szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 08:47 
Użytkownik

Posty: 278
Lokalizacja: Warszawa
Trójkąt prostokątny równoramienny T, o przyprostokątnej długości 5 cm, obrócono wokół wierzchołka kąta prostego o kąt 30 stopni, otrzymując trójkąt T'. Oblicz T\cap T'.

Już rysunek mam z dwoma trójkątami z zaznaczoną płaszczyzną, którą trzeba obliczyć (część wspólna). Tylko jak to zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 21:41 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
Obrazek

Pole części wspólnej tych trójkątów (T\cap T_1) to pole 4 przystajacych trójkątów (to tu trzeba zauważyć). Wartość wysokości h w 'dużym' trójkącie prostokątnym (o ramionach dł. a i przeciwprost. dł. a\sqrt{2}) wyliczamy z 2 różnych wzorów na jego pole, mamy więc:

\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a\sqrt{2}h \quad\iff\quad h=\frac{\sqrt{2}}{2}a

Teraz wyliczamy miarę kąta ostrego jednego z tych przystających trójkątów (zaznaczony na pomaranczowo; jego miara wynosi 15^\circ). Mając długość h i miarę tego kąta potrzebna jest nam jeszcze długość podstawy x. Z funkcji trygonometrycznej tangens kąta $15^\circ$ mamy:

\tan 15^\circ=\frac{x}{h} \quad\iff\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ

Teraz pole:
P=4\cdot\frac{1}{2}xh=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ=a^2\tan 15^\circ

Ze wzorów redukcyjnych i wzorów na różnicę sinusów/cosinusów liczymy pomocniczo:
\tan 15^\circ=\frac{\sin(45^\circ-30^\circ)}{\cos(45^\circ-30^\circ)}=
\frac{\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ}{\cos45^\circ\cos30^\circ+sin45^\circ\sin30^\circ}=2-\sqrt{3}

Podstawiając mamy ostatecznie: P_{T\cap T_1}=a^2\tan15^\circ=a^2(2-\sqrt{3})\ j.^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2008, o 12:16 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: wrocław
Mógłby ktoś wyjaśnic jak, zauważyć , że te 4 trójkąty są przystające?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sie 2012, o 22:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Sądecczyzna
Mam podobne pytanie co pan wyżej, tylko, że nie wiem co zrobić z czworokątem pomiędzy h i niepodpisanym h. Najprosciej bylo by walnac odcinek ktory podzieli kąty na połowy,ale...na jakiej podstawie bym mógł to zrobić? Myślałem, że może jako że to deltoid, ale też, skąd wiem że to deltoid? Bardzo proszę o pomoc, bo nie wiem co z tym zrobić. Pozostałe 2 trójkąty mam już.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sie 2012, o 04:33 
Użytkownik

Posty: 16188
Wyżej już napisano, że trójkąty są przystające, więc pole tego czworokąta jest zbędne.

