[ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 08:47 
Użytkownik

Posty: 278
Lokalizacja: Warszawa
Trójkąt prostokątny równoramienny T, o przyprostokątnej długości 5 cm, obrócono wokół wierzchołka kąta prostego o kąt 30 stopni, otrzymując trójkąt T'. Oblicz T\cap T'.

Już rysunek mam z dwoma trójkątami z zaznaczoną płaszczyzną, którą trzeba obliczyć (część wspólna). Tylko jak to zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 21:41 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
Obrazek

Pole części wspólnej tych trójkątów (T\cap T_1) to pole 4 przystajacych trójkątów (to tu trzeba zauważyć). Wartość wysokości h w 'dużym' trójkącie prostokątnym (o ramionach dł. a i przeciwprost. dł. a\sqrt{2}) wyliczamy z 2 różnych wzorów na jego pole, mamy więc:

\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a\sqrt{2}h \quad\iff\quad h=\frac{\sqrt{2}}{2}a

Teraz wyliczamy miarę kąta ostrego jednego z tych przystających trójkątów (zaznaczony na pomaranczowo; jego miara wynosi 15^\circ). Mając długość h i miarę tego kąta potrzebna jest nam jeszcze długość podstawy x. Z funkcji trygonometrycznej tangens kąta $15^\circ$ mamy:

\tan 15^\circ=\frac{x}{h} \quad\iff\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ

Teraz pole:
P=4\cdot\frac{1}{2}xh=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ=a^2\tan 15^\circ

Ze wzorów redukcyjnych i wzorów na różnicę sinusów/cosinusów liczymy pomocniczo:
\tan 15^\circ=\frac{\sin(45^\circ-30^\circ)}{\cos(45^\circ-30^\circ)}=
\frac{\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ}{\cos45^\circ\cos30^\circ+sin45^\circ\sin30^\circ}=2-\sqrt{3}

Podstawiając mamy ostatecznie: P_{T\cap T_1}=a^2\tan15^\circ=a^2(2-\sqrt{3})\ j.^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2008, o 12:16 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: wrocław
Mógłby ktoś wyjaśnic jak, zauważyć , że te 4 trójkąty są przystające?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sie 2012, o 22:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Sądecczyzna
Mam podobne pytanie co pan wyżej, tylko, że nie wiem co zrobić z czworokątem pomiędzy h i niepodpisanym h. Najprosciej bylo by walnac odcinek ktory podzieli kąty na połowy,ale...na jakiej podstawie bym mógł to zrobić? Myślałem, że może jako że to deltoid, ale też, skąd wiem że to deltoid? Bardzo proszę o pomoc, bo nie wiem co z tym zrobić. Pozostałe 2 trójkąty mam już.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sie 2012, o 04:33 
Użytkownik

Posty: 16187
Wyżej już napisano, że trójkąty są przystające, więc pole tego czworokąta jest zbędne.

