szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 07:47 
Użytkownik

Posty: 278
Lokalizacja: Warszawa
Trójkąt prostokątny równoramienny T, o przyprostokątnej długości 5 cm, obrócono wokół wierzchołka kąta prostego o kąt 30 stopni, otrzymując trójkąt T'. Oblicz T\cap T'.

Już rysunek mam z dwoma trójkątami z zaznaczoną płaszczyzną, którą trzeba obliczyć (część wspólna). Tylko jak to zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2007, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
Obrazek

Pole części wspólnej tych trójkątów (T\cap T_1) to pole 4 przystajacych trójkątów (to tu trzeba zauważyć). Wartość wysokości h w 'dużym' trójkącie prostokątnym (o ramionach dł. a i przeciwprost. dł. a\sqrt{2}) wyliczamy z 2 różnych wzorów na jego pole, mamy więc:

\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a\sqrt{2}h \quad\iff\quad h=\frac{\sqrt{2}}{2}a

Teraz wyliczamy miarę kąta ostrego jednego z tych przystających trójkątów (zaznaczony na pomaranczowo; jego miara wynosi 15^\circ). Mając długość h i miarę tego kąta potrzebna jest nam jeszcze długość podstawy x. Z funkcji trygonometrycznej tangens kąta $15^\circ$ mamy:

\tan 15^\circ=\frac{x}{h} \quad\iff\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ

Teraz pole:
P=4\cdot\frac{1}{2}xh=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ=a^2\tan 15^\circ

Ze wzorów redukcyjnych i wzorów na różnicę sinusów/cosinusów liczymy pomocniczo:
\tan 15^\circ=\frac{\sin(45^\circ-30^\circ)}{\cos(45^\circ-30^\circ)}=
\frac{\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ}{\cos45^\circ\cos30^\circ+sin45^\circ\sin30^\circ}=2-\sqrt{3}

Podstawiając mamy ostatecznie: P_{T\cap T_1}=a^2\tan15^\circ=a^2(2-\sqrt{3})\ j.^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2008, o 11:16 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: wrocław
Mógłby ktoś wyjaśnic jak, zauważyć , że te 4 trójkąty są przystające?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sie 2012, o 21:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Sądecczyzna
Mam podobne pytanie co pan wyżej, tylko, że nie wiem co zrobić z czworokątem pomiędzy h i niepodpisanym h. Najprosciej bylo by walnac odcinek ktory podzieli kąty na połowy,ale...na jakiej podstawie bym mógł to zrobić? Myślałem, że może jako że to deltoid, ale też, skąd wiem że to deltoid? Bardzo proszę o pomoc, bo nie wiem co z tym zrobić. Pozostałe 2 trójkąty mam już.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sie 2012, o 03:33 
Użytkownik

Posty: 16188
Wyżej już napisano, że trójkąty są przystające, więc pole tego czworokąta jest zbędne.

Żeby wykazać przystawanie wystarczy policzyć kąty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 18:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 57
Lokalizacja: Rzeszów
Witam, troszkę odkopuję temat, ale mam pewne niejasności. Skoro a=5 to wysokość policzyłem z wzoru na wysokość dla trójkąta równobocznego. h^{2}= \frac{3}{4}a No i wyszło mi że h=  \frac{5\sqrt{3}}{2}. Więc dlaczego to jest źle?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 kwi 2013, o 20:08 
Użytkownik

