szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 07:47 
Użytkownik

Posty: 278
Lokalizacja: Warszawa
Trójkąt prostokątny równoramienny T, o przyprostokątnej długości 5 cm, obrócono wokół wierzchołka kąta prostego o kąt 30 stopni, otrzymując trójkąt T'. Oblicz T\cap T'.

Już rysunek mam z dwoma trójkątami z zaznaczoną płaszczyzną, którą trzeba obliczyć (część wspólna). Tylko jak to zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
Obrazek

Pole części wspólnej tych trójkątów (T\cap T_1) to pole 4 przystajacych trójkątów (to tu trzeba zauważyć). Wartość wysokości h w 'dużym' trójkącie prostokątnym (o ramionach dł. a i przeciwprost. dł. a\sqrt{2}) wyliczamy z 2 różnych wzorów na jego pole, mamy więc:

\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a\sqrt{2}h \quad\iff\quad h=\frac{\sqrt{2}}{2}a

Teraz wyliczamy miarę kąta ostrego jednego z tych przystających trójkątów (zaznaczony na pomaranczowo; jego miara wynosi 15^\circ). Mając długość h i miarę tego kąta potrzebna jest nam jeszcze długość podstawy x. Z funkcji trygonometrycznej tangens kąta $15^\circ$ mamy:

\tan 15^\circ=\frac{x}{h} \quad\iff\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ

Teraz pole:
P=4\cdot\frac{1}{2}xh=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ=a^2\tan 15^\circ

Ze wzorów redukcyjnych i wzorów na różnicę sinusów/cosinusów liczymy pomocniczo:
\tan 15^\circ=\frac{\sin(45^\circ-30^\circ)}{\cos(45^\circ-30^\circ)}=
\frac{\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ}{\cos45^\circ\cos30^\circ+sin45^\circ\sin30^\circ}=2-\sqrt{3}

Podstawiając mamy ostatecznie: P_{T\cap T_1}=a^2\tan15^\circ=a^2(2-\sqrt{3})\ j.^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2008, o 11:16 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: wrocław
Mógłby ktoś wyjaśnic jak, zauważyć , że te 4 trójkąty są przystające?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sie 2012, o 21:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Sądecczyzna
Mam podobne pytanie co pan wyżej, tylko, że nie wiem co zrobić z czworokątem pomiędzy h i niepodpisanym h. Najprosciej bylo by walnac odcinek ktory podzieli kąty na połowy,ale...na jakiej podstawie bym mógł to zrobić? Myślałem, że może jako że to deltoid, ale też, skąd wiem że to deltoid? Bardzo proszę o pomoc, bo nie wiem co z tym zrobić. Pozostałe 2 trójkąty mam już.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sie 2012, o 03:33 
Użytkownik

Posty: 16189
Wyżej już napisano, że trójkąty są przystające, więc pole tego czworokąta jest zbędne.

Żeby wykazać przystawanie wystarczy policzyć kąty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 18:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 89
Lokalizacja: Rzeszów
Witam, troszkę odkopuję temat, ale mam pewne niejasności. Skoro a=5 to wysokość policzyłem z wzoru na wysokość dla trójkąta równobocznego. h^{2}= \frac{3}{4}a No i wyszło mi że h=  \frac{5\sqrt{3}}{2}. Więc dlaczego to jest źle?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 kwi 2013, o 20:08 
Użytkownik

