szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Całki
PostNapisane: 23 mar 2005, o 14:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1430
Lokalizacja:
Pojęcie funkcji pierwotnej :

Funkcja F(x) nazywa się funkcją pierwotną funkcji f(x) lub całką z f(x) w danym przedziale, jeżeli w całym tym przedziale f(x) jest pochodną funkcji F(x) ( ewentualnie można powiedzieć, że f(x) jest różniczką F(x):

F'(x) = f(x) lub d F(x) = f(x) dx

Zatem całkowanie to znalezienie wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji. Dlaczego wszystkich ? Ano dlatego :

TW. Jeśli w pewnym przedziale F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), to funkcja F(x) + C, gdzie C oznacza dowolną stałą, jest również funkcją pierwotną funkcji f(x). ( logiczne bo pochodna stałej = zero )

Wyrażenie F(x) + C nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) i oznaczamy symbolem :

\int f(x) dx gdzie f(x) - funkcja podcałkowa zaś iloczyn f(x) dx nazywamy wyrażeniem podcałkowym

Własności całki nieoznaczonej :

[ \int f(x) dx ] ' = f(x) dx

\int F'(x) dx = F(x) + C

Podstawowe wzory na całki

\int 0 dx = C
\int 1 dx = x + C
\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C
\int \frac{1}{x} dx = ln |x| + C
\int \frac{1}{1+x^2} dx = arc tg x + C
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = arc sin x + C
\int a^x dx = \frac{a^x}{ln a} + C
\int e^x dx = e^x+ C
\int sin x  dx = - cos x + C
\int cos x dx = sin x+ C
\int \frac{1}{sin^{2}x}dx = - ctg x + C
\int \frac{1}{cos^{2}x}dx = tg x + C

Podstawowe reguły całkowania

\int a \cdot f(x) dx = a \cdot  \int f(x) dx
\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x) dx

całkowanie przez podstawienie

Jeżeli mamy funkcje ciągłe f(x) ; f'(x) oraz g(x) przy czym wiemy, że
\int g(t) dt = G(t) + C
to
\int g[f(x)]f'(x) dx = G [f(x)] + C

Przykład:

\int \frac{2x}{x^2} dx = | podstawienie \ \ t = x^2 , dt = 2x | = \int \frac{dt}{t}

całkowanie przez części

Niech u = f(x) i v=g(x) będą funkcjami mającymi ciągłe pochodne u'=f'(x) v'=g'(x). Wówczas
\int u dv = uv - \int v du
(stosujemy kiedy całka po prawej jest łatwiejsza do obliczenia niż początkowa, choć ciężko od razu przewidzieć czy tak będzie )

Przykład:

\int lnx dx = | niech : f(x)=lnx g'(x)=1 \ \ wtedy f'(x)=\frac{1}{x} g(x)=x | = x ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx

Całkowanie funkcji wymiernych

Funkcją wymierną nazywamy po prostu iloraz dwóch wielomianów, co można prosto zapisać jako
f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} ( pamiętajmy o dziedzinie takiej funkcji )

Przy obliczaniu całek takiego typu mamy pewne podstawowe wytyczne ich rozwiązywania :

1) jeżeli P(x) jest stopnia równego bądź większego niż Q(x) wykonujemy dzielenie P(x) przez Q(x), co spowoduje przedstawienie ilorazu tych wielomianów w bardziej przystępnej do całkowania formie

Przykład:

\int \frac{x^2+1}{x^2+3x-4} dx = \int( 1 +  \frac{(-3x+5)}{x^2+3x-4})dx

Obliczenie całki po prawej jest prostsze niż obliczenie tej po lewej stronie znaku równości ( rozwiązanie dalej ).

2) jeżeli P(x) jest stopnia mniejszego niż Q(x) dokonujemy rozkładu funkcji podcałkowej na tzw ułamki proste czyli na wyrażenia postaci
\frac{A}{(ax+b)^\alpha} lub/oraz \frac{Bx+C}{(cx^2+dx+e)^\beta} przy czym wszystkie literki poza x-em są stałymi, α i β są liczbami naturalnymi, zaś wyróżnik trójmianu jest ujemny.

ciąg dalszy przykładu

\int (\frac{-3x+5}{x^2+3x-4})dx

wpierw zamieniamy funkcję kwadratową na postać iloczynową ( miejscami zerowymi są 1 i -4), po czym dokonujemy rozkładu funkcji podcałkowej:

\frac{-3x+5}{(x+4)(x-1)} = \frac{A}{x+4} + \frac{B}{x-1}
z czego mamy :
-3x+5 = A \cdot (x-1) + B \cdot (x+4) = Ax + Bx - A + 4B (*)
Przyrównujemy teraz odpowiednie potęgi zmiennej :

- dla x^0 mamy 5 = 4B - A
- dla x^1 zapisujemy -3=A+B

skąd prosto obliczamy A i B.

