szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2005, o 17:46 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1729
Lokalizacja: Koszalin
ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - WIELOMIANY

(po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek wraz z rozwiązaniem)

Aktualizacja: 16.09.2011


1. Wyznacz wartości parametru a, dla którego suma współczynników wielomianu W \left( x \right)  =  \left(  \left( x^{2} + 5x - 7 \right) ^{1999}  \right)  \left( ax^{2} + 2x - 2000 \right) wynosi -2.

2. Wyznaczyć liczby p i q takie, że liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x^3 - 5x^2 + px +q.

3. Wyznaczyć współczynniki a,b funkcji f(x) = ax^2 + bx - \frac{3}{4} wiedząc, że osiąga ona wartość najmniejszą dla x=1 i punkt o współrzędnych (5,3) należy do jej wykresu.

4. Funkcja kwadratowa f(x) = ax^2 + bx+c, gdzie a \neq 0 o wspołczynnikach całkowitych ma dokładnie 1 miejsce zerowe. Wyznaczyć te funkcje jeżeli wiadomo, że do jej wykresu należą punkty (0,2) oraz (4,50).

5. Wyznacz wszystkie takie liczby rzeczywste x, że wartość wyrażenia \frac{2x^{3} + 5x^{2} + 4}{2x+1} należy do zbioru liczb całkowitych.

6. Dla jakiej wartości parametru m przy dzieleniu wielomianu 3x^{3} + mx^{2} - 4x + 2 przez x-2 otrzymamy resztę równą 6?

7. Wyznaczyć a, b takie, że wielomian x^4 - 3x^{3} + 6x^{2} +ax +b jest podzielny przez x^2 - 1.

8. Wykazać, że dla każdego naturalnego n, wielomian (x-2)^{2n} + (x-1)^{n} - 1 jest podzielny przez (x-1)(x-2).

9. Wyznaczyć wartości m, dla których równanie (m-2)x^4 - 2(m+3)x^2 + (m-1) = 0 ma cztery pierwiastki różne od 0.

10. Wiedząc, że liczby 2 i 3 są pierwiastkami równania 2x^{3} + mx^2 - 13x + n = 0 obliczyć m i n oraz wyznaczyć trzeci pierwiastek.

11. Wyznaczyć sumę współczynników wielomianu \left( x^{3} - x + 1 \right) ^{50} +  \left( 2x^{2} - 2x + 1 \right) ^{30}.

12. Sprawdzić, nie wykonując dzielenia, czy wielomian x^{10} + 3x^2 - 1 ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

13. Sprawdzić bez dzielenia, czy liczba 1 jest co najmniej dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu 10x^{11} - 11x^{10} + 1.

14. Pokazać, że nie ma pierwiastków następujący wielomian: x^{4} - x^{2} + 1.

15. Niech p(x) będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Wyznaczyć wartość wyrażenia \int_{0}^{2}  \left( p '  \left( x \right)  \cdot x \right)  \mbox{d}x wiedząc, że p(0) = p(2) = 3 \ \wedge \ p'(0) = p'(2) = -1.

16. Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Wyznacz pozostałe pierwiastki rownania W(x)=0, wiedząc, że W(x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1, p = \frac{1}{2}.

17. Wyznacz i podaj krotność pierwiastków wielomianu W(x) = -x^{4} \left( x^2 - 1 \right)  \left( 3x+3 \right)  \left( x+1 \right) ^2.

18. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez x-2 wynosi 3. Reszta z dzielenia W(x) przez x+1 wynosi -6. Ile wynosi reszta z dzielenia tego wielomianu przez x^2 - x - 2?

19. Dla jakich wartości parametru m iloczyn wielomianów f i g jest równy wielomianowi h, gdzie:
a) f(x) = \frac{1}{2}mx - 2,
g(x) = x + 2m + 1,
h(x) = x^2 +4x - 21

b) f(x) = mx + 1,
g(x) = x - 2m.
h(x) = 2x^2 - 3x + 1

20. Podać przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, posiadającego pierwiastek \sqrt{5} + \sqrt{7}.

21. Pokazać, że dla dowolnego całkowitego c, wartości wielomianu x^5 - 5x^3 + 4x są liczbami podzielnymi przez 120.

22. Liczba 1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x^3 + mx^2 - 7x + n. Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.