Żeby wykazać przystawanie wystarczy policzyć kąty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 19:51 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: krakow
Witam, troszkę odkopuję temat, ale mam pewne niejasności. Skoro a=5 to wysokość policzyłem z wzoru na wysokość dla trójkąta równobocznego. h^{2}= \frac{3}{4}a No i wyszło mi że h=  \frac{5\sqrt{3}}{2}. Więc dlaczego to jest źle?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 kwi 2013, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 16188
A gdzie masz tam trójkąt równoboczny o boku 5?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trojkat rownoboczny i punkt w srodku
Zadanie ma tresc. W trojkacie rownobocznym znaleziono punkt ktory jest w odleglosci odpowiednio 3, 4, 5 od wierzcholkow tego trojkata. Oblicz pole trojkata. Nie moge sobie z tym poradzic, moze ktos bedzie mial pomysl...zadanie musze miec na p...
 muggin  3
 Trójkąt i nierówność
Mam oto takie zadanko: udowodnij że w trójkącie o bokach a, b, c zachodzi nierówność: \left| \frac{b-c}{a}\right|<1 Hmmm ja tobym zaczął od założenie: a, b, c>0[/tex:3ja...
 donald161  3
 dwa okręgi wpisane w trójkąt
W trójkąt prostokątny równoramienny wpisano dwa okręgi styczne zewnętrznie do siebie, każdy o promieniu 1 cm. Oblicz obwód tego trójkąta. Z góry bardzo dziękuję za pomoc....
 agusSia  1
 Trójkąt podzielony środkowymi - wykaż równość pól.
W trójkącie poprowadzono środkowe, które podzieliły dany trójkąt na 6 mniejszych trójkątów. Wykaż, że pola tych trójkątów są równe....
 przescieradlo  4
 Dany jest trójkąt - zadanie 5
Dany jest trójkąt o bokach długości - 12cm, 10cm, 15cm. Oblicz: a) miary kątów trójkąta b) pole trójkąta c) długość promienia d) pole trójkąta opisanego Może ktoś pomóc? ...
 Dankos  1
 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt
Oznaczmy sobie h - dł wysokości c - dł przeciwprostokątnej s - dł. środkowej Jak narysujesz sobie rysunek to łatwo zauważyć, że s= \frac{c}{2}[/te...
 wbb  2
 Okrag wpisany w trójkąt
Oblicz promien okregu wpisanego w trojkat o bokach 11, 14 i 15. Dziekuje za pomoc...
 Mistermasyl  1
 Trójkąt równoramienny i odcinek wysokości
Dany jest trójkąt równoramienny ABC (AC=BC), w którym AC>AB. Okrąg o środku w punkcie A i promieniu AB przecina AC w P, a okrąg o środku w B i promieniu AB przecina BC w Q. Proste AQ i BP przecinają się w O. Wyznacz odległość punktu O od prostej A...
 atimor  0
 trójkąt prostokątny - zadanie 62
W trójkącie prostokątnym ABC, w którym kąt ACB jest kątem prostym, |BC| =10cm i |AC|=15cm, poprowadzono dwusieczną kąta prostego. Dwusieczna ta przecina przeciw prostokątną AB w punkcie D. Oblicz długość odcinka CD....
 marianna  1
 trójkąt, środkowe i kąty
W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD i CE, które przecięły się w punkcie M. Wiadomo że |AD|\cdot |CE|=\sqrt{3} oraz |\sphericalangle MAC| + |\sphericalangle ACM|=60^0. Wykaż, że pole trój...
 AJRISZzZ  1
 trójkąt równoramienny - zadanie 18
Podstawa trójkąta równoramiennego i środkowe poprowadzone z jej końców mają długość a. Oblicz długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka tego trójkąta....
 night_spirit  1
 trójkąt ostrokątny - zadanie 11
proszę o pomoc: na bokach AB i BC trójkata ostrokątnego ABC opisano, jako średnicach, dwa okręgi. Gdzie leży punkt przeciecia się tych okręgów (różny od B). dziękuję...
 celia11  3
 Trójkat prostokatny.Odcinek i pole
W trojkacie prostokatnym o kacie prostym przy wierzchołku C na przedłuzeniu przeciwprostokatnej AB odmierzono odcinek BD tak,że |BD| = |BC|. Wyznaczyc oraz obliczyc pole trójkata ACD, jezeli |BC|= 5, |AC|=12....
 Balanceman  1
 trójkąt równoboczny wykazywanie
Punkt P należy do wnętrza trójkąta równobocznego ABC, a punkty D, E, F są rzutami prostokątnymi punktu P odpowiednio na boki BC, CA, AB. Wykazać, że suma pól trójkątów PAE, PBF, PCD nie zalezy od wyboru punktu P....
 masakryczna  0
 trójkąt o bokach a, b, c
Jak sprawdzić czy w trójkącie o bokach a,b,c żaden z kątów nie jest większy niż 120 stopni?...
 Andreas  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com