[ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2005, o 17:13 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1729
Lokalizacja: Koszalin
ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - TEORIA LICZB

(po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek wraz z rozwiązaniem)


1. Czy liczba 2^{19} \cdot 5^{98}:

a) dzieli sie przez 19 i przez 98
b) dzieli sie przez 10 do 20
c) dzieli sie przez 1000000
d) dzieli sie przez 2048

2. Czy podana liczba jest różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych dodatnich:

a) 1000
b) 1003
c) 1002
d) 1001

3. Czy podana liczba jest podzielna przez 10:

a) 6^{2003} - 6
b) 5^{2003} - 5
c) 4^{2003} - 4
d) 7^{2003} - 7

4. Ile jest wszystkich liczb x należących do zbioru \left\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ldots, \  1998\right\} takich, że liczba x^{2} + 19 jest podzielna przez:

a) 5
b) 4
c) 3

5. Udowodnić, że liczba 10^{100} - 9 jest złożona.

6. Która z liczb jest większa:

3^{100} - 2^{150}

czy

3^{50} - 2^{75}

7. Wyznaczyć \mathbb{NWD} liczb:

a = 2 \cdot 10^{100} + 1

b = 5 \cdot 10^{100} + 7

8. Dla jakich n naturalnych liczby:

a = n+4

b = n^2 - 6n + 26

są względnie pierwsze.

9. Dowieść, że różnica kwadratów dwóch liczb niepodzielnych przez 3, dzieli się przez 3.

10. Uzasadnić, że zachodzi podzielność:

33|16^{5} + 2^{15}

11. Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczb:

2^{99}

28^{9}

12. Pokazać, że jeżeli p, \ q są liczbami pierwszymi nie mniejszymi od 5, to liczba p^{2} - q^{2} jest podzielna przez 24.

13. Suma dwóch liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą. Pokazać, że ich iloczyn jest liczbą parzystą.

14. Suma cyfr liczby trzycyfrowej jest równa 18. Cyfra jednostek jest dwa razy większa od cyfry setek, a cyfra dziesiątek jest średnią arytmetyczną cyfry setek i cyfry jedności. Jaka to liczba?

15. Liczby o 45% mniejsza i o 32% większa od ułamka okresowego 0,(60) są pierwiastkami trójmianu kwadratowego o współczynnikach całkowitych względnie pierwszych. Oblicz resztę z dzielenia tego trójmianu przez dwumian (x-1).

16. Znajdź taką liczbę dwucyfrową, której suma cyfr wynosi 7, jeśli wiesz, że po przestawieniu jej cyfr otrzymamy liczbę od niej mniejszą. Podaj wszystkie liczby spełniające warunek.

17. Liczby całkowite dodatnie a, \ b, \ c są parami względnie pierwsze oraz spełniają równanie a^{2} + b^{2} = c^{2} liczby a i c są nieparzyste. Udowodnij że b+c jest kwadratem liczby całkowitej.

18. Różnica cyfr liczby dwucyfrowej jest równa 5. Różnica tej liczby i utworzonej z niej po przestawieniu cyfr jest równa 45. Znajdź te liczbę.

19. Niech n będzie liczbą naturalną większą od 200 oraz liczby n i n+2 będą liczbami pierwszymi. Wykaż, że liczba n+1 jest podzielna przez 6.

20. Udowodnij, że liczba pierwsza p, niemniejsza niż 5, przy dzieleniu przez 6 daje resztę 1 lub 5.

21. Udowodnij że kwadrat liczby pierwszej p, niemniejszej niż 5, przy dzieleniu przez 24 daje resztę 1.

22. Znaleźć takie naturalne x, \ y, że:

a) \left( 2^{x^{2}} \right)  \left( 3^y \right)  = 12^x

b) 18^{xy} =  \left( 2^{x^{2}} \right)  \left( 3^{4y} \right)

23. Rozwiązać w liczbach całkowitych:

a) x + y = xy

b) x \left( y^2 + 1 \right)  = 48

24. Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których n^{4}+4 jest liczbą pierwszą.

25. Wykaż, że: 100|11^{10}-1.

26. Wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby 2^{999}.

27. Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa 10. Jeżeli cyfrę dziesiątek tej liczby zmniejszymy o 1, a cyfrę jedności zmniejszymy o 4, to otrzymamy liczbę dwa razy mniejszą od liczby początkowej. Oblicz liczbę początkową.

