}L_n=F_{n-1} + F_{n+1} \\ F_{2n}=F_nL_n\\ F_{m+n}=\frac{1}{2}(F_mL_n + F_nL_m)\\L_{n+1}=\frac{1}{2}(5F_n + L_n)\\L_n^2 - 5F_n^2= 4(-1)^n\end{cases}

Ciąg Tribonaciego
\begin{cases}T_1= 1 \\ T_2 = 1\\ T_3=2 \\ T_{n+3}=T_{n}+ T_{n+1} + T_{n+2}\end{cases}

c.T.: 1, \ 1, \ 2, \ 4, \ 7, \ 13, \ 24, \ 44, \ 81, \ 149, \ ...

ciąg Padovana
1, \ 1, \ 1, \ 2, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 7, \ 9, \ 12 , \ 16, \ 21, \ 28, \ 37, \ 49, \ …
P_{n}= P_{n-2}+ P_{n-3} dla n \geq 3

W przypadku rekurencji „3 x do tyłu”:
Twierdzenie
Jeśli f_{n+3} = A f_{n+2} + B f_{n+1}+ C f_{n} oraz \begin{cases}f_0=a \\ f_{1}=b\\ f_{2}=c\end{cases}
to: f_n = p(\alpha^n + \beta^n + \gamma^n) + q(\alpha^{n-1} + \beta^{n-1} + \gamma^{n-1})  + r(\alpha^{n-2} + \beta^{n-2} + \gamma^{n-2})
gdzie \alpha, \beta, \gamma spełniają x^3 = Ax^2 + Bx+C zaś p, q i r są zależne od A, B, C i od a, b, c.

Ukryta treść:    

Formuły inne;
Ukryta treść:    
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciąg Fibonacciego. - zadanie 3
Witam, mam problem ze zrozumieniem. Zad. Na ile sposobów można planszę 2xn pociąć na prostokąty o wymiarach 2x1. Wiem dlaczego odpowiedź to n-1. Nie rozumiem tylko, dlaczego napisano, że w tym zadaniu zastosowanie ma ciąg Fibonacciego....
 Kvothe  10
 Ciąg Fibonacciego. - zadanie 2
Witam, Jestem po wykładzie na którym był 'omówiony' ciąg Fibonacciego. Mam takie zadania : Zadanie 1.1. Gałezie dziela sie na stare i młode. Od kazdej starej po roku oddziela sie nowa młoda gałazka, a kazda młoda gałazka robi sie stara. Prosze pokaz...
 Fengson  4
 ciag zadanie maturalne
ciag okreslony jest w nastepujacy sposób: n-ty wyraz ciagu jest rowny liczbie liczb pierwszych nie wiekszych od n a) podaj trzynasty wyraz ciagu b)ktore wyrazy ciagu sa rowne 4? c)sporzadz wykres ciagu an dla n ...
 Bartosz89M  0
 Graniastosłup i ciąg geometryczny
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 108, a wysokość podstawy, krawędź podstawy i wysokość graniastosłupa tworzą ciąg geometryczny. Oblicz długość krawędzi podstawy....
 lortp  1
 Ciąg arytmetyczny - zadanie 291
Liczby 2 i 5 są dwoma początkowymi wyrazami pewnego rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz sumę jego jedenastu początkowych wyrazów. Moje rozwiązanie: r=a_2-a_1=5-2=3\\ a_{11}=a_1+10r=2+10 \cdot 4=42\\ s_{11}= \frac{a_1+a_{11}}{2} \c...
 sheckeer  6
 ciąg i trojkąt
dlugości boków trójkata są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz a) pole trójkąta, jeśli jego przeciwprostokątna ma długość 30 cm. b) dłuość boków trójkąta, jeśli jego pole jest równe 150 cm&quot;...
 marian758  1
 o prostokącie - boki i przekątna, ciąg arytmetyczny
Oblicz pole prostokąta o obwodzie 140 cm, wiedząc, że długości jego boków oraz przekatnej tworzą ciąg arytmetyczny. JA zrobiłam tak: a _{1} ,a _{1}+r,a _{1}+2r \\ 2a _{1}+2&#40;a _{1}+r&#41;=140 \\ 2a _{1}+r=70 \\ r=70-2a _{1} \\ &#4...
 Zielony_Kapelusz  1
 ciąg arytm- def i wyznaczenie wyrazów
mam ciąg an o wyrazie ogólnym a_{n}= \frac{2n}{n+1} a) musze sprawdzić korzystając z def, czy ten ciag a_{n} jest ciągiem arytmetycznym. b) mam wyznaczyć wyraz ogólny ciągu arytmetycznego [te...
 tommassi  3
 Suma wyrazów, ciąg arytmetyczny i geometryczny.
Wyrazy skrajne skończonego ciągu arytmetycznego są równe 1 oraz -15. Oblicz sume wyrazów ciągu jeśli wiadomo, że drugi, trzeci i szósty są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Nie stosuj słów typu &quot;Pomocy&quot;, &quot;...
 tomek226  1
 Ciąg zmiennych losowych - zbieżność wg rozkładu
Mam następujące zadanie: Niech &#40;X _{n}&#41; _{n \in \mathbb{N}} będzie ciągiem zmiennych losowych oraz \sqrt{n}&#40;X _{n} - \mu&#41; \xrightarrow{\mathcal{D}} \mathcal{N}&#40;0,\sigma ^{2}&#41;[/tex:31...
 Visiativity  1
 Znajdz x dla których podane log. tworzą ciąg arytmetyczn
Witam ! Proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania: Dla jakich x liczby: \log_227;\, \log_2x;\, \log_2\frac{1}{x} w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny? Proszę o jakieś wskazówki, gotowe rozwiązanie - ...
 krzysiek_g  1
 Udowodnij ze ciag jest arytmetyczny
Udowodnij, że jeśli ciąg &#40;a_n&#41; jest arytmetyczny, to dla dowolnej liczby naturalnej k ciąg b_1=a_1+a_2+...+a_k, \ b_2=a_{k+1}+...+a_{2k}, \ b_3=a_{2k+1}+...+a_{3k}, \ ... też jest aryt...
 setch  1
 Wyznacz ciąg artmetyczny - zadanie 2
Bardzo bym prosił o pomoc mam problem z takim zadaniem a_{7}= -2 a_{13}= 2 a_{7}= a_{1} + 6r a_{13}= a_{1} + 12r potem mi ni...
 Mazurek  1
 Pierwiastki tworzące ciąg arytmetyczny
x ^{4} - 10x ^{2} + m = 0 wyznacz te wartości parametru m, dla którego równanie to ma cztery pierwiastki, z których można utworzyć ciąg arytmetyczny. Proszę tylko i wyłącznie o wskazówkę....
 Divine  7
 Pewien 'ciąg' jest kwadratem liczby naturalnej
n \in N wykaż, że n(n+1)(n+2)(n+3)+1 Jest kwadratem pewnej liczby naturalnej Moje rozwiązanie: &#40;n^{2}+n&#41;&#40;n^{2}+3m+2n+6&#41;+1 &#40;n^{2}+n&#41;&#40;n^{2}+5n+6&#41;+1[...
 mimol  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com