Moderatorzy: abc666, Althorion, Qń

Strona 1 z 1

[ Posty: 5 ]

Drukuj

Poprzedni | Następny

Autor

Wiadomość

Arek

Tytuł: Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Napisane: 17 mar 2005, o 16:13

Posty: 1729
Lokalizacja: Koszalin
Pomógł: 12

ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - TEORIA LICZB

(po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek wraz z rozwiązaniem)

1. Czy liczba $2^{19} \cdot 5^{98}$ :

a) dzieli sie przez $19$ i przez $98$
b) dzieli sie przez $10$ do $20$
c) dzieli sie przez $1000000$
d) dzieli sie przez $2048$

2. Czy podana liczba jest różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych dodatnich:

a) $1000$
b) $1003$
c) $1002$
d) $1001$

3. Czy podana liczba jest podzielna przez $10$ :

a) $6^{2003} - 6$
b) $5^{2003} - 5$
c) $4^{2003} - 4$
d) $7^{2003} - 7$

4. Ile jest wszystkich liczb $x$ należących do zbioru $\left\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ldots, \ 1998\right\}$ takich, że liczba $x^{2} + 19$ jest podzielna przez:

a) $5$
b) $4$
c) $3$

5. Udowodnić, że liczba $10^{100} - 9$ jest złożona.

6. Która z liczb jest większa:

$3^{100} - 2^{150}$

czy

$3^{50} - 2^{75}$

7. Wyznaczyć $\mathbb{NWD}$ liczb:

$a = 2 \cdot 10^{100} + 1$

$b = 5 \cdot 10^{100} + 7$

8. Dla jakich $n$ naturalnych liczby:

$a = n+4$

$b = n^2 - 6n + 26$

są względnie pierwsze.

9. Dowieść, że różnica kwadratów dwóch liczb niepodzielnych przez $3$ , dzieli się przez $3$ .

10. Uzasadnić, że zachodzi podzielność:

$33|16^{5} + 2^{15}$

11. Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczb:

$2^{99}$

$28^{9}$

12. Pokazać, że jeżeli $p, \ q$ są liczbami pierwszymi nie mniejszymi od 5, to liczba $p^{2} - q^{2}$ jest podzielna przez $24$ .

13. Suma dwóch liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą. Pokazać, że ich iloczyn jest liczbą parzystą.

14. Suma cyfr liczby trzycyfrowej jest równa $18$ . Cyfra jednostek jest dwa razy większa od cyfry setek, a cyfra dziesiątek jest średnią arytmetyczną cyfry setek i cyfry jedności. Jaka to liczba?

15. Liczby o $45%$ mniejsza i o $32%$ większa od ułamka okresowego $0,(60)$ są pierwiastkami trójmianu kwadratowego o współczynnikach całkowitych względnie pierwszych. Oblicz resztę z dzielenia tego trójmianu przez dwumian $(x-1)$ .

16. Znajdź taką liczbę dwucyfrową, której suma cyfr wynosi $7$ , jeśli wiesz, że po przestawieniu jej cyfr otrzymamy liczbę od niej mniejszą. Podaj wszystkie liczby spełniające warunek.

17. Liczby całkowite dodatnie $a, \ b, \ c$ są parami względnie pierwsze oraz spełniają równanie $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ liczby $a$ i $c$ są nieparzyste. Udowodnij że $b+c$ jest kwadratem liczby całkowitej.

18. Różnica cyfr liczby dwucyfrowej jest równa $5$ . Różnica tej liczby i utworzonej z niej po przestawieniu cyfr jest równa $45$ . Znajdź te liczbę.

19. Niech $n$ będzie liczbą naturalną większą od $200$ oraz liczby $n$ i $n+2$ będą liczbami pierwszymi. Wykaż, że liczba $n+1$ jest podzielna przez $6$ .

