[ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 11 gru 2007, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Wiadomo że w metryce Euklidesowej zbiór Z jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony i domknięty.
Istnieją też ładne definicje zbioru domkniętego i ograniczonego, jednak mam zawsze problemy ze zrozumieniem jak się sprawdza zwartość, korzystając z powyższego faktu.

Np. Zbadaj, czy zbiór \lbrace (x,y) \in R^{2}: x^{10} + y^{10} + xy = 1 \rbrace jest zwarty.

Zatem musimy zbadać, czy jest on domknięty i ograniczony.

Jeśli ktoś umie, niech mi ładnie krok po kroku wytłumaczy jak to zrobić. Dzięki.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 12:58 
Użytkownik

Posty: 109
Lokalizacja: Limanowa / Gliwice
Ten zbiór to krzywa zapisana w postaci uwikłanej... możesz np narysować jej wykres i zobaczysz że jest to krzywa zamknięta (przypomina trochę równoległobok)... jest ona zbiorem zwartym. Dlaczego? Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 577
Lokalizacja: Łódź
BartekPwl napisał(a):
Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.


??? Dlaczego dopełnienie w \mathbb{R}? Co to znaczy "ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności." ???

Ja bym robił tak:
Domkniętość: Funkcja f:\mathbb R^2\to\mathbb R dana wzorem f(x,y)=x^{10}+y^{10}+xy jest funkcją ciągłą, a więc zbiór
\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^{10}+y^{10}+xy=1\}=f^{-1}(\{1\})
jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.

Ograniczoność: Pokażemy, że dla każdego elementu (x,y) naszego zbioru mamy |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2
Istotnie, gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^2(|y|^8-1)>4\cdot255+4\cdot255>1
czyli mamy sprzeczność
Gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|\leqslant2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^{10}-|y|^2>4\cdot255+0-4>1
znowu sprzeczność
Gdybyśmy wreszcie mieli |x|\leqslant2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^{10}-|x|^2+|y|^2(|y|^8-1)>0-4+4\cdot255>1
Jeszcze raz sprzeczność. Wynika stąd, że |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2, czyli nasz zbiór jest ograniczony.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 16:45 
Użytkownik

Posty: 4265
Lokalizacja: Kraków
W kwestii ograniczonosci mozna podac alternatywna forme rozw, tj bez koniecznosci rozpatrywania przypadków, zapis w formie ponizszej , swiadczy iz ze wzgledu na nature , -tj wsp przy najwyzszych potegach w wielomianach w i v nie jest mozliwe, aby dla dowolnie duzych x i y było w(x)
w(x)-v(y)= (x^{10}-\frac{1}{4}x^2)-(1+y^2-y^{10})=-(\frac{1}{2}x+y)^2 \leq 0
:arrow: :arrow:
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 14 gru 2007, o 16:48 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Dzięki, ale mam jeszcze jedno pytanko:

Cytuj:
... jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.


To że {1} jest zbiorem domkniętym to kumam, ale dlaczego przeciwobraz przez funkcję ciągłą zbioru domkniętego jest domknięty? Jakoś tego nie widzę.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 16 gru 2007, o 01:38 
Użytkownik

