szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Całki
PostNapisane: 23 mar 2005, o 14:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1430
Lokalizacja:
Pojęcie funkcji pierwotnej :

Funkcja F(x) nazywa się funkcją pierwotną funkcji f(x) lub całką z f(x) w danym przedziale, jeżeli w całym tym przedziale f(x) jest pochodną funkcji F(x) ( ewentualnie można powiedzieć, że f(x) jest różniczką F(x):

F'(x) = f(x) lub d F(x) = f(x) dx

Zatem całkowanie to znalezienie wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji. Dlaczego wszystkich ? Ano dlatego :

TW. Jeśli w pewnym przedziale F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), to funkcja F(x) + C, gdzie C oznacza dowolną stałą, jest również funkcją pierwotną funkcji f(x). ( logiczne bo pochodna stałej = zero )

Wyrażenie F(x) + C nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) i oznaczamy symbolem :

\int f(x) dx gdzie f(x) - funkcja podcałkowa zaś iloczyn f(x) dx nazywamy wyrażeniem podcałkowym

Własności całki nieoznaczonej :

[ \int f(x) dx ] ' = f(x) dx

\int F'(x) dx = F(x) + C

Podstawowe wzory na całki

\int 0 dx = C
\int 1 dx = x + C
\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C
\int \frac{1}{x} dx = ln |x| + C
\int \frac{1}{1+x^2} dx = arc tg x + C
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = arc sin x + C
\int a^x dx = \frac{a^x}{ln a} + C
\int e^x dx = e^x+ C
\int sin x  dx = - cos x + C
\int cos x dx = sin x+ C
\int \frac{1}{sin^{2}x}dx = - ctg x + C
\int \frac{1}{cos^{2}x}dx = tg x + C

Podstawowe reguły całkowania

\int a \cdot f(x) dx = a \cdot  \int f(x) dx
\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x) dx

całkowanie przez podstawienie

Jeżeli mamy funkcje ciągłe f(x) ; f'(x) oraz g(x) przy czym wiemy, że
\int g(t) dt = G(t) + C
to
\int g[f(x)]f'(x) dx = G [f(x)] + C

Przykład:

\int \frac{2x}{x^2} dx = | podstawienie \ \ t = x^2 , dt = 2x | = \int \frac{dt}{t}

całkowanie przez części

Niech u = f(x) i v=g(x) będą funkcjami mającymi ciągłe pochodne u'=f'(x) v'=g'(x). Wówczas
\int u dv = uv - \int v du
(stosujemy kiedy całka po prawej jest łatwiejsza do obliczenia niż początkowa, choć ciężko od razu przewidzieć czy tak będzie )

Przykład:

\int lnx dx = | niech : f(x)=lnx g'(x)=1 \ \ wtedy f'(x)=\frac{1}{x} g(x)=x | = x ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx

Całkowanie funkcji wymiernych

Funkcją wymierną nazywamy po prostu iloraz dwóch wielomianów, co można prosto zapisać jako
f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} ( pamiętajmy o dziedzinie takiej funkcji )

Przy obliczaniu całek takiego typu mamy pewne podstawowe wytyczne ich rozwiązywania :

1) jeżeli P(x) jest stopnia równego bądź większego niż Q(x) wykonujemy dzielenie P(x) przez Q(x), co spowoduje przedstawienie ilorazu tych wielomianów w bardziej przystępnej do całkowania formie

Przykład:

\int \frac{x^2+1}{x^2+3x-4} dx = \int( 1 +  \frac{(-3x+5)}{x^2+3x-4})dx

Obliczenie całki po prawej jest prostsze niż obliczenie tej po lewej stronie znaku równości ( rozwiązanie dalej ).

2) jeżeli P(x) jest stopnia mniejszego niż Q(x) dokonujemy rozkładu funkcji podcałkowej na tzw ułamki proste czyli na wyrażenia postaci
\frac{A}{(ax+b)^\alpha} lub/oraz \frac{Bx+C}{(cx^2+dx+e)^\beta} przy czym wszystkie literki poza x-em są stałymi, α i β są liczbami naturalnymi, zaś wyróżnik trójmianu jest ujemny.

ciąg dalszy przykładu

\int (\frac{-3x+5}{x^2+3x-4})dx

wpierw zamieniamy funkcję kwadratową na postać iloczynową ( miejscami zerowymi są 1 i -4), po czym dokonujemy rozkładu funkcji podcałkowej:

\frac{-3x+5}{(x+4)(x-1)} = \frac{A}{x+4} + \frac{B}{x-1}
z czego mamy :
-3x+5 = A \cdot (x-1) + B \cdot (x+4) = Ax + Bx - A + 4B (*)
Przyrównujemy teraz odpowiednie potęgi zmiennej :

- dla x^0 mamy 5 = 4B - A
- dla x^1 zapisujemy -3=A+B

skąd prosto obliczamy A i B.