23. Rozłożyć na czynniki (stopnia najniżej pierwszego) wielomiany:
W(x) = x^4 + 7x^3 + 10x^2 \\
 W(x) = 8x^5 + 6x^4 - 2x^3 \\
 W(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x

24. Obliczyć sumę współczynników wielomianu W(x) =  \left( 4x^2 - 3x - 2 \right) ^{2003}.

25. Udowodnij wzory Viete'a dla wielomianu stopnia 3.

26. Rozłożyć na czynniki wielomian W(x) = x^4 + x^2 + 1.

27. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-2 jest równa 5, a reszta z dzielenia W(x) przez x-3 wynosi 7. Wyznacz reszte z dzielenia W(x) przez (x-2)(x-3).

28. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) = (x+1)(x-1)(x-2) wiedząc, że W(-1) = -1 , W(1) = 1 , W(2) = 2.

29. Wiedząc, że równanie x^2 + x^3 - 7x^2 + ax + b = 0 ma rozwiązania x=1 oraz x=-1, rozwiązać nierówność: x^4 + x^3 - 7x^2 + ax+  b > 0.

30. Nie używając dzielenia wielomianów rozstrzygnij, czy wielomian d(x) = x^2 - 1 jest dzielnikiem w(x) = -3x^4 + 4x^2 - 5x + 7.

31. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których wielomian W(x) = (4a+3)x^{3} + 9ax^{2} + 6ax + a + 2 może być przedstawiony jako trzecia potęga pewnego dwumianu.

32. Rozłóż na czynniki wielomian x^{4} + 1.

33. Wyznacz stopień wielomianu W(x) =  \left( x+1 \right)  \left( x^2+1 \right)  \left( x^4+1 \right) \ldots \left( x^{2n} +1 \right).

34. Wyznacz współczynniki przy x^9 i x^{10} w wielomianie W(x) =  \left( x-1 \right)  \left( x-2 \right)  \left( x-3 \right) \ldots \left( x-10 \right).

35. Wyznacz sumę współczynników wielomianu W(x) = 3 \left(  \left( x^3-3x+3 \right) ^{2002} \right) -4 \left(  \left( x^3+2x^2-4 \right) ^{2003} \right).

36. Wykaż, że jeżeli f(x) jest dowolnym wielomianem, zaś para; a - dowolną liczbą rzeczywistą, to wielomian f(x) - f(a) jest podzielny przez x - a.

37. Niech r(p,q) oznacza resztę z dzielenia wielomianu p(x) przez q(x). Udowodnij, że wyrażenie r \left( p_{1}+p_{2},q \right) =r \left( p_{1},q \right) +r \left( p_{2},q \right) jest dzielnikiem r \left(  \left( p_{1} \right)  \left( p_{2} \right) ,q \right) =r \left(  \left[ r \left( p_{1},q \right)  \right]  \left[ r \left( p_{2},q \right)  \right] ,q \right).

38. Dla jakich wartości parametru a, równanie x^4 - (a+1)x^2 + 4 = 0 ma cztery różne pierwiastki?

39. Udowodnij, że dla każdego x rzeczywistego, zachodzi nierówność x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1>0.

40. Rozłóż na czynniki wielomiany:
W(x) = 2x^3 - 5x^2 - 8x + 20 \\
 W(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6

41. Rozłóż na czynniki i podaj pierwiastki wielomianów:
W(x) = 125x^3 - 27 \\
 W(x) = 8x^4 + 27x \\
 W(x) = 4x^4 + 9

42. Wyznacz wartości parametru a, tak, że suma współczynników wielomianu W(x) =  \left( x^2 + 5x - 7 \right) ^{1999} \left( ax^2 +2x - 2000 \right) wynosiła -2.

43. Suma pierwiastków trójmianu kwadratowego g jest równa -1, zaś iloczyn tych pierwiastków -2. Zapisz wzór w postaci ogólnej jeśli g(0)=6.