20. Udowodnij, że liczba pierwsza $p$ , niemniejsza niż $5$ , przy dzieleniu przez $6$ daje resztę $1$ lub $5$ .

21. Udowodnij że kwadrat liczby pierwszej $p$ , niemniejszej niż $5$ , przy dzieleniu przez $24$ daje resztę $1$ .

22. Znaleźć takie naturalne $x, \ y$ , że:

a) $\left( 2^{x^{2}} \right) \left( 3^y \right) = 12^x$

b) $18^{xy} = \left( 2^{x^{2}} \right) \left( 3^{4y} \right)$

23. Rozwiązać w liczbach całkowitych:

a) $x + y = xy$

b) $x \left( y^2 + 1 \right) = 48$

24. Znajdź wszystkie liczby naturalne $n$ , dla których $n^{4}+4$ jest liczbą pierwszą.

25. Wykaż, że: $100|11^{10}-1$ .

26. Wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby $2^{999}$ .

27. Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa $10$ . Jeżeli cyfrę dziesiątek tej liczby zmniejszymy o $1$ , a cyfrę jedności zmniejszymy o $4$ , to otrzymamy liczbę dwa razy mniejszą od liczby początkowej. Oblicz liczbę początkową.

28. Wykaż, że jeżeli $n$ należy do $N$ , to liczby postaci $3n+2003$ nie są kwadratami liczb naturalnych.

29. Dane są liczby $1, \ 2, \ 3, \ \ldots , \ 200$ . Wybieramy dowolnie $101$ liczb spośród nich. Udowodnij, że niezależnie od wyboru zawsze wśród wybranych znajdą się co najmniej dwie takie liczby, że jedna dzieli drugą.

30. Funkcja Eulera dla argumentu $a$ przyjmuje wartość $11424$ , $a = p^{2}q^{2}$ , przy czym $p$ oraz $q$ są dwiema liczbami pierwszymi różnymi miedzy sobą. Znaleźć liczbę $a$ .

31. Wykaż, że dla dowolnego $n$ naturalnego, ostatnią cyfrą liczby będącej sumą pierwszych $n$ liczb naturalnych nie może być żadna z cyfr $2, \ 4, \ 7, \ 9$ .

32. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej $n$ , zachodzą podzielności:

$11|2^{6n+1 \right) } +3^{2n+2}$

$25| \left( 2^{n+2} \right) \left( 3^{n} + 5n - 4 \right)$

$2^{n+2}|3^{ \left( 2^{n} \right) } - 1$

33. Udowodnij, ze najmniejsza wspólna wielokrotność $n$ liczb naturalnych $a_{1} < a_{2} < a_{3} < \ldots < a_{n}$ jest nie mniejsza od $n \cdot a_{1}$ .

34. Wykaż, że zachodzą podzielności:

$5|3^{18} + 6^{17}$

$3|8^{9} - 4^{15} + 2^{32} + 16^{7}$

$19|6^{5} - 12^{3} - 24^{2}$

35. Wykaż przez indukcję, że:

$133|11^{n+1} + 12^{2n-1}$

36. Jeśli pewnej liczbie skreślimy ostatnią cyfrę, która jest równa $8$ , to liczba zmniejszy się o $1313$ . Jaka to liczba?

37. Dla jakich $n$ naturalnych liczba $3^{n}+7^{n}$ jest podzielna przez $10$ ?

38. Pewna liczba ma cztery dzielniki, których suma wynosi $176$ . Znajdź tę liczbę, jeżeli wiadomo, że suma jej cyfr wynosi $12$ .

39. Znaleźć resztę z dzielenia $321^{123} - 546^{154}$ przez $6$ .

40. Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczby:

$38 \left( 199^{991} - 51^{149} \right)$

41. Udowodnij, że jeżeli suma wszystkich dzielników pewnej liczby naturalnej jest dwa razy większa od tej liczby, to suma odwrotności tych dzielników wynosi $2$ .

Ukończony. Ostatnia aktualizacja - 25.03.2005r

Dodany $\LaTeX$ i poprawione literówki. Ostatnia aktualizacja - 13.01.2013r Ponewor

_________________
May it be an evening star
Shines down upon you
May it be when darkness falls
Your heart will be true...