28. Wykaż, że jeżeli n należy do N, to liczby postaci 3n+2003 nie są kwadratami liczb naturalnych.

29. Dane są liczby 1, \ 2, \ 3, \ \ldots , \ 200. Wybieramy dowolnie 101 liczb spośród nich. Udowodnij, że niezależnie od wyboru zawsze wśród wybranych znajdą się co najmniej dwie takie liczby, że jedna dzieli drugą.

30. Funkcja Eulera dla argumentu a przyjmuje wartość 11424, a = p^{2}q^{2}, przy czym p oraz q są dwiema liczbami pierwszymi różnymi miedzy sobą. Znaleźć liczbę a.

31. Wykaż, że dla dowolnego n naturalnego, ostatnią cyfrą liczby będącej sumą pierwszych n liczb naturalnych nie może być żadna z cyfr 2, \ 4, \ 7, \ 9.

32. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n, zachodzą podzielności:

11|2^{6n+1 \right) } +3^{2n+2}

25| \left( 2^{n+2} \right)  \left( 3^{n} + 5n - 4 \right)

2^{n+2}|3^{ \left( 2^{n} \right) } - 1

33. Udowodnij, ze najmniejsza wspólna wielokrotność n liczb naturalnych a_{1} < a_{2} < a_{3} < \ldots < a_{n} jest nie mniejsza od n \cdot a_{1}.

34. Wykaż, że zachodzą podzielności:

5|3^{18} + 6^{17}

3|8^{9} - 4^{15} + 2^{32} + 16^{7}

19|6^{5} - 12^{3} - 24^{2}

35. Wykaż przez indukcję, że:

133|11^{n+1} + 12^{2n-1}

36. Jeśli pewnej liczbie skreślimy ostatnią cyfrę, która jest równa 8, to liczba zmniejszy się o 1313. Jaka to liczba?

37. Dla jakich n naturalnych liczba 3^{n}+7^{n} jest podzielna przez 10?

38. Pewna liczba ma cztery dzielniki, których suma wynosi 176. Znajdź tę liczbę, jeżeli wiadomo, że suma jej cyfr wynosi 12.

39. Znaleźć resztę z dzielenia 321^{123} - 546^{154} przez 6.

40. Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczby:

38 \left( 199^{991} - 51^{149} \right)

41. Udowodnij, że jeżeli suma wszystkich dzielników pewnej liczby naturalnej jest dwa razy większa od tej liczby, to suma odwrotności tych dzielników wynosi 2.

Ukończony. Ostatnia aktualizacja - 25.03.2005r

Dodany \LaTeX i poprawione literówki. Ostatnia aktualizacja - 13.01.2013r Ponewor
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2010, o 13:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 81
pzrydalaby sie aktualizacja ;]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2010, o 22:36 
Użytkownik

Posty: 57
Lokalizacja: Krasno
ad6
3^{100}-2^{150} >< = 3^{50}-2^{75} \Rightarrow (3^{50}-2^{75})(3^{50}+2^{75}) <> = 3^{50}-2^{75}\Rightarrow 3^{50}+2^{75}>1 czyli liczba 3^{100}-2^{150} jest większa od 3^{50}-2^{75}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2013, o 21:40 
Użytkownik

