szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 11 gru 2007, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Wiadomo że w metryce Euklidesowej zbiór Z jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony i domknięty.
Istnieją też ładne definicje zbioru domkniętego i ograniczonego, jednak mam zawsze problemy ze zrozumieniem jak się sprawdza zwartość, korzystając z powyższego faktu.

Np. Zbadaj, czy zbiór \lbrace (x,y) \in R^{2}: x^{10} + y^{10} + xy = 1 \rbrace jest zwarty.

Zatem musimy zbadać, czy jest on domknięty i ograniczony.

Jeśli ktoś umie, niech mi ładnie krok po kroku wytłumaczy jak to zrobić. Dzięki.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 12:58 
Użytkownik

Posty: 109
Lokalizacja: Limanowa / Gliwice
Ten zbiór to krzywa zapisana w postaci uwikłanej... możesz np narysować jej wykres i zobaczysz że jest to krzywa zamknięta (przypomina trochę równoległobok)... jest ona zbiorem zwartym. Dlaczego? Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 577
Lokalizacja: Łódź
BartekPwl napisał(a):
Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.


??? Dlaczego dopełnienie w \mathbb{R}? Co to znaczy "ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności." ???

Ja bym robił tak:
Domkniętość: Funkcja f:\mathbb R^2\to\mathbb R dana wzorem f(x,y)=x^{10}+y^{10}+xy jest funkcją ciągłą, a więc zbiór
\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^{10}+y^{10}+xy=1\}=f^{-1}(\{1\})
jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.

Ograniczoność: Pokażemy, że dla każdego elementu (x,y) naszego zbioru mamy |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2
Istotnie, gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^2(|y|^8-1)>4\cdot255+4\cdot255>1
czyli mamy sprzeczność
Gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|\leqslant2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^{10}-|y|^2>4\cdot255+0-4>1
znowu sprzeczność
Gdybyśmy wreszcie mieli |x|\leqslant2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^{10}-|x|^2+|y|^2(|y|^8-1)>0-4+4\cdot255>1
Jeszcze raz sprzeczność. Wynika stąd, że |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2, czyli nasz zbiór jest ograniczony.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 16:45 
Użytkownik

Posty: 4295
Lokalizacja: Kraków
W kwestii ograniczonosci mozna podac alternatywna forme rozw, tj bez koniecznosci rozpatrywania przypadków, zapis w formie ponizszej , swiadczy iz ze wzgledu na nature , -tj wsp przy najwyzszych potegach w wielomianach w i v nie jest mozliwe, aby dla dowolnie duzych x i y było w(x)
w(x)-v(y)= (x^{10}-\frac{1}{4}x^2)-(1+y^2-y^{10})=-(\frac{1}{2}x+y)^2 \leq 0
:arrow: :arrow:
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 14 gru 2007, o 16:48 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Dzięki, ale mam jeszcze jedno pytanko:

Cytuj:
... jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.


To że {1} jest zbiorem domkniętym to kumam, ale dlaczego przeciwobraz przez funkcję ciągłą zbioru domkniętego jest domknięty? Jakoś tego nie widzę.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 16 gru 2007, o 01:38 
Użytkownik

Posty: 4295
Lokalizacja: Kraków
no taka jest definicja i juz :arrow:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbiór zwarty - zadanie 4
Pokazać, że jeśli X jest lokalnie zwartą przestrzenią typu T_{2}, A zwartym podzbiorem przestrzeni X, a U zbiorem otwartym zawierającym A, to istnieje zbiór zwarty B taki, że A \subset int(B) \subset...
 adam1255  1
 zbiór zwarty - zadanie 2
w jaki sposób wykazać, że kula K_r^n(0)=\{p\in\mathbb{R}^n|<p,p>\leq r^2\} gdzie < , > jest iloczynem skalarnym wektorów zaś r jest normą Eukli...
 inesitka  6
 Zbiór zwarty - zadanie 3
Sprawdź, czy jest ograniczony i domknięty, a potem powołaj się na twierdzenie Heinego-Borela....
 miauczykotek  2
 zbiór na płaszczyźnie - zadanie 10
jak narysować następujący zbiór ? x^2-y^2 \ge 0...
 manduka  1
 Czy zbior jest co najwyzej przeliczalny
Potrzebuje pomocy z zadaniem 1. czy ten zbior jest co najwyzej przeliczalny? \{x \in R: \exists y \in N x=3y+2\} Z tego co probowalem zrobic to nie jest poniewaz x jest liczba rzeczywysta wiec moc tego zbioru jest taka ...
 LUX  6
 Zbiór - istnienie
Czy istnieje taki zbiór X, że zbiór P(X)ma 2048 elementów? TAK, bo skończony zbiór ma n elementów, to P(X&#...
 sandra-91  16
 Zero jako zbiór
Zero jest klasą abstrakcji równoliczności... Czyli 0=~={X: X~\emptyset}={\emptyset} Czyli zero jest jednoelementowym zbiorem?...
 gre11  5
 W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj zbiór punktów
W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj zbiór tych wszystkich punktów o współrzędnych (b,c), dla których różne pierwiastki x_{1}, x_{2} równania x^{2}-bx-2c=0 spełniają warunek [tex:2z4x...
 caban020  0
 zbiór NIE spełniający równania...
R\cup A = A poszukuję zbiorów, które nie spełniają tego równania... nie wliczając liczb urojonych......
 Lilla My  1
 Zbiór wszystkich zbiorów.
mam zadanko z ktorym nie wiem jak sobie poradzic o to treść: co wiesz o zbiorze wszystkich zbiorów?...
 nozomi  6
 Zbiór punktów nieciągłości funkcji monotonicznej - przelicz.
Udowodnij że zbiór nieciągłości funkcji monotonicznej jest przeliczalny....
 pc  5
 Zbiór liczb pierwszych.
Czy zbiór takowy wyraża się zapisem: P = \left\{ x: x \in N \wedge \bigwedge\limits_{y \in N \setminus \left\{ x,1\right\}} \frac{x}{y} \in W_{+} \setminus C \right\} Jeśli mam źle to powiedzcie co i jak....
 da_vu  1
 Narysować zbiór - zadanie 5
\left| x\right| + \left|y \right| \le 4 Rozpatruje wszystkie przypadki i wykresem bedzie część wspolna poszczegolnych nierówności?...
 rolnik41  2
 Wykazać, ze zbiór jest mocy continuum.
Udowodnij, że następujące podzbiory płaszczyzny R ^2 mają moc continuum: 1) Zbiór wszystkich punktów R^2 o dokładnie jednej współrzędnej wymiernej, 2) Dowolny podzbiór płaszczyzny zawierający...
 basia263  1
 miara Lebesque'a, zbiór Cantora
skonstruowac na prostej liczbowej |R zbiór nieprzeliczalny i miara Lebesque'a bedzie równa 0. wiem tylko tyle ze to tego zadania zbior Cantora ma wymagane wlasnosci ale co dalej... prosze bardzo o pomoc...
 sylwia1983  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com