[ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 11 gru 2007, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Wiadomo że w metryce Euklidesowej zbiór Z jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony i domknięty.
Istnieją też ładne definicje zbioru domkniętego i ograniczonego, jednak mam zawsze problemy ze zrozumieniem jak się sprawdza zwartość, korzystając z powyższego faktu.

Np. Zbadaj, czy zbiór \lbrace (x,y) \in R^{2}: x^{10} + y^{10} + xy = 1 \rbrace jest zwarty.

Zatem musimy zbadać, czy jest on domknięty i ograniczony.

Jeśli ktoś umie, niech mi ładnie krok po kroku wytłumaczy jak to zrobić. Dzięki.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 12:58 
Użytkownik

Posty: 109
Lokalizacja: Limanowa / Gliwice
Ten zbiór to krzywa zapisana w postaci uwikłanej... możesz np narysować jej wykres i zobaczysz że jest to krzywa zamknięta (przypomina trochę równoległobok)... jest ona zbiorem zwartym. Dlaczego? Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 577
Lokalizacja: Łódź
BartekPwl napisał(a):
Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.


??? Dlaczego dopełnienie w \mathbb{R}? Co to znaczy "ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności." ???

Ja bym robił tak:
Domkniętość: Funkcja f:\mathbb R^2\to\mathbb R dana wzorem f(x,y)=x^{10}+y^{10}+xy jest funkcją ciągłą, a więc zbiór
\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^{10}+y^{10}+xy=1\}=f^{-1}(\{1\})
jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.

Ograniczoność: Pokażemy, że dla każdego elementu (x,y) naszego zbioru mamy |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2
Istotnie, gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^2(|y|^8-1)>4\cdot255+4\cdot255>1
czyli mamy sprzeczność
Gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|\leqslant2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^{10}-|y|^2>4\cdot255+0-4>1
znowu sprzeczność
Gdybyśmy wreszcie mieli |x|\leqslant2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^{10}-|x|^2+|y|^2(|y|^8-1)>0-4+4\cdot255>1
Jeszcze raz sprzeczność. Wynika stąd, że |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2, czyli nasz zbiór jest ograniczony.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 16:45 
Użytkownik

Posty: 4213
Lokalizacja: Kraków
W kwestii ograniczonosci mozna podac alternatywna forme rozw, tj bez koniecznosci rozpatrywania przypadków, zapis w formie ponizszej , swiadczy iz ze wzgledu na nature , -tj wsp przy najwyzszych potegach w wielomianach w i v nie jest mozliwe, aby dla dowolnie duzych x i y było w(x)
w(x)-v(y)= (x^{10}-\frac{1}{4}x^2)-(1+y^2-y^{10})=-(\frac{1}{2}x+y)^2 \leq 0
:arrow: :arrow:
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 14 gru 2007, o 16:48 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Dzięki, ale mam jeszcze jedno pytanko:

Cytuj:
... jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.


To że {1} jest zbiorem domkniętym to kumam, ale dlaczego przeciwobraz przez funkcję ciągłą zbioru domkniętego jest domknięty? Jakoś tego nie widzę.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 16 gru 2007, o 01:38 
Użytkownik

Posty: 4213
Lokalizacja: Kraków
no taka jest definicja i juz :arrow:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór zwarty - zadanie 3
Sprawdź, czy jest ograniczony i domknięty, a potem powołaj się na twierdzenie Heinego-Borela....
 miauczykotek  2
 zbiór zwarty - zadanie 4
Pokazać, że jeśli X jest lokalnie zwartą przestrzenią typu T_{2}, A zwartym podzbiorem przestrzeni X, a U zbiorem otwartym zawierającym A, to istnieje zbiór zwarty B taki, że A \subset int(B) \subset...
 adam1255  1
 zbiór zwarty - zadanie 2
w jaki sposób wykazać, że kula K_r^n(0)=\{p\in\mathbb{R}^n|<p,p>\leq r^2\} gdzie < , > jest iloczynem skalarnym wektorów zaś r jest normą Eukli...
 inesitka  6
 dowód, że zbiór jest mocy continuum
Mam problem z następującymi zadaniami: Udowodnij, że zbiór jest mocy continuum: A=\left\{ X \subseteq N: \bigwedge\limits_{n\in N} \left( 3n+1 \in X\right) \right\} B=\left\{ f \in Q^{N}: \lim_{ n\to \infty }f(n)=...
 mul  2
 Opisać zbiór punktów należących do zbiorów
Niech A, B, C, D będą czterema dowolnymi zbiorami. Przy pomocy operacji z rachunku zbiorów opisać zbiór tych punktów, które należą do dokładnie trzech z nich....
 mysoulleftme  2
 Zbadać czy podany zbiór jest ograniczony
Zbadać czy podany zbiór jest ograniczony B=\left\{ x \in R : tgx = 7\right\} Pomoże ktoś? ...
 aleP  1
 Wyznacz algebraicznie zbiór tych wszystkich punktów...
Wyznacz algebraicznie zbiór tych wszystkich punktów P(x) osi liczbowej, których suma odległości od punktów A(-3) oraz B(-1) jest mniejsza od 5....
 caban020  1
 Relacja równoważności, klasa abstrakcji i zbiór ilorazowy
Czy poniższe zadanie jest dobrze zrobione? n,m \in \mathbb{N} n \approx m \Leftrightarrow 3|\left( n^{3}-m^{3}\right) Czy podana relacja jest relacją równoważności? TAK[...
 fuss77  5
 Zaznacz na rysunku zbiór - zadanie 2
\left\{ (x;y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ | \ \ (x^2+y^2>1) \Rightarrow \exists z (x^2+(y-z)^2< \frac{1}{4}) \right\} i teraz moje pytanie: jak to w ogóle rozumieć, jak narys...
 adambak  9
 Znaleźć zbiór, relacja i złożenie funkcji
1. Dane są zbiory D = \left\{ 0,1,2 \right\} i E = \left\{ 1,2,3 \right\}. Znaleźć zbiór U taki, że D \cap U = E \setminus U. Czyli z ...
 Tomek_Z  4
 Zaznacz zbiór A i wyznacz A'.
Zaznacz na osi liczbowej zbior A i wyznacz A' jeśli: A=(-3,3)\\ A=(-1,2)\cup (3,5) Jak wyznaczyć A'?...
 Gelogen  1
 Zbiór zamknięty ze względu na dodawanie
Witam! Mam problem z poniższym zadaniem: Znajdź najmniejszy podzbiór zbioru liczb całkowitych, zamknięty ze względu na dodawanie, zawierający: a) 1 b) 2,3 c) 10,15[/tex:4j3c8mao...
 Filippo9669  1
 zbiór skończony
Czy dowolny przedział jest zbiorem skończonym?? Mi sie wydaje, że żaden przedział nie jest zbiorem skończonym, czy tak?? Z góry dzięki za odp. ...
 qaz  5
 Udowodnij zdanie; Narysuj zbiór.
Mam dwa zadania: 1. Które z poniższych implikacji są prawdziwe dla dowolnych zbiorów X i Y : (a) jeśli P(Y) \subseteq X, to Y \subseteq \cup X; (b) jeśli Y \subseteq ...
 Heniek1991  0
 Zbiór częściowego porządku (zagadka).
Podać przykład takiego zbioru częściowego porządku, który posiada jeden element minimalny, ale nie posiada elementu najmniejszego. Przychodzi mi do głowy tylko zbiór jednoelementowy, bo jeżeli w zbiorze jest więcej elementów niż jeden, a tylko jeden...
 JohnFrusciante  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com