szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 11 gru 2007, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Wiadomo że w metryce Euklidesowej zbiór Z jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony i domknięty.
Istnieją też ładne definicje zbioru domkniętego i ograniczonego, jednak mam zawsze problemy ze zrozumieniem jak się sprawdza zwartość, korzystając z powyższego faktu.

Np. Zbadaj, czy zbiór \lbrace (x,y) \in R^{2}: x^{10} + y^{10} + xy = 1 \rbrace jest zwarty.

Zatem musimy zbadać, czy jest on domknięty i ograniczony.

Jeśli ktoś umie, niech mi ładnie krok po kroku wytłumaczy jak to zrobić. Dzięki.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 12:58 
Użytkownik

Posty: 109
Lokalizacja: Limanowa / Gliwice
Ten zbiór to krzywa zapisana w postaci uwikłanej... możesz np narysować jej wykres i zobaczysz że jest to krzywa zamknięta (przypomina trochę równoległobok)... jest ona zbiorem zwartym. Dlaczego? Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 577
Lokalizacja: Łódź
BartekPwl napisał(a):
Domknięta - bo jej dopełnienie w \mathbb{R} jest zbiorem otwartym. Ograniczona - bo ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności.


??? Dlaczego dopełnienie w \mathbb{R}? Co to znaczy "ani x ani y nie przyjmują wartości w nieskończoności." ???

Ja bym robił tak:
Domkniętość: Funkcja f:\mathbb R^2\to\mathbb R dana wzorem f(x,y)=x^{10}+y^{10}+xy jest funkcją ciągłą, a więc zbiór
\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^{10}+y^{10}+xy=1\}=f^{-1}(\{1\})
jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.

Ograniczoność: Pokażemy, że dla każdego elementu (x,y) naszego zbioru mamy |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2
Istotnie, gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^2(|y|^8-1)>4\cdot255+4\cdot255>1
czyli mamy sprzeczność
Gdybyśmy mieli |x|>2 oraz |y|\leqslant2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^2(|x|^8-1)+|y|^{10}-|y|^2>4\cdot255+0-4>1
znowu sprzeczność
Gdybyśmy wreszcie mieli |x|\leqslant2 oraz |y|>2 to byłoby
1=x^{10}+y^{10}+xy\geqslant|x|^{10}+|y|^{10}-2|x||y|=\\
=|x|^{10}+|y|^{10}-|x|^2-|y|^2+(|x|-|y|)^2\geqslant\\
\geqslant|x|^{10}-|x|^2+|y|^2(|y|^8-1)>0-4+4\cdot255>1
Jeszcze raz sprzeczność. Wynika stąd, że |x|\leqslant2 oraz |y|\leqslant2, czyli nasz zbiór jest ograniczony.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 12 gru 2007, o 16:45 
Użytkownik

Posty: 4296
Lokalizacja: Kraków
W kwestii ograniczonosci mozna podac alternatywna forme rozw, tj bez koniecznosci rozpatrywania przypadków, zapis w formie ponizszej , swiadczy iz ze wzgledu na nature , -tj wsp przy najwyzszych potegach w wielomianach w i v nie jest mozliwe, aby dla dowolnie duzych x i y było w(x)
w(x)-v(y)= (x^{10}-\frac{1}{4}x^2)-(1+y^2-y^{10})=-(\frac{1}{2}x+y)^2 \leq 0
:arrow: :arrow:
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 14 gru 2007, o 16:48 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Dzięki, ale mam jeszcze jedno pytanko:

Cytuj:
... jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1} pod działaniem funkcji ciągłej f.


To że {1} jest zbiorem domkniętym to kumam, ale dlaczego przeciwobraz przez funkcję ciągłą zbioru domkniętego jest domknięty? Jakoś tego nie widzę.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zbiór zwarty
PostNapisane: 16 gru 2007, o 01:38 
Użytkownik

Posty: 4296
Lokalizacja: Kraków
no taka jest definicja i juz :arrow:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbiór zwarty - zadanie 4
Pokazać, że jeśli X jest lokalnie zwartą przestrzenią typu T_{2}, A zwartym podzbiorem przestrzeni X, a U zbiorem otwartym zawierającym A, to istnieje zbiór zwarty B taki, że A \subset int(B) \subset...
 adam1255  1
 zbiór zwarty - zadanie 2
w jaki sposób wykazać, że kula K_r^n(0)=\{p\in\mathbb{R}^n|<p,p>\leq r^2\} gdzie < , > jest iloczynem skalarnym wektorów zaś r jest normą Eukli...
 inesitka  6
 Zbiór zwarty - zadanie 3
Sprawdź, czy jest ograniczony i domknięty, a potem powołaj się na twierdzenie Heinego-Borela....
 miauczykotek  2
 Zbiór nieprzeliczalny, dowód z logiki
Mam takie zadanie z logiki: P(N)- nieprzeliczalny, oczywiście udowodnić... Należy robić to metodą "nie wprost", dlatego zakładam że P(N) - przeliczalny [tex:36you7tj...
 myturn  4
 Sprawdź czy zbiór posiada kres górny
W zbiorze wszystkich funkcji f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q} definiujemy relację porządku: f \le g \Leftrightarrow f(n) \le g(n) dla wszystkich n[/tex:274op6l...
 act  1
 Dziedzina i zbiór elementów.
Wyznacz dziedzinę i zbiór elementów (Dp) spełniających złożone formy zdaniowe: d) s(x): (x² -25) \x+7{} \vee \frac{2x+6}{x+5} =0 Mam z tym kłopot, ponieważ nie wiem od czego zacząć, na co zwrócić u...
 madzik1000  3
 Zbiór dobrze ufundowany, a dobrze uporządkowany
Witam, Na czym polega różnica pomiędzy tymi zbiorami ?...
 matinf  1
 znajdż zbiór spełniający warunek - zadanie 2
Jeśli wiadomo, że B= \left\{ x \in R: x \in (-2,3)\right\} , podaj przykład zbioru A, które spełnia równość: A' \cap B'= \left\{ { x \in R: x \in (- \infty ,-4) \cup (-4,-2\rangle...
 Karolina93  3
 zbiór pusty - zadanie 9
Czy zbiór pusty jest rodziną podzbiorów dowolnego zbioru?...
 duuj  9
 Zbiór ilorazowy
Niech (a,b) \approx (c,d) \Leftrightarrow ac>0 \wedge abcd>0 dla (a,b), (c,d) \in (\mathbb{Q} \setminus 0) ^{2} b) Znajdź (...
 jk3mo  4
 Relacja równowazności i zbior ilorazowy
Dla podanych zbiorów Xi relacji R w X sprawdzić, czyR jest relacją równoważności. Jeśli jest opisac zbiór ilorazowyX_{/R...
 Tomek_Z  6
 Czy istnieje zbiór spełniający warunek?
Czy istnieje zbiór X taki, że |P(X)|= \aleph_0 ?...
 act  8
 Wydzielono z: [relacje równoważności] zbior wielomianow
o co chodzi w relacji \rho w wielomianach...
 agata1990-18  10
 Opisz słowami zbiór
Opisz słowami zbiór x = \{ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \}...
 Nominalista  1
 Ile elementów może mieć zbiór
Witam, mam problem z zadaniem. Proszę o jakieś wskazówki. Niech zbiór A ma a elementów, zbiórB ma b elementów, zbiór C...
 t137  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com