Góra

Matematyka.pl

tomcio1243 Offline

Tytuł: Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Napisane: 8 sty 2010, o 12:28

Posty: 65
Wiek: 18
Pomógł: 2
Pomoc poza forum: Do pewnego poziomu

pzrydalaby sie aktualizacja ;]

Góra

oszust001 Offline

Tytuł: Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Napisane: 29 lis 2010, o 21:36

Posty: 57
Lokalizacja: Krasno

ad6
$3^{100}-2^{150} >< = 3^{50}-2^{75} \Rightarrow (3^{50}-2^{75})(3^{50}+2^{75}) <> = 3^{50}-2^{75}\Rightarrow 3^{50}+2^{75}>1$ czyli liczba $3^{100}-2^{150}$ jest większa od $3^{50}-2^{75}$

Góra

Zahion Offline

Tytuł: Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Napisane: 12 sty 2013, o 20:40

Posty: 53
Lokalizacja: Kawalisz
Wiek: 16
Pomógł: 6

5.
$10 ^{100} - 9 = (10 ^{50} + 3 )( 10^{50} - 3)$
$(10 ^{50} + 3 ) \neq 1 \wedge 1 \neq 10^{50} - 3$

Góra

Ponewor Offline

Tytuł: Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Napisane: 13 sty 2013, o 20:58

Posty: 1147
Lokalizacja: Warszawa
Wiek: 17
Pomógł: 123

Zahion, po kliknięciu w numer zadania, pojawia się temat z rozwiązaniem. I właśnie tam znajdziesz rozwiązanie identyczne z Twoim.

Góra

	Strona 1 z 1	[ Posty: 5 ]

Strona główna Forum » Matematyka - królowa nauk » Algebra » Teoria liczb

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Dział	Autor	Odpowiedzi
Niedziesiątkowy system zapisu liczb	Teoria liczb	Anonymous	1
Znajdź najwiekszy współny dzielnik liczb a i b.	Teoria liczb	Anonymous	5
Ciezka sprawa (teoria liczb)	Teoria liczb	Anonymous	8
Policz NWW(A,B) i NWD(A,B) liczb A i B	Teoria liczb	Anonymous	6
Suma odwrotności liczb pierwszych	Teoria liczb	Gregsky	19
(5 zadań) Liczby od 1 do 50 podziel na takie trzy grupy...	Teoria liczb	Anonymous	5
(5 zadań) Trudne zadania z rosyjskiego zbioru zadań	Teoria liczb	qkiz	8
Sposób na znajdowanie liczb pierwszych	Teoria liczb	Anonymous	24
Zadanie z rosyjskiego zbioru zadań	Teoria liczb	qkiz	1
2 Zadania z teorii liczb.	Teoria liczb	Olo	13
Liczba jako suma kwadratów dwóch innych liczb	Teoria liczb	tytus	4
podziały liczb	Teoria liczb	Anonymous	0
Iloczyn pewnego ciągu liczb jest równy	Teoria liczb	qkiz	3
Suma n początkowych nieparzystych liczb	Teoria liczb	qkiz	1
Przestępność liczb	Teoria liczb	Tristan	7
Nazwy Dużych Liczb	Teoria liczb	Edgar	3
Czy ma rozwiązanie w zbiorze liczb całkowitych?	Teoria liczb	kuicets	6
Która z liczb jest większa	Teoria liczb	Karsen_kun	2
dla jakich liczb naturalnych dana liczba jest kwadratem l. n	Teoria liczb	bessęs	1
suma liczb nie podzielnych przez 3	Teoria liczb	Anonymous	5
Podzielność liczb całkowitych	Teoria liczb	kotor1989	6
41850n jest sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych...	Teoria liczb	dudi_pl	3
podzielność liczb, liczby symetryczne	Teoria liczb	seba_m	2
wyznaczenie liczb & diofantyczne	Teoria liczb	Dooh	6
sparwadz zbiór A	Teoria liczb	`vekan	2
Trójka liczb spełniająca własność :)	Teoria liczb	Tristan	1
Teoria Liczb dla początkujących:D	Teoria liczb	Calasilyar	8
dla jakich liczb calowitych?	Teoria liczb	barbari8	1
Czy liczb pierwszych jest nieskonczenie wiele???	Teoria liczb	Goja	3
Metodyka rozwiązywania zadań z liczbami pierwszymi	Teoria liczb	lukratyw123	3

Kto przegląda Forum

Użytkownicy przeglądający to Forum: Brak zalogowanych użytkowników i 0 gości

Nie możesz rozpoczynać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz edytować swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz dodawać załączników

Skocz do:

Astronomia.pl program tv Grudziądz , Tunezja last minute - zarezerwuj na wycieczka.pl Lalka streszczenie Wypracowania z polskiego

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]