szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 08:47 
Użytkownik

Posty: 278
Lokalizacja: Warszawa
Trójkąt prostokątny równoramienny T, o przyprostokątnej długości 5 cm, obrócono wokół wierzchołka kąta prostego o kąt 30 stopni, otrzymując trójkąt T'. Oblicz T\cap T'.

Już rysunek mam z dwoma trójkątami z zaznaczoną płaszczyzną, którą trzeba obliczyć (część wspólna). Tylko jak to zrobić?
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 21:41 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
Obrazek

Pole części wspólnej tych trójkątów (T\cap T_1) to pole 4 przystajacych trójkątów (to tu trzeba zauważyć). Wartość wysokości h w 'dużym' trójkącie prostokątnym (o ramionach dł. a i przeciwprost. dł. a\sqrt{2}) wyliczamy z 2 różnych wzorów na jego pole, mamy więc:

\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a\sqrt{2}h \quad\iff\quad h=\frac{\sqrt{2}}{2}a

Teraz wyliczamy miarę kąta ostrego jednego z tych przystających trójkątów (zaznaczony na pomaranczowo; jego miara wynosi 15^\circ). Mając długość h i miarę tego kąta potrzebna jest nam jeszcze długość podstawy x. Z funkcji trygonometrycznej tangens kąta $15^\circ$ mamy:

\tan 15^\circ=\frac{x}{h} \quad\iff\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ

Teraz pole:
P=4\cdot\frac{1}{2}xh=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ=a^2\tan 15^\circ

Ze wzorów redukcyjnych i wzorów na różnicę sinusów/cosinusów liczymy pomocniczo:
\tan 15^\circ=\frac{\sin(45^\circ-30^\circ)}{\cos(45^\circ-30^\circ)}=
\frac{\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ}{\cos45^\circ\cos30^\circ+sin45^\circ\sin30^\circ}=2-\sqrt{3}

Podstawiając mamy ostatecznie: P_{T\cap T_1}=a^2\tan15^\circ=a^2(2-\sqrt{3})\ j.^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2008, o 12:16 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: wrocław
Mógłby ktoś wyjaśnic jak, zauważyć , że te 4 trójkąty są przystające?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sie 2012, o 22:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Sądecczyzna
Mam podobne pytanie co pan wyżej, tylko, że nie wiem co zrobić z czworokątem pomiędzy h i niepodpisanym h. Najprosciej bylo by walnac odcinek ktory podzieli kąty na połowy,ale...na jakiej podstawie bym mógł to zrobić? Myślałem, że może jako że to deltoid, ale też, skąd wiem że to deltoid? Bardzo proszę o pomoc, bo nie wiem co z tym zrobić. Pozostałe 2 trójkąty mam już.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sie 2012, o 04:33 
Użytkownik

Posty: 16194
Wyżej już napisano, że trójkąty są przystające, więc pole tego czworokąta jest zbędne.

