szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 07:47 
Użytkownik

Posty: 278
Lokalizacja: Warszawa
Trójkąt prostokątny równoramienny T, o przyprostokątnej długości 5 cm, obrócono wokół wierzchołka kąta prostego o kąt 30 stopni, otrzymując trójkąt T'. Oblicz T\cap T'.

Już rysunek mam z dwoma trójkątami z zaznaczoną płaszczyzną, którą trzeba obliczyć (część wspólna). Tylko jak to zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
Obrazek

Pole części wspólnej tych trójkątów (T\cap T_1) to pole 4 przystajacych trójkątów (to tu trzeba zauważyć). Wartość wysokości h w 'dużym' trójkącie prostokątnym (o ramionach dł. a i przeciwprost. dł. a\sqrt{2}) wyliczamy z 2 różnych wzorów na jego pole, mamy więc:

\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a\sqrt{2}h \quad\iff\quad h=\frac{\sqrt{2}}{2}a

Teraz wyliczamy miarę kąta ostrego jednego z tych przystających trójkątów (zaznaczony na pomaranczowo; jego miara wynosi 15^\circ). Mając długość h i miarę tego kąta potrzebna jest nam jeszcze długość podstawy x. Z funkcji trygonometrycznej tangens kąta $15^\circ$ mamy:

\tan 15^\circ=\frac{x}{h} \quad\iff\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ

Teraz pole:
P=4\cdot\frac{1}{2}xh=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ=a^2\tan 15^\circ

Ze wzorów redukcyjnych i wzorów na różnicę sinusów/cosinusów liczymy pomocniczo:
\tan 15^\circ=\frac{\sin(45^\circ-30^\circ)}{\cos(45^\circ-30^\circ)}=
\frac{\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ}{\cos45^\circ\cos30^\circ+sin45^\circ\sin30^\circ}=2-\sqrt{3}

Podstawiając mamy ostatecznie: P_{T\cap T_1}=a^2\tan15^\circ=a^2(2-\sqrt{3})\ j.^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2008, o 11:16 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: wrocław
Mógłby ktoś wyjaśnic jak, zauważyć , że te 4 trójkąty są przystające?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sie 2012, o 21:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Sądecczyzna
Mam podobne pytanie co pan wyżej, tylko, że nie wiem co zrobić z czworokątem pomiędzy h i niepodpisanym h. Najprosciej bylo by walnac odcinek ktory podzieli kąty na połowy,ale...na jakiej podstawie bym mógł to zrobić? Myślałem, że może jako że to deltoid, ale też, skąd wiem że to deltoid? Bardzo proszę o pomoc, bo nie wiem co z tym zrobić. Pozostałe 2 trójkąty mam już.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sie 2012, o 03:33 
Użytkownik

Posty: 16188
Wyżej już napisano, że trójkąty są przystające, więc pole tego czworokąta jest zbędne.

Żeby wykazać przystawanie wystarczy policzyć kąty.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 18:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 36
Lokalizacja: Rzeszów
Witam, troszkę odkopuję temat, ale mam pewne niejasności. Skoro a=5 to wysokość policzyłem z wzoru na wysokość dla trójkąta równobocznego. h^{2}= \frac{3}{4}a No i wyszło mi że h=  \frac{5\sqrt{3}}{2}. Więc dlaczego to jest źle?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 kwi 2013, o 20:08 
Użytkownik

