szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 11 gru 2007, o 21:31 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Wiadomo że w metryce Euklidesowej zbiór Z jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony i domknięty.
Istnieją też ładne definicje zbioru domkniętego i ograniczonego, jednak mam zawsze problemy ze zrozumieniem jak się sprawdza zwartość, korzystając z powyższego faktu.

Np. Zbadaj, czy zbiór \lbrace (x,y) \in R^{2}: x^{10} + y^{10} + xy = 1 \rbrace jest zwarty.

Zatem musimy zbadać, czy jest on domknięty i ograniczony.

Jeśli ktoś umie, niech mi ładnie krok po kroku wytłumaczy jak to zrobić. Dzięki.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 11:58 
Użytkownik

Posty: 110
Lokalizacja: Limanowa / Gliwice
Ten zbiór to krzywa zapisana w postaci uwikłanej... możesz np narysować jej wykres i zobaczysz że jest to krzywa zamknięta (przypomina trochę równoległobok)... jest ona zbiorem zwartym. Dlaczego? Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 13:16 
Użytkownik

Posty: 577
Lokalizacja: Łódź
BartekPwl napisał(a):
Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.


??? Dlaczego dopełnienie w \mathbb{R}? Co to znaczy "ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności." ???

Ja bym robił tak:
Domkniętość: Funkcja f:\mathbb R^2\to\mathbb R dana wzorem f(x,y)=x^{10}+y^{10}+xy jest funkcją ciągłą, a więc zbiór
\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^{10}+y^{10}+xy=1\}=f^{-1}(\{1\})
jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.

Ograniczoność: Pokażemy, że dla każdego elementu (x,y) naszego zbioru mamy |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2
Istotnie, gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^2(|y|^8-1)>4\cdot255+4\cdot255>1
czyli mamy sprzeczność
Gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|\leqslant2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^{10}-|y|^2>4\cdot255+0-4>1
znowu sprzeczność
Gdybyśmy wreszcie mieli |x|\leqslant2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^{10}-|x|^2+|y|^2(|y|^8-1)>0-4+4\cdot255>1
Jeszcze raz sprzeczność. Wynika stąd, że |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2, czyli nasz zbiór jest ograniczony.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 15:45 
Użytkownik

Posty: 4374
Lokalizacja: Kraków
W kwestii ograniczonosci mozna podac alternatywna forme rozw, tj bez koniecznosci rozpatrywania przypadków, zapis w formie ponizszej , swiadczy iz ze wzgledu na nature , -tj wsp przy najwyzszych potegach w wielomianach w i v nie jest mozliwe, aby dla dowolnie duzych x i y było w(x)
w(x)-v(y)= (x^{10}-\frac{1}{4}x^2)-(1+y^2-y^{10})=-(\frac{1}{2}x+y)^2 \leq 0
:arrow: :arrow:
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 14 gru 2007, o 15:48 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Dzięki, ale mam jeszcze jedno pytanko:

Cytuj:
... jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.


To że {1} jest zbiorem domkniętym to kumam, ale dlaczego przeciwobraz przez funkcję ciągłą zbioru domkniętego jest domknięty? Jakoś tego nie widzę.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 16 gru 2007, o 00:38 
Użytkownik

Posty: 4374
Lokalizacja: Kraków
no taka jest definicja i juz :arrow:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbiór zwarty - zadanie 4
Pokazać, że jeśli X jest lokalnie zwartą przestrzenią typu T_{2}, A zwartym podzbiorem przestrzeni X, a U zbiorem otwartym zawierającym A, to istnieje zbiór zwarty B taki, że A \subset int(B) \subset...
 adam1255  1
 zbiór zwarty - zadanie 2
w jaki sposób wykazać, że kula K_r^n(0)=\{p\in\mathbb{R}^n|<p,p>\leq r^2\} gdzie < , > jest iloczynem skalarnym wektorów zaś r jest normą Eukli...
 inesitka  6
 Zbiór zwarty - zadanie 3
Sprawdź, czy jest ograniczony i domknięty, a potem powołaj się na twierdzenie Heinego-Borela....
 miauczykotek  2
 Udowodnij, że zbiór R^R nie jest równoliczny z R
Pełna treść zadania: Udowodnij, że zbiór \mathbb{R}^\mathbb{R} funkcji o argumentach i wartościach rzeczywistych nie jest równoliczny ze zbiorem \mathbb{R}....
 BlueAndCyan  2
 wyznacz zbior - zadanie 2
Wyznacz zbior wszystkich liczb naturalnych, dla których liczba 9^{n}+9^{n-1}+9^{n-2}+...+9^{3}+9^{2}+9 jest podzielna przez 10...
 bullay  2
 Wyznaczyć zbiór - zadanie 4
Potrzebuję wyznaczyć taki zbiór: A = \left\{ x^2 - 1 : x \in Z \right\} \cap Rozumiem że mam tutaj iloczyn dwóch zbiorów, ale nie za bardzo wiem jak wyznaczyć ten pierwszy. Wg mnie jest to po prostu zbiór pu...
 MakCis  1
 wyznaczyć zbiór - zadanie 8
znaleźć zbiór \bigcap_{n=1}^{ \infty }\left\{ x \in R:|x| \le \frac{1}{n}\right\}^c próbuję tak \bigcap_{n=1}^{ \infty }\left\{ x \in R:|x| \le \frac{1}{n}\right\}^c=\left(\bigcup_{n=1}^{ \infty }\left...
 Czeczot  2
 Zbiór pusty - zadanie 11
Każdy zbiór (w tym zbiór pusty) zawiera zbiór pusty. Dowolny zbiór A jest zawarty w zbiorzeB, gdy każdy element zb. A należy do zbioru B[/tex:2jiwndi...
 bob1000  3
 oblicz zbiór
mam obliczyć sumę iloczyn itd. dwóch zbiorów jeden z nich jest opisany tak: A={x \in R: wyrazenie \sqrt{log cos x} ma sens liczbowy } nie mam pojęcia jaki to zbiór...
 raw  6
 Przedstawić graficznie zbiór oraz obliczyc jego pole.
A= nie wiem jak narysować y \ge x...
 rolnik41  1
 Zbiór przeliczalny a równoliczność...
Moje pytanie brzmi: Czy jeśli Y jest zbiorem przeliczalnym to Y jest równoliczny z podzbiorem liczb naturalnych? Przeczytałem kilka definicji przeliczalności i równoliczności i pojawiło mi się jeszcze więcej wątpliwości... Proszę o pomoc najlepiej...
 Jaccus  8
 Naszkicować zbiór - zadanie 9
Mam Problem z zadaniem: Naszkicować zbiórC \cap D,gdy C=\left\{ <x,y> \in R ^{2}: x ^{2}+y ^{2} +2y<0 \right\} , D=\left\{ <x,y> \in R ^{2}:y-x ^{2}>0 \right\} Jeśli kto...
 10lll  1
 Zbiór R*
Witam. Mam problem z rozszyfrowaniem prostej przynależności: \theta \in R^* Ktoś się orientuje co to jest za zbiór? I co to może być za działanie, w tym kontekście: \theta ^{-1}? Dodam, że ...
 mngk  9
 zbiór potęgowy.
1.Pokazać, że A \neq P(A) 2. Udowodnić, że dowolny zbiór n- elementowy ma \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!} zbiorów k[/tex:1l3bv3z...
 Matematyk111  4
 wyznacz zbiór - zadanie 26
wyznacz zbiór A= \left\{ x: \frac{|x-1|}{x+2} \ge \frac{2|x-1|}{x-2} \right\}...
 cytrynka114  10
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com