Posty: 16189
A gdzie masz tam trójkąt równoboczny o boku 5?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 w trójkąt rónoboczny o boku 10 cm, wpiasno kwadrat ...
W trójkąt równoboczny o boku 10 cm, wpiasno kwadrat. Oblicz długości boków kwadratu. Z góry dziękuję....
 sorrow  3
 trójkąt prostokątny, środkowa
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 20 cm, a środkowa poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 12,5 cm. Oblicz pole trójkąta i odległość wierzchołka kąta prostego od przeciwprostokątnej....
 adacho90  1
 Okrąg wpisany w trójkąt - zadanie 41
Wykaż, że jeżeli r jest długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach a,b,c to \frac{1}{a ^{2} }+ \frac{1}{ b^{2} }+ \frac{1}{ c^{2} } \le \frac{1}{4 r^{2} }....
 Dobar92  1
 Trojkat prostokatny - zadanie 5
Dwusieczna kata prostego w trojkacie prostokatnym dzieli przeciwprostakatna w stosunku 3:$ Oblicz stosunek pola kola opisanego na tym trojkacie do pola kola wpisanego w ten trojkat Dzieki za wszelka pomoc!!!...
 Sosna  2
 Podobieństwo trójkąta oraz Okręgi wpisane w trójkąt
Witam potrzebuje wskazówek do poniższych zadań. Za każdą cenną poradę będę wdzięczny. Zadanie 1 Punkty D, E dzielą bok AB trójkąta ABC na trzy odcinki mające taką samą długość. Punkt F jest środkiem boku BC. Odcinki CE i DF ...
 LaserowyGeneral  3
 Trójkąt prostokątny, długości boków
W trójkącie prostokątnym ABC punkt D jest rzutem prostkątnym wierzchołka C na przeciwprostokątną AB. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta, wiedząc, że |AD| = p i |BD| = q....
 AZS06  1
 Trójkąt - zadanie 53
Jakie największe pole może mieć trójkąt o bokach długości a,b,c spełniających warunki: 0 qslant a ...
 szymek12  1
 trojkat prostokatny z kolem w srodku
Pytanie: Jest trojkat prostokatny ktory ma wpasowane w srodek kolo. Kazdy trojkat ma jedno unikalne kolo ktore moze byc niego wpasowane). Kolo dotyka trzech scian wewnetrznych trojkatna tak, ze promien trojkata ktory jest dokladnie prostopadly do na...
 lexaus  1
 okrag wpisany w trojkat - zadanie 42
Dane sa dlugosci bokow trojkata ABC |AB|=c i |AC|=b, |BC|=a. Znajdz dlugosci odcinkow na jakie dziela boki tego trojkata punkty stycznosci okregu wpisanego w trojkat. Licze na wasza pomoc....
 niekumata9  1
 czworokąt i trójkąt
witam. Należy wykazać, że pole czworokąta powstałego z połączenia środków boków trapezu jest równe połowie pola tego trapezu....
 kefirek90  1
 trójkąt równoramienny-środkowe
W trójkąt równoramienny o obwodzie 56 wpisano okrąg którego promień jest równy \frac{2}{7} długości wysokości poprowadzonej do podstawy tego trójkąta. Oblicz długości boków trójkąta...
 mycha-mycha1  1
 Trójkąt prostokątny i prosta
W trojkacie prostokatnym ABC poprowadzono prosta rownoleglado boku AB ktora podzielila trojkat na 2 figury o rownych polach. w jakim stosunku ta prosta podzielila pozostale boki trojkata jutr...
 sonia765432  4
 Trójkąt równoramienny - zadanie 37
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa odcinkowi który łączy środek podstawy ze środkiem ramienia. Podstawa trójkąta ma długość a. Jaką długość ma wysokość opuszczona na podstawę? Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania...
 kamilall234  1
 trójkąt prostokątny i wysokość opuszczona z kąta prostego
W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 4 razy większa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli je na odcinki, z których jeden jest 16 razy większy od drugiego. Oznaczyłem przyprostokątne jako x i 4x z twierd...
 major37  2
 trójkąt równoramienny - zadanie 29
Zadanie brzmi Na trójkącie równoramiennym ABC AC = BC o polu równym 3 \sqrt{3}opisano okrąg, którego promień ma długość 2. Oblicz długość wysokości CD tego trójkąta. Próbuje coś uzależniać powiedzmy, że O niech bedzie ...
 minus_dwa  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com