szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 11 gru 2007, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Wiadomo że w metryce Euklidesowej zbiór Z jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony i domknięty.
Istnieją też ładne definicje zbioru domkniętego i ograniczonego, jednak mam zawsze problemy ze zrozumieniem jak się sprawdza zwartość, korzystając z powyższego faktu.

Np. Zbadaj, czy zbiór \lbrace (x,y) \in R^{2}: x^{10} + y^{10} + xy = 1 \rbrace jest zwarty.

Zatem musimy zbadać, czy jest on domknięty i ograniczony.

Jeśli ktoś umie, niech mi ładnie krok po kroku wytłumaczy jak to zrobić. Dzięki.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 12:58 
Użytkownik

Posty: 111
Lokalizacja: Limanowa / Gliwice
Ten zbiór to krzywa zapisana w postaci uwikłanej... możesz np narysować jej wykres i zobaczysz że jest to krzywa zamknięta (przypomina trochę równoległobok)... jest ona zbiorem zwartym. Dlaczego? Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 577
Lokalizacja: Łódź
BartekPwl napisał(a):
Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.


??? Dlaczego dopełnienie w \mathbb{R}? Co to znaczy "ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności." ???

Ja bym robił tak:
Domkniętość: Funkcja f:\mathbb R^2\to\mathbb R dana wzorem f(x,y)=x^{10}+y^{10}+xy jest funkcją ciągłą, a więc zbiór
\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^{10}+y^{10}+xy=1\}=f^{-1}(\{1\})
jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.

Ograniczoność: Pokażemy, że dla każdego elementu (x,y) naszego zbioru mamy |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2
Istotnie, gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^2(|y|^8-1)>4\cdot255+4\cdot255>1
czyli mamy sprzeczność
Gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|\leqslant2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^{10}-|y|^2>4\cdot255+0-4>1
znowu sprzeczność
Gdybyśmy wreszcie mieli |x|\leqslant2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^{10}-|x|^2+|y|^2(|y|^8-1)>0-4+4\cdot255>1
Jeszcze raz sprzeczność. Wynika stąd, że |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2, czyli nasz zbiór jest ograniczony.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 16:45 
Użytkownik

Posty: 4527
Lokalizacja: Kraków
W kwestii ograniczonosci mozna podac alternatywna forme rozw, tj bez koniecznosci rozpatrywania przypadków, zapis w formie ponizszej , swiadczy iz ze wzgledu na nature , -tj wsp przy najwyzszych potegach w wielomianach w i v nie jest mozliwe, aby dla dowolnie duzych x i y było w(x)
w(x)-v(y)= (x^{10}-\frac{1}{4}x^2)-(1+y^2-y^{10})=-(\frac{1}{2}x+y)^2 \leq 0
:arrow: :arrow:
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 14 gru 2007, o 16:48 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Dzięki, ale mam jeszcze jedno pytanko:

Cytuj:
... jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.


To że {1} jest zbiorem domkniętym to kumam, ale dlaczego przeciwobraz przez funkcję ciągłą zbioru domkniętego jest domknięty? Jakoś tego nie widzę.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 16 gru 2007, o 01:38 
Użytkownik