Posty: 473
Lokalizacja: Kawalisz
5.
10 ^{100} - 9 = (10 ^{50} + 3 )( 10^{50} - 3)
(10 ^{50} + 3 )  \neq  1   \wedge  1 \neq 10^{50} - 3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sty 2013, o 21:58 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 1870
Lokalizacja: Warszawa
Zahion, po kliknięciu w numer zadania, pojawia się temat z rozwiązaniem. I właśnie tam znajdziesz rozwiązanie identyczne z Twoim.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Niedziesiątkowy system zapisu liczb
wzory i regolki plisss pomocy ...
 Anonymous  1
 Znajdź najwiekszy współny dzielnik liczb a i b.
a=2 \cdot 10^{100} \\ b=5 \cdot 10^{100}+7 Jak znalezć NWD&#40;a,b&#41; . Normalny algorytm euklidesa nic tu nie da, a ten z liczbami mod jest ciężko zastosować (chyba)....
 Anonymous  5
 Ciezka sprawa (teoria liczb)
najwiekszym dzielnikiem liczby n moze byc 1/2 n. czy to prawda, ze dzielnikow mniejszych niz polowa najwiekszego (1/4 n) jest tyle samo co od niego wiekszych? i jesli tak, to jak to udowodnic. pozatym, doszedlem do wniosku, ze dzielniki zawsze uklada...
 Anonymous  8
 Policz NWW(A,B) i NWD(A,B) liczb A i B
Mamy wielomiany A(x) i B(x) jakieś dowolne. Jak policzyć NWW(A,B) i NWD(A,B)....
 Anonymous  6
 Suma odwrotności liczb pierwszych
jak myślicie czy suma odwrotnosci liczb pierwszych jest skończona? a jesli tak to jaka liczba jest kresem górnym tej sumy? ciekawe rozwiązanie tego problemu podał węgierski matematyk Erdós ale ja proponuję samodzielne zastanowienie się.Naprawdę daje...
 Gregsky  19
 (5 zadań) Liczby od 1 do 50 podziel na takie trzy grupy...
1. Liczby od 1 do 50 podziel na takie trzy grupy, aby sumy liczb w każdej grupie były równe. Opisz, jak to zrobiłeś. 2. Obecnie dużo biegam na nartach. Przedwczoraj przebiegłem o 3 km więcej niż wczoraj, wczoraj o 40 km mniej niż łącznie przedwczo...
 Anonymous  5
 (5 zadań) Trudne zadania z rosyjskiego zbioru zadań
Mam problemy z rozwiązaniem kilku zadań. Prosze o pomoc: 1) Pokaż że liczba 22...23 } 1986cyfr jest liczbą złożoną 2)Suma 3-ech N liczb jest większa od ich iloczynu a suma 2-óch z tych liczb jest równa 33. Znajdź te liczby 3)Pokaż, że suma kwadratów ...
 qkiz  8
 Sposób na znajdowanie liczb pierwszych
witam wybaczcie laikowi to pytanie, ale jak najlatwiej znalezc liczby pierwsze ? czy konieczne jest dzielenie przez kazda liczbe mniejsza wylaczajac jeden ?...
 Anonymous  24
 Zadanie z rosyjskiego zbioru zadań
Udowodnij że kwadrat liczby pierwszej p, p>=5 przy dzieleniu na 24 daje resztę 1 W rozwiązaniu doszłem do tego że: p^2=24+1 p^2 -1=24 (p-1)(p+1)=24 I dalej stopa mam. Wiem że trzeba jakoś to rozpisać z liczbą k. I wyjdzie tak że każda liczba pierws...
 qkiz  1
 Przekroje liczb
Witam. Jak zabrać się za poniższe zadania? 1. Utworzyć odpowiednie przekroje i udowodnić równości: a) \sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{18} b) \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6} 2. Utworzyć pr...
 neron0308  7
 2 Zadania z teorii liczb.
Poproszę o rozwiązanie tych zadań albo chociaż naprowadzenie: 1.Liczby p,q,r są wymietne i spełniają warunek pq+qr+rp=1. Udowodnij, że: (1+p^2)(1+q^2)(1+r^2) jest kwadratem liczby wymiernej. 2.Liczby naturalne a,b,c,d spełniają równość: a^2+b^2+ab=...
 Olo  13
 Liczba jako suma kwadratów dwóch innych liczb
W jaki sposób sprawdzić, czy zadana liczba całkowita n może być przedstawiona w postaci sumy dwóch kwadratów liczb całkowitych?? Wszystko co znalazłem to: a) Liczba n może zostać przedstawiona w postaci sumy dwóch kwadratów liczb całkowitych, jeżeli ...
 tytus  9
 podziały liczb
witam Potrzebuje efektywnego i szybkiego algorytmu generowania wszystkich n elementowych ciągów liczb naturalnych sumujących się do k, gdzie każdy element jest nie większy niż (n-1). Czyli defacto znaleienia takiego podzbioru przestrzeni podziałów l...
 Anonymous  0
 Iloczyn pewnego ciągu liczb jest równy
Iloczyn&#40;1-\frac{1}{2}&#41;&#40;1-\frac{1}{3}&#41;&#40;1-\frac{1}{4}&#41;......&#40;1-\frac{1}{100}&#41; jest równy a)1-\frac{1}{100!} b)\frac{1}{100} c)[tex:2k...
 qkiz  3
 Suma n początkowych nieparzystych liczb
Suma n początkowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich a) jest kwadratem pewnej liczby całkowitej; b) jest sześcianem pewnej liczby całkowitej c) może być liczbą pierwszą; Wystarczy mi początek, chodzi jak napisać to pierwsze sformułowanie....
 qkiz  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com