szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 08:47 
Użytkownik

Posty: 278
Lokalizacja: Warszawa
Trójkąt prostokątny równoramienny T, o przyprostokątnej długości 5 cm, obrócono wokół wierzchołka kąta prostego o kąt 30 stopni, otrzymując trójkąt T'. Oblicz T\cap T'.

Już rysunek mam z dwoma trójkątami z zaznaczoną płaszczyzną, którą trzeba obliczyć (część wspólna). Tylko jak to zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 21:41 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
Obrazek

Pole części wspólnej tych trójkątów (T\cap T_1) to pole 4 przystajacych trójkątów (to tu trzeba zauważyć). Wartość wysokości h w 'dużym' trójkącie prostokątnym (o ramionach dł. a i przeciwprost. dł. a\sqrt{2}) wyliczamy z 2 różnych wzorów na jego pole, mamy więc:

\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a\sqrt{2}h \quad\iff\quad h=\frac{\sqrt{2}}{2}a

Teraz wyliczamy miarę kąta ostrego jednego z tych przystających trójkątów (zaznaczony na pomaranczowo; jego miara wynosi 15^\circ). Mając długość h i miarę tego kąta potrzebna jest nam jeszcze długość podstawy x. Z funkcji trygonometrycznej tangens kąta $15^\circ$ mamy:

\tan 15^\circ=\frac{x}{h} \quad\iff\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ

Teraz pole:
P=4\cdot\frac{1}{2}xh=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ=a^2\tan 15^\circ

Ze wzorów redukcyjnych i wzorów na różnicę sinusów/cosinusów liczymy pomocniczo:
\tan 15^\circ=\frac{\sin(45^\circ-30^\circ)}{\cos(45^\circ-30^\circ)}=
\frac{\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ}{\cos45^\circ\cos30^\circ+sin45^\circ\sin30^\circ}=2-\sqrt{3}

Podstawiając mamy ostatecznie: P_{T\cap T_1}=a^2\tan15^\circ=a^2(2-\sqrt{3})\ j.^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2008, o 12:16 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: wrocław
Mógłby ktoś wyjaśnic jak, zauważyć , że te 4 trójkąty są przystające?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sie 2012, o 22:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Sądecczyzna
Mam podobne pytanie co pan wyżej, tylko, że nie wiem co zrobić z czworokątem pomiędzy h i niepodpisanym h. Najprosciej bylo by walnac odcinek ktory podzieli kąty na połowy,ale...na jakiej podstawie bym mógł to zrobić? Myślałem, że może jako że to deltoid, ale też, skąd wiem że to deltoid? Bardzo proszę o pomoc, bo nie wiem co z tym zrobić. Pozostałe 2 trójkąty mam już.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sie 2012, o 04:33 
Użytkownik

Posty: 16188
Wyżej już napisano, że trójkąty są przystające, więc pole tego czworokąta jest zbędne.

