szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Całki
PostNapisane: 23 mar 2005, o 15:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1430
Lokalizacja:
Pojęcie funkcji pierwotnej :

Funkcja F(x) nazywa się funkcją pierwotną funkcji f(x) lub całką z f(x) w danym przedziale, jeżeli w całym tym przedziale f(x) jest pochodną funkcji F(x) ( ewentualnie można powiedzieć, że f(x) jest różniczką F(x):

F'(x) = f(x) lub d F(x) = f(x) dx

Zatem całkowanie to znalezienie wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji. Dlaczego wszystkich ? Ano dlatego :

TW. Jeśli w pewnym przedziale F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), to funkcja F(x) + C, gdzie C oznacza dowolną stałą, jest również funkcją pierwotną funkcji f(x). ( logiczne bo pochodna stałej = zero )

Wyrażenie F(x) + C nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) i oznaczamy symbolem :

\int f(x) dx gdzie f(x) - funkcja podcałkowa zaś iloczyn f(x) dx nazywamy wyrażeniem podcałkowym

Własności całki nieoznaczonej :

[ \int f(x) dx ] ' = f(x) dx

\int F'(x) dx = F(x) + C

Podstawowe wzory na całki

\int 0 dx = C
\int 1 dx = x + C
\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C
\int \frac{1}{x} dx = ln |x| + C
\int \frac{1}{1+x^2} dx = arc tg x + C
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = arc sin x + C
\int a^x dx = \frac{a^x}{ln a} + C
\int e^x dx = e^x+ C
\int sin x  dx = - cos x + C
\int cos x dx = sin x+ C
\int \frac{1}{sin^{2}x}dx = - ctg x + C
\int \frac{1}{cos^{2}x}dx = tg x + C

Podstawowe reguły całkowania

\int a \cdot f(x) dx = a \cdot  \int f(x) dx
\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x) dx

całkowanie przez podstawienie

Jeżeli mamy funkcje ciągłe f(x) ; f'(x) oraz g(x) przy czym wiemy, że
\int g(t) dt = G(t) + C
to
\int g[f(x)]f'(x) dx = G [f(x)] + C

Przykład:

\int \frac{2x}{x^2} dx = | podstawienie \ \ t = x^2 , dt = 2x | = \int \frac{dt}{t}

całkowanie przez części

Niech u = f(x) i v=g(x) będą funkcjami mającymi ciągłe pochodne u'=f'(x) v'=g'(x). Wówczas
\int u dv = uv - \int v du
(stosujemy kiedy całka po prawej jest łatwiejsza do obliczenia niż początkowa, choć ciężko od razu przewidzieć czy tak będzie )

Przykład:

\int lnx dx = | niech : f(x)=lnx g'(x)=1 \ \ wtedy f'(x)=\frac{1}{x} g(x)=x | = x ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx

Całkowanie funkcji wymiernych

Funkcją wymierną nazywamy po prostu iloraz dwóch wielomianów, co można prosto zapisać jako
f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} ( pamiętajmy o dziedzinie takiej funkcji )

Przy obliczaniu całek takiego typu mamy pewne podstawowe wytyczne ich rozwiązywania :

1) jeżeli P(x) jest stopnia równego bądź większego niż Q(x) wykonujemy dzielenie P(x) przez Q(x), co spowoduje przedstawienie ilorazu tych wielomianów w bardziej przystępnej do całkowania formie

Przykład:

\int \frac{x^2+1}{x^2+3x-4} dx = \int( 1 +  \frac{(-3x+5)}{x^2+3x-4})dx

Obliczenie całki po prawej jest prostsze niż obliczenie tej po lewej stronie znaku równości ( rozwiązanie dalej ).

2) jeżeli P(x) jest stopnia mniejszego niż Q(x) dokonujemy rozkładu funkcji podcałkowej na tzw ułamki proste czyli na wyrażenia postaci
\frac{A}{(ax+b)^\alpha} lub/oraz \frac{Bx+C}{(cx^2+dx+e)^\beta} przy czym wszystkie literki poza x-em są stałymi, α i β są liczbami naturalnymi, zaś wyróżnik trójmianu jest ujemny.

ciąg dalszy przykładu

\int (\frac{-3x+5}{x^2+3x-4})dx

wpierw zamieniamy funkcję kwadratową na postać iloczynową ( miejscami zerowymi są 1 i -4), po czym dokonujemy rozkładu funkcji podcałkowej:

\frac{-3x+5}{(x+4)(x-1)} = \frac{A}{x+4} + \frac{B}{x-1}
z czego mamy :
-3x+5 = A \cdot (x-1) + B \cdot (x+4) = Ax + Bx - A + 4B (*)
Przyrównujemy teraz odpowiednie potęgi zmiennej :

- dla x^0 mamy 5 = 4B - A
- dla x^1 zapisujemy -3=A+B

skąd prosto obliczamy A i B.