Żeby wykazać przystawanie wystarczy policzyć kąty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 19:51 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: krakow
Witam, troszkę odkopuję temat, ale mam pewne niejasności. Skoro a=5 to wysokość policzyłem z wzoru na wysokość dla trójkąta równobocznego. h^{2}= \frac{3}{4}a No i wyszło mi że h=  \frac{5\sqrt{3}}{2}. Więc dlaczego to jest źle?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 kwi 2013, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 16187
A gdzie masz tam trójkąt równoboczny o boku 5?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 trójką prostokątny
W trójkącie prostokątnym a, b oznaczają długości przyprostokątnych, c jest długością przeciwprostokątnej, \alpha oznacza miarę kąta leżącego naprzeciw przyprostokątnej długości a. Wiedząc, że cos\alpha[/tex:...
 wojtek993  2
 Trójkąt wpisany w okrąg - zadanie 23
Czy mógłby ktoś mi pomóc w takim zadaniu? W okrąg wpisano trójkąt równoramienny ABC o podstawie AC=b i kącie przy wierzchołku A równym \alpha. Drugi okrąg jest styczny do pierwszego okręgu i do podstawy trójkąta. Zakładamy przy tym, że okrąg ten ni...
 daisy89  2
 Trojkąt i okręgi
Byłabym wdzięczna za rozwiązanie lub wskazówki do zadania: Niech p i q będą promieniami okręgów przechodzących przez wierzchołek A trójkąta ABC oraz stycznych do boku BC odpowiedni w punktach B i C. Pokaż, że p \cdotvq=R^{2}[/tex:cmvqt9...
 achajka21  1
 trójkąt równoramienny - zadanie 81
oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny którego boki mają długość: 5cm,5cm,6cm...
 henio1  2
 Trójkąt równoboczny. - zadanie 3
Jak wyliczyć bok trójkąta równobocznego znając jego pole?...
 vodzi1  3
 trojkat i katy naprzeciwko trojkata
naprzeciwko bokow a,b,c trojkata ABC znajduja sie odpowiednio katy \alpha,\beta,\gamma . wiadomo ze a=5 , b=10,5 , =8,5[...
 betka130999  1
 Trójkąt o przyprostokątnych 5 i 12
Witam serdecznie prosiłbym o pomoc w zadaniach 1.Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 i 12 podzielono na 2 figury symetralną dłuższej przyprostokątnej. 2. Jakie jest pole rombu podobnego w skali 2 do rombu którego przekątne mają długość 18 i ...
 fethus22  2
 Trójkąt równoramienny - zadanie 66
dzieki-- 13 grudnia 2009, 17:47 --ale dlaczego prowadze dwusieczna kata ?...
 boreas  4
 Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt. 3 podpunkty.
Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w: a] trójkąt równoboczny o boku długości 2 dm b] trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 9 cm i 12 cm c] trójkąt równoramienny o bokach długości 17 cm 17 cm 16 cm...
 masiph  3
 trójkąt prostokątny i okrąg - zadanie 4
W trójkącie ABC jedna przyprostokątna trójkąta ma długość a , natomiast druga 2a. Krótsza przyprostokątna jest średnicą okręgu. Oblicz długości odcinków, na jakie ten okrąg dzieli przeciwprostokątną. ...
 adihash12  2
 kiedy z trzech wektorów mozna zbudowac trojkat
Wiem, ze z trzech wektorow mozna zbudowac trojkat, gdy sa one komplanarne czyli ich iloczyn mieszany wynosi zero oraz ich suma jest wektorem zerowym, ale nie wiem jak to wykazac. Prosze o pomoc...
 Asinha  1
 wykaż, trójkąt rozwartokątny
\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ : \frac{\sin 60^\circ}{\sin 60^\circ} = 2 \cos 60^\circ 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} 1 = 1 Niezbyt...
 yoana91  5
 Zbadaj czy trójkąt jest prostokątny
Pomoże ktoś? polecenie zbadaj czy trójkąt ABC jest prostokątny gdy: A=(0,0) B=(-3,2) C=(-8,2)...
 natasza00  4
 Trójkąt - twierdzenie Talesa i podobieństwo
W trójkąt prostokątny ABC ( kąt BAC równa się 90 stopni ), w którym dłuższa przyprostokątna ma długość 24 cm, a krótsza przyprostokątna 8 cm, wpisano kwadrat KLMN tak, że K=A, L należy do AB, M należy do BC i N należy do AC. Oblicz pole tego kwadratu...
 Aga71  1
 Trójkąt prostokątny opisany na okręgu
Witajcie, prosiłbym, aby ktoś udzielił mi wskazówek jak rozwiązać to zadanie. Oto tresc: "Na okręgu o promieniu długości r cm opisano trójkąt prostokątny, którego jeden z wierzchołków oddalony jest od środka okręgu o r\sqrt{26} ...
 sneez  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com