Posty: 16188
A gdzie masz tam trójkąt równoboczny o boku 5?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąt i nierówność
Mam oto takie zadanko: udowodnij że w trójkącie o bokach a, b, c zachodzi nierówność: \left| \frac{b-c}{a}\right|<1 Hmmm ja tobym zaczął od założenie: a, b, c>0[/tex:3ja...
 donald161  3
 iloczyn sinusów trójkąt prostokątny
W pewnym trójkącie prostokątnym suma cos kątów ostrych jest równa 2√3/ 3 . Obliczyć iloczyn sinusów tych kątów....
 kaasik:)  1
 Dowód: trójką prostokątny i wpisany okrąg
Hej! Mam następujący problem: znane są długości odcinków a i b. Dzielą się one w punkcie styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z jego bokiem. Muszę znaleźć pole tego trójkąta mając tylko te dane. Wszystko widać na rysunku niżej. Jak to z...
 loki  2
 Dany jest trójkąt - zadanie 5
Dany jest trójkąt o bokach długości - 12cm, 10cm, 15cm. Oblicz: a) miary kątów trójkąta b) pole trójkąta c) długość promienia d) pole trójkąta opisanego Może ktoś pomóc? ...
 Dankos  1
 Trójkąt równoramienny - oblicz R.
W okrąg wpisano trójkąt ABC, taki że |ABC|=120^{o} i |AC|=|BC|=5. Oblicz promień R tego okręgu. Wykonałem rysunek i doszedłem, że wyjądą z niego dwa trójkąty prostokątnego ( licząc pole jednego poznamy pole całego równor...
 Quaerens  23
 Wykaż, że okrąg wpisany w trójkąt prostokątny jest styczny d
Wykaż, że okrąg wpisany w trójkąt prostokątny jest styczny do przeciwprostokątnej w punkcie dzielącym ją na dwa odcinki, których iloczyn długości jest równy polu tego trójkąta....
 JarTSW  6
 trojkat - zadanie 3
W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C obrano punkt P tak, aby każdy z trójkątów ABP, BCP i ACP...
 bullay  1
 Trójkąt prostokątny - zadanie 2
Jak wykazać ,że sześcian długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest większy od sumy sześcianów długości jego przyprostokątnych?? ...
 Tys  3
 Okrąg wpisany w trójkąt - zadanie 21
1.Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny którego wysokość opuszczona na przeciwprostokatna ma długość 3. a ^{2}+a ^{2} =c ^{2} 2a ^{2}=c ^{2} \fr...
 Goodwin  4
 Okrąg wpisany w trójkąt - zadanie 4
W trójkąt równoramienny wpisano okrąg i poprowadzono styczną do tego okręgu równoległą do podstawy trójkąta. Pole utworzonego w ten sposób trapezu stanowi 16/25 pola trójkąta. Oblicz cosinus kąta pomiędzy ramionami trójkąta. Z góry dziękuję za pomoc...
 TokaKoka  1
 koło wpisane w trójkąt prostokątny - zadanie 2
W trójkąt prostokątny o jednym kącie ostrym 30 wpisano koło. Uzasadnij, że pole tego koła stanowi mniej niż połowę pola trójkąta....
 djangelion  1
 Trójkąt równoramienny - zadanie 57
W trójkącie równoramiennym ABC( |AC|=|BC|) miara kąta ACB równa się 2\alpha. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość r. Oblicz długości boków trójkąta ABC. Robię rysunek, i przyjmuje że \beta = 9...
 kejt  6
 Trójkąt równoboczny i odcinek PQ
Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku 3. Trójkąt PQR otrzymano zginając trójkąt ABC wzdłuż linii PQ w taki sposób, że wierzchołek A znalazł się w punkcie R na boku BC, przy czym 3|BR|=|BC|. Jaka jest długość odcinka PQ? Prosiłabym o choćby małą w...
 Platadeje  1
 koło wpisane w trójkąt prostokątny - zadanie 4
Koło wpisane w trójkąt prostokątny o promieniu 6. Punkt styczności koła z najdłuższym bokiem dzieli ten bok na odcinki długości 14 i 15 cm. Oblicz;pole i obwód trójkąta oraz długość wysokości poprowadzonej na przeciw...
 magdalena2108  2
 trójkąt równoboczny - zadanie 44
Witam od dłużeszego czasu zadanie to nie daje mi spokoju, myślę że warto na nie zwrócić uwagę. W trójkącie równobocznym obieramy dowolny punkt P. Prowadzimy odcinki pod kątem prostym do boków. Łączymy ten punkt także z wierzchołkami. Powstaje 6 trój...
 rego  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com