44. Rozłóż na czynniki wielomiany:
x+y+2x+2y \\
 ax+ay+bx-by \\
 my-m-y+1 \\
 a+ab-b-1 \\
 3x^2+2x+3xy+2y \\
 mx+my+kx+gx+ky+gy

45. Nie wykonując dzielenia znajdż resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian U(x), wiedząc że W(x) = x^5 - x^3 + x^2 - 1 i U(x) = (x-1)(x+1)(x+2).

46. Rozłóż wielomian ax-ay+bx-by na czynniki.

47. Wielomian rzeczywisty W(x) przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywistych, jeżeli W(x) = x^6 + 8.

48. Dowód twierdzienia o istnieniu pierwiastków wielomianu o współczynnikach całkowitych.

49. Bez obliczania pierwiastków wyznaczyć sumę ich odwrotności, jeżeli równanie ma postać 2x^2 + 4x +1 = 0.

50. Rozwiązać równanie |x^3+x+1| = 1 i nierówność: \left|  x^2-4\right|   \left( x^3-1 \right) <0.

51. Dla jakich wartości parametrów a, b liczba x_0 = -1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=6x^4+8x^3-8x^2+ax+b?

52. Znajdź trójmian kwadratowy y=x^2 + bx + c, wiedząc, że suma jego pierwiastków jest równa 8 i dla x=0 przyjmuje wartość 15.

53. Wiedząc, że trójmian ax^2 + bx + c przyjmuje wartość największą równą 11 dla x=3, obliczyć resztę z dzielenia wielomianu W(x) = 2x^4+4x^3+ax^2+bx+2 przez x-1.

54. Przy jakich wartościach a, b trójmian ax^{20} + bx^{19} + 1 dzieli się przez x^2 + x + 1?

55. Dany jest wielomian W(x) = ax^2 + bx + c, przy czym:
W \left( 1 \right)  = m+2 \\
 W \left( \frac{1}{3} \right)  = m \\
 W \left( - \frac{1}{3} \right)  = m - 2
gdzie m jest pewną liczbą. Pokazać, że W(x) jest wielomianem stopnia 1.

56. Dla jakich wartości parametru m, wielomian P(x) = x^4 + mx^3 -  \left( m+1 \right) x^2 - mx + m ma cztery pierwiastki?

57. Doprowadź do postaci iloczynowej lewą stronę równania 24x^3 -2x^2 -9x +2 = 0.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2009, o 10:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1979
Lokalizacja: inowrocław
Czy ktoś mógłby poprawić zapis w zadaniu 15?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2010, o 14:42 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Kraków
zadanie 1.
Suma współczynników równa sie W(1) więc:
W(1)=-2

W(1)=((1+5-7)^{1999})(a+2-2000)=(-1)^{1999}(a-1998)=-a+1998

-2=-a+1998

a=2000
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2010, o 14:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 35614
Lokalizacja: miodzio1988@wp.pl
zjemcichleb93, w treści zadania masz przecież napisane, że W(1)=-2