Ewentualnie obliczyć te stałe można również wstawiając do równania (*) oba miejsca zerowe.

3) Ponadto warto sprawdzać, czy funkcja w liczniku nie jest pochodną funkcji w mianowniku ( wtedy podług gotowego wzoru całka będzie równa logarytmowi naturalnemu z modułu mianownika ), co działa dla ułamka prostego z funkcją liniową w mianowniku:
\int \frac{A}{(ax+b)} dx = \frac{A}{a} \int \frac{a dx}{(ax+b)} =  \frac{A}{a} ln |ax+b| + C

c.d.n. PS w razie błędów w pisaniu prosze o informacje na PW
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 całki - zadanie 44
oblicz całkę nieoznaczona: a) \int x^{2} \sqrt{x^{3}+5}dx= b) \int \frac{8}{x^{2}+ 16}dx= oblicz całkę oznaczoną: c) \int\limits_{-2}^{0}(x-2+ \frac{1}{x^{2}} )dx...
 grabsky  3
 Całki - zadanie 56
To kolejny przykład który nie wiem jak rozwiązac: 1) \inte^{3x} sinx dx...
 natka_1987_21  1
 Całki - zadanie 21
Proszę o pomoc z tymi całkami: 1) \int {\frac{{dx}}{{\sqrt{{3x + 1}} - 1}}} 2) \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {2x^2 + 4x + 3} }}} 3) \int {\frac{{x^2 }}{{2x^3 + 2x^2 + 2x}}}[/tex...
 dari2876  3
 całki - zadanie 36
\int\frac{lnx}{3x^2} dx \int\frac{2}{{5}\sqrt{2x}} dx \int\cos(4-7x) dx \int\((3x-1)^4 dx \int\3x...
 Tommy_T25  6
 Całki - zadanie 45
Proszę o pomoc w obliczeniu całek... \int_{0}^{1} \frac{x}{3 \sqrt{ x^{2}+3 } } \int_{0,5 ...
 Kerry  1
 Całki - zadanie 51
\int \sin^{3}x \cos x e ^{\sin ^{2}x }dx Prosze o rozwiazanie...
 alli  4
 całki - zadanie 9
mam takie pytanko która całka jest poprawnie obliczona i dlaczego?? \int\frac{2cosxdx}{sqrt{1-sin^2x}}=\left=2\int\frac{dt}{sqrt{1-t^2}}=2arcsint+C= 2arcsin(sinx)+C[/tex:cpr...
 hesoyam__1  2
 całki - zadanie 29
Witajcie, mam prosbę, potrzebuje rozwiązań dwóch zadań za ktore kompletnie nie wiem jak sie zabrac dla Was pewnie okaża się banalne, jezeli ktos byłby tak miły i mógłby je rozwiązać będę bardzo wdzięczna,Smile ponizej tresci... 1) Oblczyć całkę ozna...
 magda3647  1
 całki - zadanie 48
Hej, czy bedzie ktos tak dobry i pokaze jak najlatwiej to rozwiazac?? \int \sin (3x+8) dx \int \frac{dx}{x^3 +8} \int \frac{dx}{\sqrt{3+2x-x^2}} ...
 luk-149  5
 całki - zadanie 4
\int \frac{x}{e^{x}} dx \int \sqrt{1+x^{2}}\cdot{x^{3}} dx \int 3^{x}\cdot\cos xdx \int \cos x\cdot{e^{\sin x}} dx \int ...
 Tygryska_Anna  2
 całki - zadanie 16
Witam!! Mam problem z takimi dwoma całkami. Probowalam juz roznymi sposobami ale i tak nie wychodza. \int \frac{2u-3}{5u-6} du \int \frac{u^{2}}{4+...
 baska00  4
 Całki - zadanie 74
Będzie....
 Mariola89  3
 całki - zadanie 22
mam obliczyc te całki lecz nie wiem jak, z góry dziękuje za pomoc 1. \int\limits_{1}^{e} x^{2}lnxdx 2. \int cosx sin^{2} xdx 3.\int\limits_{\pi /2}^{\pi} x^{2}sin3xdx[/tex:2...
 mrpawli  4
 Całki - zadanie 39
\int x\cdot \sqrt{6-x-x^{2}}dx \int\frac{dx}{2+sinx+cosx} jak sie za to zabrac...
 luqasz  4
 Całki - zadanie 57
\int\frac{(2x-1)(x+2)}{x x} dx...
 natka_1987_21  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com