Żeby wykazać przystawanie wystarczy policzyć kąty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 19:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 115
Lokalizacja: Rzeszów
Witam, troszkę odkopuję temat, ale mam pewne niejasności. Skoro a=5 to wysokość policzyłem z wzoru na wysokość dla trójkąta równobocznego. h^{2}= \frac{3}{4}a No i wyszło mi że h=  \frac{5\sqrt{3}}{2}. Więc dlaczego to jest źle?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 kwi 2013, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 16194
A gdzie masz tam trójkąt równoboczny o boku 5?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąt równoramienny jest opisany na okręgu
Trójkąt równoramienny jest opisany na okręgu o promieniu r. Pole trójkąta wynosi 3 \sqrt{3}. Ile wynosi wysokość trójkąta opuszczona na podstawę. Nie mam pojęcia jak to rozwiązać. Ktoś ma pomysł?...
 sayokun  5
 trojkat wpisany i opisany na okregu-zad
zad. obliucz dlugosc promienia okregu opisanego na trojkacie o bokach dl. 5, 8,10 zad2. w okrag o promieniu 5 wpisano trojkat, ktorego katy maja miary 20,50,110 stopni. oblicz pole trojkata. z zad.2 obliczona mam jedynie wysokosc czyli 15 i co dale...
 nice88  6
 trójkąt i dwusieczna - zadanie 5
Boki trójkąta ABC mają długość 4,5,,6. Oblicz długość środkowej poprowadzonej do najdłuższego boku oraz miary kątów przeciwległej tej środkowej....
 agnieszka19192  0
 Trójkąt równoramienny i środkowe
Środkowe poprowadzone z wierzchołków A i B trójkąta prostokątnego równoramiennego ABC o ramieniu długości 6 cm przecinają się w punkcie P. Rozwiąż trójkąt ABP. http://img256.imageshack.us/img256/6382/zeskanowanydokument&#46...
 conseil  2
 Trójkąt wpisany/opisany - zadania
Gdyby byl ktos tak mily i pomogl mi z zadaniami bylbym wdzieczny: 1.Na okręgu o promieniu r=3 opisano trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku równym 120'. Oblicz długość boków trójkąta? 2.W trójkącie prostokątnym krótsza przyprostokątna ma ...
 hadrian  2
 Trójkąt prostokątny - trzy warunki
Pole trójkąta prostokątnego jest równe 54. Długość jednego boku jest średnią arytmetyczną długości i dwóch pozostałych boków. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie....
 dawido000  1
 Trójkąt równoboczny styczność z OM
Prosta styczna do okregu wpisanego w trójkat równoboczny ABC przecina boki AB i AC odpowiednio w punktach D i E. Udowodnic, ze \frac{\left|AD\right|}{\left|DB \right|} + \frac{ \left|AE \right|}{\left|EC \right|} = 1...
 manieczekmc  2
 Trójkąt i trzy proste przechodzące przez punkt wewnątrz
Tym razem to ja mam problem. Przez punkt wewnątrz trójkąta przechodzą trzy proste równoległe do podstaw. Znajdź związek między sumą pól powstałych trójkątów a sumą pól powstałych trapezów. Jest w tym zadaniu wiele podobieństwa trójkątów, ale zawsze d...
 neo.  5
 Trójkąt i twierdzenie Talesa
Hej. Mam takie jedno zadanie, którego nie potrafię rozwiązać. Pomożecie mi? Oto ono: Wykaż, że w dowolnym trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków ma długość równą połowie długości trzeciego boku i jest do niego równoległy. Nie mam pojęcia jak ...
 Ettariel  1
 trójkąt różnoboczny
Proszę o pomoc w zadaniu. Treść zadania: Boki trójkąta mają długości 6cm, 7cm i 5cm. Oblicz: a)pole trójkąta b)promień okręgu wpisanego i promień okręgu opisanego na tym trójkącie c)wysokość poprowadzoną do najdłuższego boku tego trójkąta Z góry ...
 lekokadia  1
 Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokąt - zadanie 2
Który z wzorów na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny : 1) r = ab/(a + b + c) 2) r = (a + b - c)/2 jest prawidłowy? a, b - przyprostokątne c - przeciwprostokątna Pierwszy znalazłem w tablicach matematycznych, drugi w pewnym zbiorze ...
 the moon  5
 trójkąt + równania prostej
O trójkącie ABC wiadomo, że: 1. AB i AC zawarte są w wykresie funkcji y=|x-1| 2. Bok BC zawarty jest w prostej przechodzącej przez punkt C=(-5,0) 3. Pole trójkąta ABC=12 a)Napisz równanie prostej równoległej do osi OX, dzielącej trójkąt ABC, na dwie ...
 mat1989  2
 Trójkąt prostokątny i równoległa do przeciwprostokątnej
W trójkącie prostokątnym ABC poprowadzono odcinek DE równoległy do przeciwprostokątnej AB, taki że D \in BC, E \in AC. Długość tego odcinka jest równa długości przyprostokątnej AC, zaś kąt przeciwległy tej przyprostokątne...
 Tux  0
 Trójkąt prostokątny - dowód
Oczywiste jest, że punkty na przeciwprostokątnej leżą w kolejności: A,D,E,B Oznaczmy: \sphericalangle BCE = \alpha , \sphericalangle ECD = \beta , \sphericalangle DCA = \gamma. Z założenia ...
 urugwaj  1
 trójkąt wpisany w okrąg - związki boków z promieniem
W okrąg o promieniu R wpisano trójkąt, którego dwa boki wynoszą: \frac{1}{2}R i R \sqrt{3}. Oblicz długość trzeciego boku....
 puciciek  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com