Więc źle zrobiłeś zadanie. Po kliknięciu na numerek zadania przecież masz poprawne rozwiązanie
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Co wynika z warunków na dane wielomiany?
A Niech W&#40;x&#41;=\frac{1}{2}x^2,K&#40;x&#41;=2x wtedy W&#40;x&#41;K&#40;x&#41;=1\\ W&#40;1&#41;=\frac{1}{2},K&#40;1&#41;=2 Więc odpowiedź A jest błędna, chyba, że źle przepisałeś. Przykład...
 Jo-anna  3
 dane sa wielomiany ... wartosci a i b
Dane sa wielomiany P(x) = (2x+1)^3 R(x)=4x^2-1 Q(x)=8x+a S(x)=8x^3 + bx dla jakich wartosci a i b wielomian P(x) + Q(x) - 3R(x) = S(x) ???...
 karol123  4
 Wielomiany -wyznaczanie parametrów.
Proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadań. Z góry dziękuję. 1. Dany jest uklad rownań \begin{cases} a^2x+8y=12a\\&#40;a-1&#41;x+2y=3\end{cases} Dla jakich wartości parametru ...
 Robson117  6
 wielomiany zadanie
proszę o pomoc czy ktoś mógłby mi pomoc w rozmwiazaniu dwooch zadan z wielomianów ?? 1) Jaka jest wartość parametru m , jesli wielomian w jest podzielny przez dwumian q ? a) w&#40;x&#41;=x^{3}+5x^{2}+mx+3 , q(x)=x+3 b) ...
 hhera  6
 Wielomiany - zadania - zadanie 2
Wykonaj działania: &#40;8x^{3}+12x^{2}y+6xy^{2}+y^{3}&#41;:&#40;2x+y&#41; Wykonaj działania: &#40;x^{4}-3x^{3}+3x^{2}-4x+3&#41;:&#40;x-1&#41; Tutaj po podzieleniu wyjdzie [tex:16gxllrh...
 Namek  5
 wyznacz wielomiany - zadanie 2
mając dane wielomiany W i G wyznacz wielomiany: H(x)=W(x)+G(x), P(x)=W(x)-G(x), F(x)=2W(x) W&#40;x&#41;= x^{5} +2x^{3} + 4x^{2} G&#40;x&#41;= x^{3}- 2x^{2}...
 tomek_g  1
 Wyznacz parapetry a, b, c tak, aby wielomiany były równe:
P&#40;x&#41;= ax ^{3} - 4x ^{2} + 5x - 2 i Q&#40;x&#41;= &#40;x-b&#41; ^{2} &#40;x-c&#41;. Zrobiłam to tak: Dlaczego mi wychodzą dwie możliwości jeśli chodzi o b i c? ...
 marriott  3
 Wielomiany - zadanie 32
Witam ! Mam pewien problem, dostałem na ferie test z powtórzeniem całego półrocza. Niestety nie wiem ja zrobić jego cześć dotyczącą wielomianów L Kiedy były lekcje byłem wtedy w szpitalu i teraz nic nie rozumiem L Mógł by mi ktoś pomoc z tymi zadania...
 arekarekarek  1
 wielomiany, rozkład, wykazać i uzasadnić
Rozłóż wielomian n^{3}-n na czynniki, a następnie uzasadnij, ze dla kazdej liczby całkowitej n wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez 3. b) wykaż, że dla dowolnej liczby całkowi...
 mateusz.ex  1
 Wielomiany , wyznaczanie reszty z dzielenia [zadanie]
Wielomian W&#40;x&#41; przy dzieleniu przez x+3 daje reszte 5, a przy dzieleniu przezx-2 daje resztę 1, W...
 ŚwIeRsZcZ  2
 Wielomiany - Zadanka proste
Witam potrzzebuje pomocy z tymi zadankami na dzisiaj: 7.Dla jakiej wartości a liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=2ax^3-4x^2-ax-2a? 8.Dany jest wielomian W(x)=x^3+ax-2. Wyznacz wartość parametru a tak aby wielomian W(x) miał miejsce zerow...
 dziku6666  4
 wielomiany - zadanie 4
1. Wielomian W(x) daje przy dzieleniu przez (x &#8211; 2) resztę 5, a przy dzieleniu przez (x &#8211; 3) resztę 7. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez (x &#8211; 2)(x &#8211; 3). 2. Kierowca sprawdził, w jakim czasie przejeżdża drogę d...
 jordanes  3
 Rozważmy wielomiany
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania: Rozważamy wielomiany: 1 zadanie:U&#40;x&#41;=ax^{2}+bx;; 2 zadanie:v&#40;x&#41;=2x^{3}-11x ^{2}+12x;3 zadanie:w&#40;x&#41;=x-3[/tex:qjhga...
 mikador12  1
 ahh te wielomiany
prosze o pomoc w rozwiazaniu takiego zadania: Liczba 4 jest pierwiastkiem wielomianu W(x). wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez P(x) = x^2-2x-8, jeśli wiadomo, że W(x) z dzielenia przez x+2 daję resztę 3....
 Ewcia  4
 Wielomiany- rysowanie wykresow
mamy np. \frac{1}{2} x ^{3} -5x ^{2} < 0 najpierw rozkładam na czynniki: x ^{2}&#40; \frac{1}{2}x- 5&#41; x=0 ^{2} x=10 ^{1} tu mi chodzi o pierwiastki stopnia 2 i 1. wiem tylko że ...
 GwT  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com