Posty: 16188
A gdzie masz tam trójkąt równoboczny o boku 5?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąt-zadania
Na początek takie zadanie: W trójkąt równoboczny ABC wpisano prostokąt MNPQ, w ten sposób że odcinek \overline{MN}\subset\overline{AB}, P\in\overline{BC}, a\in\overline{AC}[/tex:...
 mat1989  18
 trójkąt prostokątny oblicz przeciwprostokątną
W trójkącie prostokątnym ABC kąt C=90 stopni. i \left|BC \right|<\left|AC \right| , poprowadzono prostą przez wierzchołek C trójkąta, która przecina przeciwprostokątną w punkcie D takim że ...
 6m6  3
 Trojkat - dł. bokow -zad
Obwód trójkąta, w którym pomiędzy bokami a i b znajduje się kąt 60 stopni, a na przeciwko tego kąta jest bok o dlugości 8, jest równy 18. Oblicz długość boków a i b . Dzięki za pomoc Przenoszę do odpowiedniejszego działu i troszkę popra...
 nice88  1
 Trójkąt rozwartokątny - zadanie 4
W trójkącie rozwartokątnym ABC, o rozwartym kącie przy wierzchołku B, poprowadzono wysokość BD i okazało się, że trójkąt ADB jest trójkątem równoramiennym. Wyznacz miary kątów trójkąta ABC oraz oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie, jeżeli wiad...
 matika  3
 Trójkąt prostokątny - zadanie 71
by autor tematu widział, że można na dwa sposoby...
 rroszkowski012  15
 Wykaż. trójkąt prosrokątny.
Wykaż, że istnieje TYLKO JEDEN trójkąt prostokątny o bokach, których długości są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nie mam problemu ze znalezieniem tych liczb ( 3, 4, 5), MAM JEDEN problem Jak udowodnić, że istnieje tylko jeden taki trójkąt. skąd mam...
 Marta01*  1
 Trójkąt, ciekawe zadanie.
Oblicz kąty trójkąta, w którym wysokość i środkowa poprowadzone z jednego wierzchołka dzielą kąt przy tym wierzchołku na trzy kąty o równych miarach....
 joetoy  2
 Trójkąt prostokątny (z podobieństwa trójkątów)
Trójkat prostokątny o przyprostokątnych równych 12 i 16 jest podobny do trójkata o obwodzie równym 6. Podaj długości przeciwprostokąnych obu trójkątów....
 1710  1
 wykaz, ze trójkąt
Punkt W jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Prosta przechodząca przez punkt A i W przecina okrąg opisany w trójkącie ABC w punkcie D. Wykaż, że trójkąt BDW jest równoramienny....
 monikap7  2
 Trójkąt - zadanie 5
W trójkącie ABC boki mają długości: |AB|=10 |BC|=8 |CA|= 6.Na boku BC wybrano punkt D takie że |CD|=3.Oblicz |AD|.Pomóżcie...
 Ronaldinho14  5
 Trójkąt prostokątny - zadanie 68
Obwód trujkąta prostokątnego jest równe 30cm a najdłuższy bok ma długość 13cm. Oblicz gługość pozostałych boków tego trójkąta. Pomóżcie...
 marcin21102  1
 Trójkąt i środkowa.
Srodkowa poprowadzona z wierzcholka kata ostrego rownoramiennego trojkata prostokatnego ma dlugosc 5 oblicz pole tego trójkata...
 bjkuba  4
 Trójkąt wpisany w okrąg - zadanie 11
Mam takie zadanie i nie wiem jak się za nie zabrać. W trójkącie ABC, wpisanym w okrąg, kąt przy wierzchołku A jest równy 30 stopni, kat przy wierzchołku B jest równy 70 stopni. Jaki jest kąt miedzy prostą AB i styczną do okręgu w punkcie C....
 kb32  3
 podobienstwo trojkat prostokatny +pomoc w zadaniu
Witam prosilbym o pomoc w nastepujacym zadaniu: Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego o obwodzie 60, w ktorym wysokość poprowadzona na przeciwprostokatna ma długośc 12. P.S Kombinowalem cos z podobienstwem trojkatow i tw. pitagorasa ale nic...
 uplinks  1
 Trójkąt. wysokość boku
Pole trójkąta jest równe 16,2 dm., a długość jednego z boków 25 cm. Oblicz wysokość odpowiadająca temu bokowi....
 monis:>  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com