Żeby wykazać przystawanie wystarczy policzyć kąty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 19:51 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: krakow
Witam, troszkę odkopuję temat, ale mam pewne niejasności. Skoro a=5 to wysokość policzyłem z wzoru na wysokość dla trójkąta równobocznego. h^{2}= \frac{3}{4}a No i wyszło mi że h=  \frac{5\sqrt{3}}{2}. Więc dlaczego to jest źle?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 kwi 2013, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 16188
A gdzie masz tam trójkąt równoboczny o boku 5?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trojkat rownoboczny i punkt w srodku
Zadanie ma tresc. W trojkacie rownobocznym znaleziono punkt ktory jest w odleglosci odpowiednio 3, 4, 5 od wierzcholkow tego trojkata. Oblicz pole trojkata. Nie moge sobie z tym poradzic, moze ktos bedzie mial pomysl...zadanie musze miec na p...
 muggin  3
 Trójkąt- równania prostych, obwód, pole i inne śmiecie
Mając dane współrzędne wierzchołka trójkąta ABC (sama mam wybrać)wyznacz: 1. równanie prostej zawierającej jeden z boków trójkąta 2. równanie prostej zawierającej wysokość opuszczoną na ten bok 3. równanie symetralnej tego boku 4. równanie środkowej ...
 ladida10  2
 Trójkąt równoboczny - zadanie 63
Mam podane pole, które wynosi 18 i mam taki mały problem doszedłem do tego i nie wiem jak to zrobić a^{2}= \frac{72 \sqrt{3} }{3}...
 Reebook92  7
 Dowód: trójką prostokątny i wpisany okrąg
Hej! Mam następujący problem: znane są długości odcinków a i b. Dzielą się one w punkcie styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z jego bokiem. Muszę znaleźć pole tego trójkąta mając tylko te dane. Wszystko widać na rysunku niżej. Jak to z...
 loki  2
 W trójkąt prostokątny równoramienny
Ahaaa:) Tak, tylko nie rozumiem dlaczego tak z przeciwprostokątna jest.... To znaczy jak ? Nie wiem o co konkretnie pytasz....
 zlydasiukus  7
 Trójkąt podzielony środkowymi - wykaż równość pól.
W trójkącie poprowadzono środkowe, które podzieliły dany trójkąt na 6 mniejszych trójkątów. Wykaż, że pola tych trójkątów są równe....
 przescieradlo  4
 Znajdz dlugosc promienia okregu wpisanego w trojkat
witam mam nastepujace zadanie: w trojkacie katy maja miary alfa beta i gama. bok lezacy naprzeciw kata alfa ma miare A znajdz dlugosc promienia okregu wpisanego w trojkat jak to zrobic? jakies propozycje? dziekuje...
 domichalek  1
 trojkat - zadanie 3
W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C obrano punkt P tak, aby każdy z trójkątów ABP, BCP i ACP...
 bullay  1
 Podobieństwo trójkąta oraz Okręgi wpisane w trójkąt
Witam potrzebuje wskazówek do poniższych zadań. Za każdą cenną poradę będę wdzięczny. Zadanie 1 Punkty D, E dzielą bok AB trójkąta ABC na trzy odcinki mające taką samą długość. Punkt F jest środkiem boku BC. Odcinki CE i DF ...
 LaserowyGeneral  3
 Trójkąt prostokątny - zadanie 2
Jak wykazać ,że sześcian długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest większy od sumy sześcianów długości jego przyprostokątnych?? ...
 Tys  3
 Wpisz kwadrat w trójkąt.
Na płaszczyźnie dany jest ostrokątny trójkąt różnoboczny ABC. Wpisz w ten trójkąt kwadrat KLMN tak, aby K, L \in AB, M \in BC, N \in AC. Proszę o odpowiedź....
 infeq  1
 Okrag wpisany w trójkąt
Oblicz promien okregu wpisanego w trojkat o bokach 11, 14 i 15. Dziekuje za pomoc...
 Mistermasyl  1
 trójkąt przeciwprostokątna
Witam jak obliczyć takie zadanie? Pole trójkąta prostokątnego jest równe 60cm.Jedna z przyprostokątnych jest o 7cm dłuższa od drugiej.Obl.długość przeciwprostokątnej tego trójkąta....
 Michal8  1
 Trapez wpisany w trójkąt.
Wkradł się błąd, z równania wynika \left| AM\right| = \left| CP\right|, co w pewnym trójkącie nie zachodzi (np. prostokątnym nierównoramiennym). -- 20 lutego 2011, 20:49 -- Podejrzewam, że \left| AM\right|...
 Rethie  1
 Okrąg wpisany w trójkąt - zadanie 4
W trójkąt równoramienny wpisano okrąg i poprowadzono styczną do tego okręgu równoległą do podstawy trójkąta. Pole utworzonego w ten sposób trapezu stanowi 16/25 pola trójkąta. Oblicz cosinus kąta pomiędzy ramionami trójkąta. Z góry dziękuję za pomoc...
 TokaKoka  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com