Posty: 4527
Lokalizacja: Kraków
no taka jest definicja i juz :arrow:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbiór zwarty - zadanie 2
w jaki sposób wykazać, że kula K_r^n(0)=\{p\in\mathbb{R}^n|<p,p>\leq r^2\} gdzie < , > jest iloczynem skalarnym wektorów zaś r jest normą Eukli...
 inesitka  6
 Zbiór zwarty - zadanie 3
Sprawdź, czy jest ograniczony i domknięty, a potem powołaj się na twierdzenie Heinego-Borela....
 miauczykotek  2
 zbiór zwarty - zadanie 4
Pokazać, że jeśli X jest lokalnie zwartą przestrzenią typu T_{2}, A zwartym podzbiorem przestrzeni X, a U zbiorem otwartym zawierającym A, to istnieje zbiór zwarty B taki, że A \subset int(B) \subset...
 adam1255  1
 Zbiór liczb całkowitych podzielnych przez 3
Pierwszy zapis jest niepoprawny, drugi jest naciągany, a trzeci jest poprawny i zdecydowanie najlepszy. Poprawnym formalnie zapisem jest także(oprócz tego ostatniego) zapis: A=\{n \in \mathbb{Z}:( \exists k \in \mathbb{Z})n=3k\}...
 bartoszwitek  3
 Zbiór zbioru zbiorów
Jakie to zbiory, które spełniają formę zdaniowa tzn. zbiory które nie są swoimi elementami ?...
 Micha?12345  3
 Zbiór Łuzina
Niech L \subseteq \mathbb{R} zbiorem o następującej własności: L jest mocy continuum i dla każdego zbioru nigdziegęstego N \subseteq \mathbb{R} zachodzi [tex:34j...
 Tomasz Tkaczyk  2
 Zbiór l. naturalnych podzielnych przez (...) etc.
a) zbiór l. naturalnych niepodzielnych przez 3 b) zbiór l. rzeczywistych mniejszych od 3 i większych od 1 c) zbiór l. całkowitch parzystych podzielnych przez 3 Proszę o pomoc ...
 Gravx  10
 Sprawdz czy dany zbiór jest funkcja.
Sprawdz czy dany zbiór jest funkcja. Jesli tak, okresl jej dziedzine i przeciwdziedzine Jak mam taki zbior: \left\{ \left( x,Y\right) \in R \times P(R): \forall y\left( y \in Y \rightarrow y^{2}=x \right) \ri...
 Kryftof  1
 Warunki na zbiór dobrze uporządkowany
Załóżmy, że zbiór \left( X, R \right) jest dobrze uporządkowany. Znaleźć warunek konieczny i wystarczajacy na to, aby zbiór \left( X, R ^{-1} \right) też był dobrze uporządkowa...
 KasienkaG  2
 Zbiór kresów - pare problemów
Hej mam problem z paroma zadaniami z kresów. Mam nadzieje, że ktoś mi pomoże, z góry dzieki 1. Wykaz, ze jezeli A jest zbiorem wszystkich liczb niewymiernych z przedziału (0, 1) to A + A = (0, 2). 2. Korzystajac z Zasady Archimedesa wykaz, ze w kaz...
 Stork  2
 Narysować zbiór - zadanie 6
Skąd ta prosta? Pierwsze równanie opisuje wnętrze elipsy, drugie to obszar nad parabolą y=x^{2}-3....
 rolnik41  2
 wyznaczyc zbior spelniania i zakres zmiennosci
Witam, Mam problem z takim zadaniem: wyznaczyc zbior spelniania i zakres zmiennosci podanych funkcji zdaniowych: \phi (x):\equiv x^2 + 2x -35 > 0 No właśnie, zakres zmienności, rozumiem jako coś podobnego do...
 marvell  7
 jak rozpisać zbiór metodą dodowow?
witam mam taki problem poniewaz studiuje teraz zeszyt do matematyki i napotkałem na ten wzór A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ...
 syberius93  5
 Udowodnij, że zbiór jest ograniczony z góry, sprawdzenie.
Proszę o sprawdzenie zadania. Niech M będzie ograniczonym z dołu niepustym podzbiorem zbioru R. Określamy zbiór -M wzorem: -M:={-x: x \in M}={y \in R:-y \in M} Udowodnić, że zbiór -M jest ograniczony z góry i zachodzi wz...
 Natasha  0
 Znajdź zbiór potęgowy - sprawdzenie
Cześć, chciałbym prosić o sprawdzenie, bo nie wiem czy rozumiem zbiory w zbiorach. P(\{a,\{b\} \}) = \{ \emptyset, \{a\},\{\emptyset,\{b\}\},\{a,\{\emptyset,\{b\}\}\} \} Pozdrawiam i dzięki za pomoc....
 nwnuinr  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com