Posty: 4265
Lokalizacja: Kraków
no taka jest definicja i juz :arrow:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór zwarty - zadanie 3
Sprawdź, czy jest ograniczony i domknięty, a potem powołaj się na twierdzenie Heinego-Borela....
 miauczykotek  2
 zbiór zwarty - zadanie 4
Pokazać, że jeśli X jest lokalnie zwartą przestrzenią typu T_{2}, A zwartym podzbiorem przestrzeni X, a U zbiorem otwartym zawierającym A, to istnieje zbiór zwarty B taki, że A \subset int(B) \subset...
 adam1255  1
 zbiór zwarty - zadanie 2
w jaki sposób wykazać, że kula K_r^n(0)=\{p\in\mathbb{R}^n|<p,p>\leq r^2\} gdzie < , > jest iloczynem skalarnym wektorów zaś r jest normą Eukli...
 inesitka  6
 zbiór elementy
1.wyznacz dopełnienie zbioru Z=\{x \in R:|x|<10 \ \wedge \ x^{2} -6x \ge 0\} w przestrzeni liczb rzeczywistych. 2.wymien elemnty zbioru A=\{x \in R:x^2+|5x|-6=0\} 3. korzystajac z twierdze...
 qaz123  4
 Znajdz zbiór potęgowy.
Witam Mam znaleźć zbiór potęgowy dla tego zbioru: A=\left\{a,\left\{b,\left\{ c\right\}\right\} \right\} Czy taki wynik będzie poprawny?: P(A)= { 0, {a}, {b}, {c}, {b,{c}}, {a,{b,{c}}}, {{c}},...
 opol  7
 Wyznacz zbiór. - zadanie 2
Witam. Muszę wyznaczyć zbiór: B=\left\{ x\in \mathbb{R} : \sim \bigwedge\limits_{y\in R} xy^{2} + y - 1 < 0 \right\}. Przekształciłam go do postaci: B=\left\{ x\in \mathbb{R} : \bigvee\limits_{y\in ...
 TeTaim  5
 zbiór pusty w zbiorze potęgowym
Zbiór pusty jest z def, podzbiorem każdego zbioru, tak? I gdy mamy zbiór potęgowy to mamy w nim zbiór pusty I teraz gdy mamy dwa różne zbiory potęgowe i gdy odejmiemy od jednego drugi, to czy w wyniku dostaniemy zbiór potęgowy zawierający zb. pusty c...
 aga.gmail  4
 Zero jako zbiór
Zero jest klasą abstrakcji równoliczności... Czyli 0=~={X: X~\emptyset}={\emptyset} Czyli zero jest jednoelementowym zbiorem?...
 gre11  5
 zbiór z parametrem
wyznacz wszystkie wartości liczby m, tak aby część wspólna (- \infty ;-3m+8) i (2-m;+ \infty ) była przedziałem. Dla największej całkowitej liczby m o tej własności podaj tę cz...
 Charles90  1
 Wyznacz zbiór na podstawie innych zbiorów
Pewnie? A może na pewno? Skoro podajesz treść zadania, powinieneś wiedzieć, co w nim jest i wyjaśnić wszelkie niestandardowe symbole, gdyż B nie należy do oznaczeń typowych dla operatorów teoriomnogościowych, tym bardziej...
 diego_maradona  3
 Relacja, klasa abstrakcji, zbior ilorazowy, jedno zadanie
Super, dzieki. Wszystko mi jednak wyszlo jak sama robilam, wyniki sie zgadzaja. Ale to mi nie wychodzi: Niech R i S beda relacjami na zbiorze X. Udowodnij prawdziwosc lub za pomoca kontrprzykladu wykaz nieprawdziwosc, ze: 1. Jesli R i S sa przechodn...
 Tzncioe  3
 W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj zbiór punktów
W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj zbiór tych wszystkich punktów o współrzędnych (b,c), dla których różne pierwiastki x_{1}, x_{2} równania x^{2}-bx-2c=0 spełniają warunek [tex:2z4x...
 caban020  0
 Iloczyn kartezjański - Czy istnieje taki zbiór, że...
Niech \mathbb{A}=\{a \in \mathbb{Z}: 2/a \wedge |a-1| \le 4 \}, \mathbb{B}= \{ b \in \mathbb{N}:x^2 <9 \}. Czy istnieje taki zbiór \mathbb{C} \subseteq \mathbb{Z}[/tex:12qcm...
 choko  1
 Dany zbiór
Zapisz dany zbiór za pomocą przedziału lub sumy przedziałów. a) R-(-\infty ,7>, b) R-\{1,2,3\}, c) R-(-3,4>....
 LoQ  1
 Zbiór a liczby rzeczywiste
Nauczyciel jako ciekawostkę dał nam takie zadanie. R \cap A=A R - zbiór liczb rzeczywistych A - zbiór A Podaj przykład zbioru A niespełniającego tego równania. Nie chodzi o liczby zespolone ani o zbiór pusty. Ktoś wi...
 andrzej2208  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com