Ewentualnie obliczyć te stałe można również wstawiając do równania (*) oba miejsca zerowe.

3) Ponadto warto sprawdzać, czy funkcja w liczniku nie jest pochodną funkcji w mianowniku ( wtedy podług gotowego wzoru całka będzie równa logarytmowi naturalnemu z modułu mianownika ), co działa dla ułamka prostego z funkcją liniową w mianowniku:
\int \frac{A}{(ax+b)} dx = \frac{A}{a} \int \frac{a dx}{(ax+b)} =  \frac{A}{a} ln |ax+b| + C

c.d.n. PS w razie błędów w pisaniu prosze o informacje na PW
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 całki - zadanie 71
Oblicz całki 1. \int\frac{x+1}{4 ^{x} } 2. \int\frac{x+ \sqrt{x} }{ \sqrt{x} }dx 3. \int\frac{dx}{1+ \sqrt{x+1} } [co...
 zizu_56  0
 Całki - zadanie 62
Cześć, prosze o pomoc ile wynosi całka ze stałej z 7 z czego pochodna wynosi 7 ?...
 Traper  1
 Całki - zadanie 58
To już ostatni : \int\frac{cosx}{ 1-sin ^{2} x} dx...
 natka_1987_21  1
 Całki - zadanie 47
do innego zadania potrzebne mi jest wyliczenie całek: \int \frac{1}{ x^{3}+4 x^{2}+5x-2 } oraz: \int \frac{1}{3+2sin x} jaką metodą to rozpracować ...
 MCV  4
 Całki - zadanie 17
Jak mam sie zabrać za rozwiązanie takiej całie \int\frac{dx}{(1+4x^2)(arcctg2x)^2}...
 sir_dudi  3
 całki - zadanie 35
Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych całek: \int \frac{dx}{ \sqrt{3-2x-x ^{2}} } \int \frac{x ^{2} dx}{ \sqrt{4-9x ^{6}} } \int \frac{ \sqrt{x ^{3} }+1 }{ \sqrt{x} +1} }dx[/tex:3...
 max1982  1
 całki - zadanie 14
jakim sposobami rozwiązać takie całki ? co jak rozpisać na ułamki proste ? z jaich wzroów trzeab liczyć ? \int \frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 8}{(x^2 +4)^2}dx \int \frac{72x^6}{3x^2 +2}dx ...
 kerim  1
 Całki - zadanie 40
Prosiłbym o pomoc w obliczeniu kilku całek: 1. \int \frac{1+cosx}{(cosx+sinx+2)sin^2x}dx 2. \int ft(\frac{l...
 Lyor  1
 Całki - zadanie 24
Oblicz całki: a) \int \sqrt{x} b) \int \frac{x}{\sqrt{x} } ...
 Kasik5  4
 Całki - zadanie 15
\int\frac{x+sinx}{1+cosx}dx \int\frac{dx}{3^x+1} \int\frac{dx}{cosx}dx \int\,e^{\sqrt{x}}dx \int\,arcsin\sqrt{x}\,dx[...
 kosaro  6
 całki - zadanie 7
ktoś mi pomoże policzyć te całki : ∫ x/1+x � dx , ∫ xcosxdx , ∫ e^x/ √ e^x+3 dx , ∫ e^dx cosxdx...
 aska19  2
 Całki - zadanie 50
\int e^{3x}\sqrt{2+7*e^{3x}} dx \int\limits_{4}^{\infty}\frac{2}{x^{2}+6x+9} dx Proszę o pomoc w...
 kefir88  2
 Całki - zadanie 73
Proszę o rozwiązanie zadań, wystawiam temat jeszcze raz. ∫ (e^3x sin2x dx) ∫ (x^3 + x) e^(x^4 +2(x^2)) ∫ cot^-1 3x dx albo dy = 2x cos^2y y(3) = 0 dx Wcześniej coś źle napisałem i zostało to usunięte Dostałem od kogoś i nie umiem sobie po...
 moto_damian  1
 Całki - zadanie 46
\int\frac{1}{\sqrt{x}} jaki powinien być wynik tego mnie wyszło \frac{1}{\frac{1}{2}x^\frac{1}{2}} P.S. Ciężko sie pisze te działania ...
 Johnnyo  6
 całki - zadanie 49
oblicz całki \int_{2}^{3} \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+4x-3}} \int \frac{sin^{2}(lnx)}{x} dx \int[/tex:38u...
 luck865  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com