szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 11 gru 2007, o 21:31 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Wiadomo że w metryce Euklidesowej zbiór Z jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony i domknięty.
Istnieją też ładne definicje zbioru domkniętego i ograniczonego, jednak mam zawsze problemy ze zrozumieniem jak się sprawdza zwartość, korzystając z powyższego faktu.

Np. Zbadaj, czy zbiór \lbrace (x,y) \in R^{2}: x^{10} + y^{10} + xy = 1 \rbrace jest zwarty.

Zatem musimy zbadać, czy jest on domknięty i ograniczony.

Jeśli ktoś umie, niech mi ładnie krok po kroku wytłumaczy jak to zrobić. Dzięki.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 11:58 
Użytkownik

Posty: 111
Lokalizacja: Limanowa / Gliwice
Ten zbiór to krzywa zapisana w postaci uwikłanej... możesz np narysować jej wykres i zobaczysz że jest to krzywa zamknięta (przypomina trochę równoległobok)... jest ona zbiorem zwartym. Dlaczego? Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 13:16 
Użytkownik

Posty: 577
Lokalizacja: Łódź
BartekPwl napisał(a):
Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.


??? Dlaczego dopełnienie w \mathbb{R}? Co to znaczy "ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności." ???

Ja bym robił tak:
Domkniętość: Funkcja f:\mathbb R^2\to\mathbb R dana wzorem f(x,y)=x^{10}+y^{10}+xy jest funkcją ciągłą, a więc zbiór
\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^{10}+y^{10}+xy=1\}=f^{-1}(\{1\})
jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.

Ograniczoność: Pokażemy, że dla każdego elementu (x,y) naszego zbioru mamy |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2
Istotnie, gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^2(|y|^8-1)>4\cdot255+4\cdot255>1
czyli mamy sprzeczność
Gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|\leqslant2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^{10}-|y|^2>4\cdot255+0-4>1
znowu sprzeczność
Gdybyśmy wreszcie mieli |x|\leqslant2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^{10}-|x|^2+|y|^2(|y|^8-1)>0-4+4\cdot255>1
Jeszcze raz sprzeczność. Wynika stąd, że |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2, czyli nasz zbiór jest ograniczony.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 15:45 
Użytkownik

Posty: 4506
Lokalizacja: Kraków
W kwestii ograniczonosci mozna podac alternatywna forme rozw, tj bez koniecznosci rozpatrywania przypadków, zapis w formie ponizszej , swiadczy iz ze wzgledu na nature , -tj wsp przy najwyzszych potegach w wielomianach w i v nie jest mozliwe, aby dla dowolnie duzych x i y było w(x)
w(x)-v(y)= (x^{10}-\frac{1}{4}x^2)-(1+y^2-y^{10})=-(\frac{1}{2}x+y)^2 \leq 0
:arrow: :arrow:
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 14 gru 2007, o 15:48 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Dzięki, ale mam jeszcze jedno pytanko:

Cytuj:
... jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.


To że {1} jest zbiorem domkniętym to kumam, ale dlaczego przeciwobraz przez funkcję ciągłą zbioru domkniętego jest domknięty? Jakoś tego nie widzę.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 16 gru 2007, o 00:38 
Użytkownik

Posty: 4506
Lokalizacja: Kraków
no taka jest definicja i juz :arrow:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbiór zwarty - zadanie 2
w jaki sposób wykazać, że kula K_r^n(0)=\{p\in\mathbb{R}^n|<p,p>\leq r^2\} gdzie < , > jest iloczynem skalarnym wektorów zaś r jest normą Eukli...
 inesitka  6
 Zbiór zwarty - zadanie 3
Sprawdź, czy jest ograniczony i domknięty, a potem powołaj się na twierdzenie Heinego-Borela....
 miauczykotek  2
 zbiór zwarty - zadanie 4
Pokazać, że jeśli X jest lokalnie zwartą przestrzenią typu T_{2}, A zwartym podzbiorem przestrzeni X, a U zbiorem otwartym zawierającym A, to istnieje zbiór zwarty B taki, że A \subset int(B) \subset...
 adam1255  1
 Dyskretna - baza faktów, sprawdź równość oraz podaj zbiór.
1. Dana jest baza faktów a, c oraz baza reguł: R1: a \wedge c \Rightarrow d R2: d \Rightarrow f R3: f \wedge g \Rightarrow c R4: [tex:...
 mattom  3
 wyznacz zbiór - zadanie 23
Niech A=\left\{x: -2,-1,0,1,2\right\}, B=\left\{y: 0,1,2,3\right\}. Wyznacz zbiór \left( (A \cap B) \times B\right) \setminus \left( B \times (A \cap B)\right)....
 waliant  9
 Ograniczony i niepusty zbiór
Wyrazić funkcję odwrotną względem funkcji obciętej do przedziału poprzez funkcję \inf A \neq 0. Określmy \frac{1}{A} = \left\{ \frac{1}{x} : x \in A \right\} Pokazać, że \sup \l...
 ugabuga333  0
 Zbiór wszystkich nieskończonych wektorów
lukasz.przontka, miałeś udowodnić, że czegoś jest continuum. Przecież udowodnił. JK Rzeczywiście, mój błąd. [...
 matemix  29
 Jak narysować podany zbiór ?
Cześć, czy mogę liczyć na jakieś wskazówki dotyczące poniższego zadania ? Narysuj zbiór określony następująco: A=\{(x, y) \in R^2; \neg (\left| xy\right| < 1) \vee (x^2 +y^2 < 4) \}[/tex:90w4eyku...
 boratsagdyiev  16
 Udowonij że zbiór jest niezliczony
Udowodnij, że zbiór wszystkich nieskończonych ułamków dziesiętnych jest niezliczony....
 olgalagowska  1
 wyznaczyć klasę abstrakcji i zbiór
Witam Mam problem z zadankiem. nie mam bladego pojęcia jak je zrobić, prosiłabym , o wytłumaczenie mi rozwiązania tego zadanka krok po kroku, z góry bardzo dziękuj...
 eupho  2
 Zaznacz na rysunku zbiór - zadanie 3
Witam, mam problem z poniższym zadaniem, w którym mam na rysunku zaznaczyć zbiór: \left\{ \left\langle x,y\right\rangle \in R ^{2}: \left( \left| x\right|<\left| y\right| \Leftrightarrow \left( -y<x<y\right) \ri...
 hank  2
 matematyka dyskretna- zbiór potęgowy
Witam, mam problem z takimi zadaniami: wyznaczyć zbiór potęgowy zbioru \{a,1,b,5\} . Na kolokwium rozwiązałem to zadanie w następujący sposób Wypisałem wszystkie możliwości podzbiorów, tzn. wszyst...
 adi20  3
 Zbiór spełniania funkcji zdaniowych
Wyznaczyć zakres zmienności(dziedzinę) w R i zbiór spełniania funkcji zdaniowych: \exists x\in R \ (x+y=1) \forall x\in R \ (x+y) \le 1) Proszę o pomoc. Czy ten zbiór speł...
 spirit121  3
 Znajdź zbiór - zadanie 3
Witam, mam kilka zadań przy któych potrzebuję Waszej pomocy ! Każda pomoc wskazana Treść zadania tak jak w temacie. L=\{ x \in \mathbb R; \bigvee...
 boratsahgdyiev1  1
 Zbiór niewłaściwy
http://pl.wikipedia.org/wiki/Podzbiór...
 Asade  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com