Ewentualnie obliczyć te stałe można również wstawiając do równania (*) oba miejsca zerowe.

3) Ponadto warto sprawdzać, czy funkcja w liczniku nie jest pochodną funkcji w mianowniku ( wtedy podług gotowego wzoru całka będzie równa logarytmowi naturalnemu z modułu mianownika ), co działa dla ułamka prostego z funkcją liniową w mianowniku:
\int \frac{A}{(ax+b)} dx = \frac{A}{a} \int \frac{a dx}{(ax+b)} =  \frac{A}{a} ln |ax+b| + C

c.d.n. PS w razie błędów w pisaniu prosze o informacje na PW
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 całki - zadanie 34
\int_{}^{} e^{2x}sin3x \int_{}^{}(1+ sin^{2}x)tgx ...
 fertilizer2  1
 całki - zadanie 3
Witam. Mam do obliczenia trzy całki. Nie bardzo wiem jak je ruszyć. Może ktoś ma jakieś pomysły? Prosze o pomoc. \int_{-\infty}^{+\infty}e^{tx}e^{-e^{-x}}e^{-x}dx \int_{-\infty}^{+\inft...
 Anonymous  1
 całki - zadanie 23
Witam, możecie mi pomóc w rozwiązaniu całki :\int \sqrt{1-cosx}dx oraz jakie są przedziały całkowania dla całki \int_{D}f(x,y)dxdy gdzie D=\{ (x,y)\in R^2:\quad 0...
 rosa_125  1
 Całki - zadanie 19
Jak obliczyć takie całki: 1) \int\limits_x^0 {\sin 3tdt} 2) \int {\tan 3xdx} 3) \int\limits_0^1 {\arctan xdx} 4) \int\limits_0^2 {\frac{{e^x - 1}}{{...
 lalus_87  4
 całki
Proszę o pomoc. Byłabym bardzo wdzięczna gdyby ktoś w przypływie chęci i dobrej woli rozwiązał mi zadania. Od razu piszę, że nie idę na łatwiznę, ale ja naprawdę nie potrafię całek. pochodne zrobiłam, ale nie wiem czy doszłam do dobrych wynikow. Dla...
 Anonymous  1
 Całki - zadanie 50
\int e^{3x}\sqrt{2+7*e^{3x}} dx \int\limits_{4}^{\infty}\frac{2}{x^{2}+6x+9} dx Proszę o pomoc w...
 kefir88  2
 Całki - zadanie 73
Proszę o rozwiązanie zadań, wystawiam temat jeszcze raz. ∫ (e^3x sin2x dx) ∫ (x^3 + x) e^(x^4 +2(x^2)) ∫ cot^-1 3x dx albo dy = 2x cos^2y y(3) = 0 dx Wcześniej coś źle napisałem i zostało to usunięte Dostałem od kogoś i nie umiem sobie po...
 moto_damian  1
 Całki - zadanie 46
\int\frac{1}{\sqrt{x}} jaki powinien być wynik tego mnie wyszło \frac{1}{\frac{1}{2}x^\frac{1}{2}} P.S. Ciężko sie pisze te działania ...
 Johnnyo  6
 całki - zadanie 49
oblicz całki \int_{2}^{3} \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+4x-3}} \int \frac{sin^{2}(lnx)}{x} dx \int[/tex:38u...
 luck865  3
 całki - zadanie 37
Obliczyć całki: 1) \ t \sqrt{ \frac{2-x}{2+x} } \frac{1}{(2-x)^{2}} \ dx 2&#41...
 matti  0
 całki - zadanie 65
X= \mathbb{N} , \mathfrak{M} = \mathcal{P}( \mathbb{N} ) , , \mu (A)= \sum_{n ...
 Hania_87  0
 całki - zadanie 69
oblicz 1. \int_{}^{}\frac{sinx}{e ^{x} }dx 2. \int_{}^{}\frac{dx}{x ^{3}+2x }...
 zizu_56  1
 całki - zadanie 76
1. \int \sin^{3} x \cdot \cos^{2} x dx 2. \int \sqrt{x} \cdot \ln \sqrt{x} dx jak to zrobic?...
 pucox  5
 całki - zadanie 14
jakim sposobami rozwiązać takie całki ? co jak rozpisać na ułamki proste ? z jaich wzroów trzeab liczyć ? \int \frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 8}{(x^2 +4)^2}dx \int \frac{72x^6}{3x^2 +2}dx ...
 kerim  1
 Całki - zadanie 40
Prosiłbym o pomoc w obliczeniu kilku całek: 1. \int \frac{1+cosx}{(cosx+sinx+2)sin^2x}dx 2. \int ft(\frac{l...
 Lyor  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com