szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 07:47 
Użytkownik

Posty: 278
Lokalizacja: Warszawa
Trójkąt prostokątny równoramienny T, o przyprostokątnej długości 5 cm, obrócono wokół wierzchołka kąta prostego o kąt 30 stopni, otrzymując trójkąt T'. Oblicz T\cap T'.

Już rysunek mam z dwoma trójkątami z zaznaczoną płaszczyzną, którą trzeba obliczyć (część wspólna). Tylko jak to zrobić?
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
Obrazek

Pole części wspólnej tych trójkątów (T\cap T_1) to pole 4 przystajacych trójkątów (to tu trzeba zauważyć). Wartość wysokości h w 'dużym' trójkącie prostokątnym (o ramionach dł. a i przeciwprost. dł. a\sqrt{2}) wyliczamy z 2 różnych wzorów na jego pole, mamy więc:

\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a\sqrt{2}h \quad\iff\quad h=\frac{\sqrt{2}}{2}a

Teraz wyliczamy miarę kąta ostrego jednego z tych przystających trójkątów (zaznaczony na pomaranczowo; jego miara wynosi 15^\circ). Mając długość h i miarę tego kąta potrzebna jest nam jeszcze długość podstawy x. Z funkcji trygonometrycznej tangens kąta $15^\circ$ mamy:

\tan 15^\circ=\frac{x}{h} \quad\iff\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ

Teraz pole:
P=4\cdot\frac{1}{2}xh=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ=a^2\tan 15^\circ

Ze wzorów redukcyjnych i wzorów na różnicę sinusów/cosinusów liczymy pomocniczo:
\tan 15^\circ=\frac{\sin(45^\circ-30^\circ)}{\cos(45^\circ-30^\circ)}=
\frac{\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ}{\cos45^\circ\cos30^\circ+sin45^\circ\sin30^\circ}=2-\sqrt{3}

Podstawiając mamy ostatecznie: P_{T\cap T_1}=a^2\tan15^\circ=a^2(2-\sqrt{3})\ j.^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2008, o 11:16 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: wrocław
Mógłby ktoś wyjaśnic jak, zauważyć , że te 4 trójkąty są przystające?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sie 2012, o 21:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Sądecczyzna
Mam podobne pytanie co pan wyżej, tylko, że nie wiem co zrobić z czworokątem pomiędzy h i niepodpisanym h. Najprosciej bylo by walnac odcinek ktory podzieli kąty na połowy,ale...na jakiej podstawie bym mógł to zrobić? Myślałem, że może jako że to deltoid, ale też, skąd wiem że to deltoid? Bardzo proszę o pomoc, bo nie wiem co z tym zrobić. Pozostałe 2 trójkąty mam już.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sie 2012, o 03:33 
Użytkownik

Posty: 16192
Wyżej już napisano, że trójkąty są przystające, więc pole tego czworokąta jest zbędne.

Żeby wykazać przystawanie wystarczy policzyć kąty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 18:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 115
Lokalizacja: Rzeszów
Witam, troszkę odkopuję temat, ale mam pewne niejasności. Skoro a=5 to wysokość policzyłem z wzoru na wysokość dla trójkąta równobocznego. h^{2}= \frac{3}{4}a No i wyszło mi że h=  \frac{5\sqrt{3}}{2}. Więc dlaczego to jest źle?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 kwi 2013, o 20:08 
Użytkownik

Posty: 16192
A gdzie masz tam trójkąt równoboczny o boku 5?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąt - warunki tworzenia, kąty, etc...
Witam. Szukałam tego po Sieci i szukałam - i znaleźć nie mogę. Chodzi o warunki, w których można utworzyć trójkąt (i jaki konkretnie). Np. zadanie, w którym mam podane długości wszystkich boków i mam określić, czy trójkąt jest ostrokątny. Co świadc...
 Shvia  5
 Okrąg wpisany w trójkąt - zadanie 8
1.60 Ramię trójkąta równoramiennego ma długość b, a kąt przy podstawie ma miarę \alpha. Znajdź promień okręgu weń wpisanego....
 Konikov  2
 Trójkąt prostokątny wpisany w koło ?
Oblicz pole i obw koła opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 6cm,8cm Pytanie : -Obw 31,4 -Pole 78,5 Prosze o potwierdzenie czy dobrze zrobiłem to zadanie...
 Tomasz665  3
 Trójkąt : dwie możliwości
W trójkącie równoramiennym ABC (|AB|=|BC|) miara jednego z kątów wewnętrznych jest równa 80 stopni. Z wierzchołka A poprowadzono dwusieczną AD i wysokość AF. Oblicz miarę kąta DAE. ROzważ wszystkie możliwości. Prosiłbym o jasne wyjaśnienie jak to tr...
 Ele Melee  1
 trojkąt - zadanie 3
W trójkącie równoramienny...
 Ewcia M.  6
 trójkąt o katach 90 60 30
Ile wynoszą 2 pozostałe boki trójkąta prostokątnego o kątach 90st, 60st i 30st, jeżeli bok zawarty pomiędzy kątem 30st a 90st ma miarę a ? niby proste a jednak......
 lukasz9003  3
 pole koła wpisanego w trójkąt
Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadanka: 1.Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny o polu S....
 ineczkaa  3
 trójkąt prostokątny opisany na kole
Na kole o promieniu 2 opisano trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długość x i y.. Wyznacz funkcję zmiennej x opisującą długość boku y. określ dziedzinę ten funkcji nie wiem od czego się zabrać. z jakich własności mogę skorzystać?...
 mycha-mycha1  1
 skonstruuj trojkat z dwoch katow i sumy dwoch bokow.
skonstruuj trojkat z dwoch katow i odcinka bedacego suma dwoch bokow. pomocy!...
 tomek_sieradz  1
 Rozstrzygnij czy istnieje trojkat ..
Zad. Rozstrzygnij, czy istnieje trojkat, ktorego wysokosci maja dlugosci 1, 2 i 3 ? Z gory dzieki....
 szyms  1
 Trójkąt równoramienny - zadanie 2
Wykaż, że jeżeli w trójkącie równoramiennym o obwodzie 30, długość podstawy "a" spełnia warunek 6...
 Zingel  2
 Trojkąt i okręgi
Byłabym wdzięczna za rozwiązanie lub wskazówki do zadania: Niech p i q będą promieniami okręgów przechodzących przez wierzchołek A trójkąta ABC oraz stycznych do boku BC odpowiedni w punktach B i C. Pokaż, że p \cdotvq=R^{2}[/tex:cmvqt9...
 achajka21  1
 Trójkąt prostokątny, a średnice okręgów.
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokatnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie....
 bigos11  1
 trójkat równoboczny - zadanie 3
Wykaż że jeśli suma długości wysokości trójkąta jest 9 razy większa od długości promienia okręgi wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt ten jest równoboczny....
 blondinetka  2
 Trójkąt-dowodzenie
Zad. Środkowa trójkąta jest równa połowie boku, do którego została poprowadzona. Wykaż, że trójkąt ten jest prostokoątny....
 eaglefly  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com