szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 11 gru 2007, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Wiadomo że w metryce Euklidesowej zbiór Z jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony i domknięty.
Istnieją też ładne definicje zbioru domkniętego i ograniczonego, jednak mam zawsze problemy ze zrozumieniem jak się sprawdza zwartość, korzystając z powyższego faktu.

Np. Zbadaj, czy zbiór \lbrace (x,y) \in R^{2}: x^{10} + y^{10} + xy = 1 \rbrace jest zwarty.

Zatem musimy zbadać, czy jest on domknięty i ograniczony.

Jeśli ktoś umie, niech mi ładnie krok po kroku wytłumaczy jak to zrobić. Dzięki.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 12:58 
Użytkownik

Posty: 110
Lokalizacja: Limanowa / Gliwice
Ten zbiór to krzywa zapisana w postaci uwikłanej... możesz np narysować jej wykres i zobaczysz że jest to krzywa zamknięta (przypomina trochę równoległobok)... jest ona zbiorem zwartym. Dlaczego? Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 577
Lokalizacja: Łódź
BartekPwl napisał(a):
Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.


??? Dlaczego dopełnienie w \mathbb{R}? Co to znaczy "ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności." ???

Ja bym robił tak:
Domkniętość: Funkcja f:\mathbb R^2\to\mathbb R dana wzorem f(x,y)=x^{10}+y^{10}+xy jest funkcją ciągłą, a więc zbiór
\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^{10}+y^{10}+xy=1\}=f^{-1}(\{1\})
jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.

Ograniczoność: Pokażemy, że dla każdego elementu (x,y) naszego zbioru mamy |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2
Istotnie, gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^2(|y|^8-1)>4\cdot255+4\cdot255>1
czyli mamy sprzeczność
Gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|\leqslant2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^{10}-|y|^2>4\cdot255+0-4>1
znowu sprzeczność
Gdybyśmy wreszcie mieli |x|\leqslant2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^{10}-|x|^2+|y|^2(|y|^8-1)>0-4+4\cdot255>1
Jeszcze raz sprzeczność. Wynika stąd, że |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2, czyli nasz zbiór jest ograniczony.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 16:45 
Użytkownik

Posty: 4314
Lokalizacja: Kraków
W kwestii ograniczonosci mozna podac alternatywna forme rozw, tj bez koniecznosci rozpatrywania przypadków, zapis w formie ponizszej , swiadczy iz ze wzgledu na nature , -tj wsp przy najwyzszych potegach w wielomianach w i v nie jest mozliwe, aby dla dowolnie duzych x i y było w(x)
w(x)-v(y)= (x^{10}-\frac{1}{4}x^2)-(1+y^2-y^{10})=-(\frac{1}{2}x+y)^2 \leq 0
:arrow: :arrow:
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 14 gru 2007, o 16:48 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Dzięki, ale mam jeszcze jedno pytanko:

Cytuj:
... jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.


To że {1} jest zbiorem domkniętym to kumam, ale dlaczego przeciwobraz przez funkcję ciągłą zbioru domkniętego jest domknięty? Jakoś tego nie widzę.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 16 gru 2007, o 01:38 
Użytkownik

Posty: 4314
Lokalizacja: Kraków
no taka jest definicja i juz :arrow:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbiór zwarty - zadanie 4
Pokazać, że jeśli X jest lokalnie zwartą przestrzenią typu T_{2}, A zwartym podzbiorem przestrzeni X, a U zbiorem otwartym zawierającym A, to istnieje zbiór zwarty B taki, że A \subset int(B) \subset...
 adam1255  1
 zbiór zwarty - zadanie 2
w jaki sposób wykazać, że kula K_r^n(0)=\{p\in\mathbb{R}^n|<p,p>\leq r^2\} gdzie < , > jest iloczynem skalarnym wektorów zaś r jest normą Eukli...
 inesitka  6
 Zbiór zwarty - zadanie 3
Sprawdź, czy jest ograniczony i domknięty, a potem powołaj się na twierdzenie Heinego-Borela....
 miauczykotek  2
 zbiór relacji jednoczłonowych
proszę o odpowiedź na pytanie "czy istnieje zbiór wszystkich własności (chyba chodzi o zbiór wszystkich relacji jednoczłonowych)?", bo wg autora książki tak, ale strasznie dziwnie to opisane dlatego chciałbym się upewnić...
 Czeczot  12
 Zbiór liczb pierwszych.
Czy zbiór takowy wyraża się zapisem: P = \left\{ x: x \in N \wedge \bigwedge\limits_{y \in N \setminus \left\{ x,1\right\}} \frac{x}{y} \in W_{+} \setminus C \right\} Jeśli mam źle to powiedzcie co i jak....
 da_vu  1
 Zbiór potęgowy, uogólniona suma, iloczyn kartezjański ....
Witam Otóż mam problem z zadaniami " Czy dla dowolnych zbiorów A, B, C " . Z przykładami na sumę, różnicę, iloczyn, inkluzję i dopełnienia sobie jakoś radze, ale niestety mam problem ze zbiorem potęgowym, uogólniona suma, iloczynem kartezj...
 no_name  25
 czy zbiór jest funkcją?
tzn nie umiem znaleźć przykładu 2 takich par, żeby pokazać że to nie jest funkcja....
 aabbcc  13
 Zbiór liczb jednocześnie spełniających obie nierówności
Witam, mam problem z jednym przykładem, który należy zapisać jako przedział. 4x+3<19 i 21-2x \ge 7 Odpowiedź podana w książce to: \left\langle - \infty ;4)[/tex:vlhi3epc...
 Enatealie  1
 wyznaczyć zbiór - zadanie 8
znaleźć zbiór \bigcap_{n=1}^{ \infty }\left\{ x \in R:|x| \le \frac{1}{n}\right\}^c próbuję tak \bigcap_{n=1}^{ \infty }\left\{ x \in R:|x| \le \frac{1}{n}\right\}^c=\left(\bigcup_{n=1}^{ \infty }\left...
 Czeczot  2
 zbiór dobrze uporządkowany
Pokazać, że dla dowolnego zbioru n-elementowego X gdzie n jest liczbą naturalną >1, zbiór X nie może b...
 zaklopotany93  1
 wyznacz zbiór - zadanie 26
wyznacz zbiór A= \left\{ x: \frac{|x-1|}{x+2} \ge \frac{2|x-1|}{x-2} \right\}...
 cytrynka114  10
 zbiór na płaszczyźnie - zadanie 10
jak narysować następujący zbiór ? x^2-y^2 \ge 0...
 manduka  1
 Zbiór ciągów liczb naturalnych
Mam dany zbiór: X = \NN ^{\NN} Dlaczego jest to zbiór ciągów liczb naturalnych? Nie rozumiem tego zapisu....
 goku94  1
 zbiór wartości funkcji & funkcja odwrotna
f:\left\{ x \in R:0 \le x \le 2 \right\} \rightarrow R,f(x)=\begin{cases} -\sqrt{x} \ \mbox{dla}\ 0 \le x \le 1 \\ \sqrt{x} \ \mbox{dla} \ 1< x \le 2 \end{cases} Wyznaczyć f(\left\{ x \in R:...
 Czeczot  4
 Zbiór - istnienie
Czy istnieje taki zbiór X, że zbiór P(X)ma 2048 elementów? TAK, bo skończony zbiór ma n elementów, to P(X&#...
 sandra-91  16
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com