[ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 11 gru 2007, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Wiadomo że w metryce Euklidesowej zbiór Z jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony i domknięty.
Istnieją też ładne definicje zbioru domkniętego i ograniczonego, jednak mam zawsze problemy ze zrozumieniem jak się sprawdza zwartość, korzystając z powyższego faktu.

Np. Zbadaj, czy zbiór \lbrace (x,y) \in R^{2}: x^{10} + y^{10} + xy = 1 \rbrace jest zwarty.

Zatem musimy zbadać, czy jest on domknięty i ograniczony.

Jeśli ktoś umie, niech mi ładnie krok po kroku wytłumaczy jak to zrobić. Dzięki.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 12:58 
Użytkownik

Posty: 109
Lokalizacja: Limanowa / Gliwice
Ten zbiór to krzywa zapisana w postaci uwikłanej... możesz np narysować jej wykres i zobaczysz że jest to krzywa zamknięta (przypomina trochę równoległobok)... jest ona zbiorem zwartym. Dlaczego? Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 577
Lokalizacja: Łódź
BartekPwl napisał(a):
Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.


??? Dlaczego dopełnienie w \mathbb{R}? Co to znaczy "ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności." ???

Ja bym robił tak:
Domkniętość: Funkcja f:\mathbb R^2\to\mathbb R dana wzorem f(x,y)=x^{10}+y^{10}+xy jest funkcją ciągłą, a więc zbiór
\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^{10}+y^{10}+xy=1\}=f^{-1}(\{1\})
jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.

Ograniczoność: Pokażemy, że dla każdego elementu (x,y) naszego zbioru mamy |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2
Istotnie, gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^2(|y|^8-1)>4\cdot255+4\cdot255>1
czyli mamy sprzeczność
Gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|\leqslant2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^{10}-|y|^2>4\cdot255+0-4>1
znowu sprzeczność
Gdybyśmy wreszcie mieli |x|\leqslant2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^{10}-|x|^2+|y|^2(|y|^8-1)>0-4+4\cdot255>1
Jeszcze raz sprzeczność. Wynika stąd, że |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2, czyli nasz zbiór jest ograniczony.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 16:45 
Użytkownik

Posty: 4216
Lokalizacja: Kraków
W kwestii ograniczonosci mozna podac alternatywna forme rozw, tj bez koniecznosci rozpatrywania przypadków, zapis w formie ponizszej , swiadczy iz ze wzgledu na nature , -tj wsp przy najwyzszych potegach w wielomianach w i v nie jest mozliwe, aby dla dowolnie duzych x i y było w(x)
w(x)-v(y)= (x^{10}-\frac{1}{4}x^2)-(1+y^2-y^{10})=-(\frac{1}{2}x+y)^2 \leq 0
:arrow: :arrow:
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 14 gru 2007, o 16:48 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Dzięki, ale mam jeszcze jedno pytanko:

Cytuj:
... jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.


To że {1} jest zbiorem domkniętym to kumam, ale dlaczego przeciwobraz przez funkcję ciągłą zbioru domkniętego jest domknięty? Jakoś tego nie widzę.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 16 gru 2007, o 01:38 
Użytkownik

Posty: 4216
Lokalizacja: Kraków
no taka jest definicja i juz :arrow:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbiór zwarty - zadanie 4
Pokazać, że jeśli X jest lokalnie zwartą przestrzenią typu T_{2}, A zwartym podzbiorem przestrzeni X, a U zbiorem otwartym zawierającym A, to istnieje zbiór zwarty B taki, że A \subset int(B) \subset...
 adam1255  1
 zbiór zwarty - zadanie 2
w jaki sposób wykazać, że kula K_r^n(0)=\{p\in\mathbb{R}^n|<p,p>\leq r^2\} gdzie < , > jest iloczynem skalarnym wektorów zaś r jest normą Eukli...
 inesitka  6
 Zbiór zwarty - zadanie 3
Sprawdź, czy jest ograniczony i domknięty, a potem powołaj się na twierdzenie Heinego-Borela....
 miauczykotek  2
 Przeliczalny zbiór potęgowy?
matmatmm, jak?...
 tukanik  16
 Zbiór potęgowy, uogólniona suma, iloczyn kartezjański ....
Witam Otóż mam problem z zadaniami " Czy dla dowolnych zbiorów A, B, C " . Z przykładami na sumę, różnicę, iloczyn, inkluzję i dopełnienia sobie jakoś radze, ale niestety mam problem ze zbiorem potęgowym, uogólniona suma, iloczynem kartezj...
 no_name  25
 Wykazać, że następujący zbiór jest przeliczalny.
Jeśli przez A_n oznaczymy sobie podzbiory \mathbb{C} mocy n, to zbiór o który pytamy to \bigcup_{n=0}^{\infty} A_n[/te...
 Kas1a  4
 zbiór ekstremów lokalnych
:o W takim razie dodaję tę informację do mojej bazy danych....
 michalek89  12
 Zbiór zbiorów
Mam problem : Czy istnieje zbór wszystkich zbiorów. Dlaczego? Jak to wytłumaczyć ? Czy są zbiory, które są swoimi elementami i co to w ogóle znaczy ? Może mi to ktoś wytłumaczyć ?...
 Micha?12345  15
 zbiór gęsty
Niech f( \alpha )=2 \alpha bedzie odwzorowaniem okregu S^1. Udowodnij, ze punkty okresowe f tworzą zbiór gęsty na S^1....
 monikap7  0
 Dziwny zbiór
Wiadomo, że zbiór ciągów skończonej długości elementów ze zbioru skończonego jest przeliczalny. Więc gdybyśmy wzięli zbiór \mathrm{A}: znaków ze wszystkich języków oraz wszystkich możliwych dźwięków jakie człowiek może w...
 brojler  13
 Zbiór liczb - zadanie 9
Proszę o pomoc. B - zbiór liczb nieparzystych niedodatnich. E - zbiór liczb których kwadrat wynosi 16. F - zbiór liczb będących całkowitymi wielokrotnościami pierwiastka z 2....
 tomil94  1
 Zbiór dobrze ufundowany
Czy zbiór nieskończonych ciągów liczb naturalnych uporządkowany leksykograficznie jest zbiorem dobrze ufundowanym?...
 darenn  1
 Zbiór A, B, C. Sprawdzenie zadania.
A (B\cup C) = (A ...
 Sangria  2
 Zaznaczyc taki zbior na osi liczbowej.
Zbior jest taki: A=x: x \in R i \left| x+3\right| + \sqrt{x^2 +6x+9>0} Czyli zbior A to liczby rzeczywiste dodatnie, czy caly zbior R za wyjatkiem liczby -3?...
 witonk  5
 Potraktuj zbiór U jako przestrzeń i wyznacz w niej zbiory..
Witam. Potrzebuję pomocy, a mianowicie mam zadanie: Załóżmy, że U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}. Potraktuj zbiór U jako przestrzeń i wyznacz w niej zbiory: a)A' b)C' c)(A\cup B')\cap C d)[tex:397onj...
 dzillla  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com