szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lis 2007, o 14:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 95
Lokalizacja: się biorą dzieci?
Mam tutaj problem. Mam ciąg- a _{n} =  \frac{3 ^{n}}{3 ^{n} + 2} Mam sprawdzić czy jest on ograniczony. Wiem że ciąg jest ciągiem rosnącym, ale tu nie wiem jak to udowodnić i prosiłbym o wytłumaczenie. Doszedłem jedynie do tego że a _{n+1} - a _{n} = ... =  \frac{3*3 ^{n} }{3*3 ^{n} +2} - \frac{3 ^{n} }{3 ^{n} +2} no i dalej nie wiem w którą stronę z tym iść żeby wziąść pokazać że to jest większe od zera. Więc pierwszy element tego ciągu będzie ograniczeniem dolnym któe wynosi a _{1} =  \frac{3}{5}. Granicą tego ciągu jest 1 więc będzie to ograniczenie górne. Tylko to jest przepisane książki z przykładami i tam jest napisane że ciąg jest ograncizony od dołu bo większy od 0. Dleczego nie jest to precyzyjnie napisane tylko tak sobie poprostu wzięte? Można to tak zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lis 2007, o 20:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Zauważ, że dla dowolnego naturalnego n zachodzi \frac{3^n}{3^n +2} < \frac{3^n +2}{3^n +2}=1 oraz \frac{3^n}{3^n +2} > \frac{0}{3^n +2}=0. Stąd widzimy, że ciąg ten jest ograniczony i z dołu i z góry. Oczywiście istnieją inne ograniczenia, ale do tych nie trzeba niczego specjalnego wykazywać. Za to Twoje ograniczenie jest słuszne dopiero wtedy, gdy wykażesz, że to ciąg rosnący. Stąd też pewnie to takie "naturalne" wzięcie tych dwóch ograniczeń, tj. 0 i 1.
Ciąg rzeczywiście jest rosnący, bo
a_{n+1} - a_{n}= \frac{ 3 \cdot 3^n }{ 3 \cdot 3^n +2} - \frac{3^n}{3^n +2}= \frac{3 \cdot 3^n ( 3^n +2) - (3 \cdot 3^n +2) \cdot 3^n } { (3 \cdot 3^n +2)( 3^n +2) } = \\ \frac{ 3^n ( 3 \cdot 3^n + 6 - 3 \cdot 3^n -2)}{ (3 \cdot 3^n +2)( 3^n +2) } = \frac{ 3^n \cdot 4 }{ (3 \cdot 3^n +2)( 3^n +2) } >0
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 ciąg ograniczony - zadanie 7  zaklopotany93  2
 ciąg ograniczony - zadanie 8  rochaj  1
 Ciąg ograniczony - zadanie 15  chinczykk  6
 ciag ograniczony - zadanie 2  zmt  4
 ciąg ograniczony - zadanie 13  AndrzejK  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com