szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 08:47 
Użytkownik

Posty: 278
Lokalizacja: Warszawa
Trójkąt prostokątny równoramienny T, o przyprostokątnej długości 5 cm, obrócono wokół wierzchołka kąta prostego o kąt 30 stopni, otrzymując trójkąt T'. Oblicz T\cap T'.

Już rysunek mam z dwoma trójkątami z zaznaczoną płaszczyzną, którą trzeba obliczyć (część wspólna). Tylko jak to zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 21:41 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
Obrazek

Pole części wspólnej tych trójkątów (T\cap T_1) to pole 4 przystajacych trójkątów (to tu trzeba zauważyć). Wartość wysokości h w 'dużym' trójkącie prostokątnym (o ramionach dł. a i przeciwprost. dł. a\sqrt{2}) wyliczamy z 2 różnych wzorów na jego pole, mamy więc:

\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a\sqrt{2}h \quad\iff\quad h=\frac{\sqrt{2}}{2}a

Teraz wyliczamy miarę kąta ostrego jednego z tych przystających trójkątów (zaznaczony na pomaranczowo; jego miara wynosi 15^\circ). Mając długość h i miarę tego kąta potrzebna jest nam jeszcze długość podstawy x. Z funkcji trygonometrycznej tangens kąta $15^\circ$ mamy:

\tan 15^\circ=\frac{x}{h} \quad\iff\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ

Teraz pole:
P=4\cdot\frac{1}{2}xh=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ=a^2\tan 15^\circ

Ze wzorów redukcyjnych i wzorów na różnicę sinusów/cosinusów liczymy pomocniczo:
\tan 15^\circ=\frac{\sin(45^\circ-30^\circ)}{\cos(45^\circ-30^\circ)}=
\frac{\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ}{\cos45^\circ\cos30^\circ+sin45^\circ\sin30^\circ}=2-\sqrt{3}

Podstawiając mamy ostatecznie: P_{T\cap T_1}=a^2\tan15^\circ=a^2(2-\sqrt{3})\ j.^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2008, o 12:16 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: wrocław
Mógłby ktoś wyjaśnic jak, zauważyć , że te 4 trójkąty są przystające?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sie 2012, o 22:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Sądecczyzna
Mam podobne pytanie co pan wyżej, tylko, że nie wiem co zrobić z czworokątem pomiędzy h i niepodpisanym h. Najprosciej bylo by walnac odcinek ktory podzieli kąty na połowy,ale...na jakiej podstawie bym mógł to zrobić? Myślałem, że może jako że to deltoid, ale też, skąd wiem że to deltoid? Bardzo proszę o pomoc, bo nie wiem co z tym zrobić. Pozostałe 2 trójkąty mam już.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sie 2012, o 04:33 
Użytkownik

Posty: 16188
Wyżej już napisano, że trójkąty są przystające, więc pole tego czworokąta jest zbędne.

Żeby wykazać przystawanie wystarczy policzyć kąty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 19:51 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: krakow
Witam, troszkę odkopuję temat, ale mam pewne niejasności. Skoro a=5 to wysokość policzyłem z wzoru na wysokość dla trójkąta równobocznego. h^{2}= \frac{3}{4}a No i wyszło mi że h=  \frac{5\sqrt{3}}{2}. Więc dlaczego to jest źle?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 kwi 2013, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 16188
A gdzie masz tam trójkąt równoboczny o boku 5?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąt prostokatny, miara kąta alfa.
http://img2.vpx.pl/up/20091007/mlzadanie.jpg Oto to zadanie powyżej. Jeżeli ktoś potrafi obliczyć proszę o szczegółowy ro...
 Dorek90  15
 Dowód: trójką prostokątny i wpisany okrąg
Hej! Mam następujący problem: znane są długości odcinków a i b. Dzielą się one w punkcie styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z jego bokiem. Muszę znaleźć pole tego trójkąta mając tylko te dane. Wszystko widać na rysunku niżej. Jak to z...
 loki  2
 Trójkąt Prostokątny - zadanie 122
Suma kwadratów dlugości trzech boków trojkata prostokatnego wynosi 72 zatem przeciwprostokątna wynosi ? Mam z tym problem ulozylem rownanie a^2+b^2+c^2=72 \\ a^2+b^2=c^2 ale nic z tym zrobic zbytnio nie moge^ a2= t...
 kamil2227  1
 trojkat - zadanie 3
W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C obrano punkt P tak, aby każdy z trójkątów ABP, BCP i ACP...
 bullay  1
 [Trójkąt równoramienny] - Jak wyliczyć wysokość...
No właśnie zauważyłem w czym liczył... fakt... mój błąd - przyznaję się bez bicia - ale po za tym reszta dobrze Wielkie dzięki za wszystko - dzięki waszej pomocy s...
 Setesh  7
 Trójkąt prostokątny - zadanie 2
Jak wykazać ,że sześcian długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest większy od sumy sześcianów długości jego przyprostokątnych?? ...
 Tys  3
 trójkąt o bokach 3, 6 I 7
Dany jest trójkąt o bokach 3,6 i 7. Oblicz pole tego trójkąta i długość promienia opisanego na tym trójkącie....
 brida  2
 Okrąg wpisany w trójkąt - zadanie 4
W trójkąt równoramienny wpisano okrąg i poprowadzono styczną do tego okręgu równoległą do podstawy trójkąta. Pole utworzonego w ten sposób trapezu stanowi 16/25 pola trójkąta. Oblicz cosinus kąta pomiędzy ramionami trójkąta. Z góry dziękuję za pomoc...
 TokaKoka  1
 trójkąt równoramienny - zadanie 65
Wtrójkącie równoramiennym ramię ma dł.8 i tworzy z podstawą kat 30 stopni. oblicz pole trójkata oraz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. nie mogę ruszyć z miejsca! -- 20 lis 2009, o 22:46 -- -- 20 lis 2009, o 22:48 --...
 mila0510  6
 trapez równoramienny - zadanie 78
W trapezie równoramiennym dłuższa podstawa ma długość 15cm, a wysokość 9cm. Odcinek łączący środki przekątnych trapezu ma 4 cm długości. Oblicz pole tego trapezu....
 Gosiek9210  1
 Obliczyć pole koła wpisanego w trójkąt...
Zad.1 Obliczyć pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny, którego pole wynosi 36. Zad.2 Obliczyć pole koła wpisanego w trójkąt prostokątny, którego pole wynosi 48, a jedna przyprostokątna ma długość 8. Prawie nic nie rozumiem z matematyki, ...
 mbps  1
 Kwadrat wpisany w trójkąt - zadanie 11
Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b. W trójkąt ten wpisano kwadrat. Oblicz dłogśc boku kwadratu. x - bok kwadratu. Ułożyłem taki stosunek: \frac{b}{b-x}= \frac{a}{a-x} ab-bx=ab-ax[/tex:...
 jezarek  3
 trójkąt równoboczny - zadanie 39
Trójkąt równoboczny ma bok 12 cm.Oblicz: a) pole i obwód koła opisanego na tym trójkącie b) pole i obwód koła wpisanego w ten trójkąt...
 milen_ka  1
 Trójkąt z wpisanym okręgiem. Długości odcinków
Zerknij tutaj http://www.wiw.pl/matematyka/geometria/ ... _04_01.asp (wniosek po punkcie 152) lub tutaj ...
 stan1906  5
 Wykazac , ze...trójkąt, wektory
Wewnątrz trójkąta A B C wybrano dowolny punkt P. Niech M, L i N oznaczają odpowiednio środki boków [tex:9...
 mateusz.ex  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com