[ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lis 2007, o 14:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 95
Lokalizacja: się biorą dzieci?
Mam tutaj problem. Mam ciąg- a _{n} =  \frac{3 ^{n}}{3 ^{n} + 2} Mam sprawdzić czy jest on ograniczony. Wiem że ciąg jest ciągiem rosnącym, ale tu nie wiem jak to udowodnić i prosiłbym o wytłumaczenie. Doszedłem jedynie do tego że a _{n+1} - a _{n} = ... =  \frac{3*3 ^{n} }{3*3 ^{n} +2} - \frac{3 ^{n} }{3 ^{n} +2} no i dalej nie wiem w którą stronę z tym iść żeby wziąść pokazać że to jest większe od zera. Więc pierwszy element tego ciągu będzie ograniczeniem dolnym któe wynosi a _{1} =  \frac{3}{5}. Granicą tego ciągu jest 1 więc będzie to ograniczenie górne. Tylko to jest przepisane książki z przykładami i tam jest napisane że ciąg jest ograncizony od dołu bo większy od 0. Dleczego nie jest to precyzyjnie napisane tylko tak sobie poprostu wzięte? Można to tak zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lis 2007, o 20:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Zauważ, że dla dowolnego naturalnego n zachodzi \frac{3^n}{3^n +2} < \frac{3^n +2}{3^n +2}=1 oraz \frac{3^n}{3^n +2} > \frac{0}{3^n +2}=0. Stąd widzimy, że ciąg ten jest ograniczony i z dołu i z góry. Oczywiście istnieją inne ograniczenia, ale do tych nie trzeba niczego specjalnego wykazywać. Za to Twoje ograniczenie jest słuszne dopiero wtedy, gdy wykażesz, że to ciąg rosnący. Stąd też pewnie to takie "naturalne" wzięcie tych dwóch ograniczeń, tj. 0 i 1.
Ciąg rzeczywiście jest rosnący, bo
a_{n+1} - a_{n}= \frac{ 3 \cdot 3^n }{ 3 \cdot 3^n +2} - \frac{3^n}{3^n +2}= \frac{3 \cdot 3^n ( 3^n +2) - (3 \cdot 3^n +2) \cdot 3^n } { (3 \cdot 3^n +2)( 3^n +2) } = \\ \frac{ 3^n ( 3 \cdot 3^n + 6 - 3 \cdot 3^n -2)}{ (3 \cdot 3^n +2)( 3^n +2) } = \frac{ 3^n \cdot 4 }{ (3 \cdot 3^n +2)( 3^n +2) } >0
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 ciąg ograniczony - zadanie 13
Ostatnio na lekcji była mowa o ograniczonych ciągach i podczas przykładów występuje m. in. ciąg a_n=\frac{1}{n}. Jest to ciąg ograniczony, w którym 0 \le n \le 1. No i stąd moje pytanie, w jak...
 AndrzejK  2
 ciąg ograniczony - zadanie 7
Załóżmy, że mamy ciąg &#40;a_n&#41; ograniczony liczbami -M,M tj. dla wszelkiego n zachodzi -M \le a_n \le M. Na mocy tw. B-W istnieje...
 zaklopotany93  2
 ciag ograniczony
Ciąg \sqrt{n^{2}+n\sin n}-n jest podobno ograniczony z dołu przez -\frac{1}{2}, a z góry przez \frac{1}{2}. Mógłby ktoś mi pokazać czemu?...
 groobasek  1
 Ciąg ograniczony - zadanie 6
Ograniczony jest ciąg: a) a _{n}=&#40;-1&#41; ^{n} \frac{n ^{4}+6 }{n ^{4} +9} b) b _{n}=&#40;-2&#41; ^{n} \frac{n ^{3}+5 }{n ^{3} +11} c) c _{n}=\frac{n +5}{n ^{11} +19}[/tex:...
 wiola103  2
 Ciąg ograniczony - zadanie 5
Niech \lim a_{n} = 0 oraz b_{n} będzie ciągiem ograniczonym. Pokazać, że wówczas \lim a_{n} b _{n} = 0 Wszędzie n dąży do nieskończoności. Byłbym bardzo wdzięczn...
 ugabuga333  2
 Ciąg ograniczony - zadanie 3
Witam mam problem z tym zadaniem. Mam tu niby wykorzystać twierdzenie o ciągu ograniczonym. Mógłby mi ktoś naświetlić temat. Treść zadania: Sprawdź dla jakiej wartości parametru c i \omega zn...
 pinius_ma  0
 Ciąg ograniczony - zadanie 4
Mam takie zadanie: Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone no i weźmy taki przykład: a _{n}= \frac{n}{n+1} Ja widzę, że on jest ograniczony z dołu przez 0 ...
 Giks  8
 ciąg ograniczony - zadanie 14
w podpunkcie a czy on jest tez ograniczony z góry przez np.2...
 pacia1620  4
 ciąg ograniczony - zadanie 8
Czy istnieje ciąg ograniczony a_n taki ze |a_k-a_l|\ge\frac1{|k-l|} dla k\neq l?...
 rochaj  1
 ciąg ograniczony - zadanie 12
Wyznaczyć wszystkie stałe a&gt;b&gt;0 dla których ciąg \frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a^n-b^n};n=1,2,3,... jest ograniczony....
 metalknight  3
 Ciąg ograniczony - zadanie 9
c _{n}= \sqrt{n+8} - \sqrt{n+3} Mam sprawdzić czy ten ciąg jest ogranczony ?...
 Samlor  9
 ciag ograniczony - zadanie 2
jak zbadac, czy dany ciag jest ograniczony? \frac{2+\cos n}{3-2\sin n}...
 zmt  4
 ciąg ograniczony - zadanie 10
Czy każdy ciąg ograniczony jest ciągiem zbieżnym?...
 trebles1  1
 Ciąg ograniczony
Witam W jaki sposób uzasadnić,że ciągi są ograniczone: a_{n}=\sqrt{n+8}-\sqrt{n+3} a_{n}=\frac{1}{4^{1}+1}+\frac{1}{4^{2}+2}+...+\frac{1}{4^{n}+n}...
 piasektt  2
 Ciąg ograniczony - zadanie 11
Mógłby ktoś sprawdzić czy jest dobrze? Niech a_{n}= \frac{&#40;-1&#41;^n}{n^2} dla n \in N. Wówczas ciąg a_{n}: a)jest\nie jest ograniczon...
 lubiejapka  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com