szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2005, o 15:21 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Lublin
Mam takie zadanko, i nie wiem jak je ugryźć:
Wykaż, że okąg wpisany w trójkąt prostokątny jest styczny do przeciwprostokątnej w punkcie dzielącym przeciwprostokątną na odcinki, których iloczyn jest równy polu tego trójkata
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2005, o 15:51 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
Niech x i y będą tymi odcinkami. Zauważ, że x=a-r i y=b-r, gdzie r to promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

P=\frac{1}{2}ab oraz xy=ab+r^2-ar-br
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2005, o 16:19 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2973
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Przyjmijmy, że punkty styczności okręgu do boków dzielą je w następujący sposób:

* przyprostokątne na x,z oraz z,y
* przeciwprostokątną na x,y.

Aby ustalić kolejność oznaczeń skorzystaj z twierdzenia o stycznych do okręgu.

Pole naszego trójkąta to:

s=\frac{(x+z)(z+y)}{2}

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

(x+z)^2+(z+y)^2=(x+y)^2

Po prostych przekształceniach dostajemy:

z^2=xy-yz-xz

s=\frac{xz+xy+z^2+yz}{2}

Wstawiając to, co otrzymaliśmy z tw. Pitagorasa mamy:

s=\frac{xz+xy+xy-yz-xz+yz}{2}=\frac{2xy}{2}=xy,

z czego prosto wynika nasza teza.


Ups, spóźniłem się =)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2007, o 18:04 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Warszawa
Tomasz Rużycki napisał(a):

s=\frac{xz+xy+z^2+yz}{2}



Witam. Wybaczcie za odświeżenie... ale skąd to sie wzieło ? :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Okrag wpisany w trójkąt prostokatny
Mamy dany trójkąt prostokątny gdzie kat przy A jest prosty bok AB ma długość 5 a odcinek AD gdzie D jest środkiem CB wynosi 6,5. Pytanie ile wynosi promień okręgu wpisanego w trójkąt to jest abcd więc mogę powiedzieć że odpowiedź jest liczba całkowit...
 justynian  4
 Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - zadanie 4
Udowodnij, że punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną dzieli tą przeciwprostokątną na odcinki, których iloczyn jest równy polu tego trójkąta....
 Revius  1
 okrag wpisany w trojkat prostokatny
dany jest trojkat prostokatny ABC w ktorym |<C|=90 stopni. w trojkacie tym poprowadzono wysokosc CD. wykaz ze |CD|= r+r_1+r_2 gdzie r, r1,r2 sa odpowiednio dlugosciami promieni okregow wpisanych w trojkaty [tex:1zivvpz...
 betka130999  1
 okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - zadanie 7
w trójkąt prostokątny ABC wpisano okrąg . Punkty M, N ,P sa punktami styczności okręgu odpowiednio z bokami AC,BC oraz AB . Przeciwprostokątna AB ma długość 20 cm a długości przyprostokątnych pozostaja w stosunku AC : BC =3:4 . Oblicz obwód trójkąta ...
 ola123_89  1
 Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - zadanie 3
W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego o wierzchołku A przecina przeciwprostokątną w punkcie D. Środek okręgu wpisanego w ten trójkąt dzieli odcinek AD w stosunku \sqrt{3} : \sqrt{2} licząc od punktu A. Wyznac...
 Mistermasyl  1
 okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - zadanie 11
promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy r, a jeden z kątów ostrych ma miarę \alpha wyznacz pole tego trójkąta...
 mizzrym  0
 Okrąg wpisany w trójkat prostokątny
Oblicz, jaka długośc ma promień okręgu wpisanego w trójkat prostokątny o bokach długości: a) 3, 4, 5, b) 5, 12, 13 Jakby mógł ktoś mi to rozwiązać i objaśnić, byłbym wdzięczny, gdyż nie za bardzo wiem, jak to zrobić....
 Batix12  1
 Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - zadanie 9
Prosze o pomoc w rozwiazaniu zad. Treść: W trójkąt prostokątny ABC wpisano okrąg. Punkty M,N,P są punktami styczności okręgu odpowiednio z bokami AC, BC, i AB. Przeciwprostokątna AB ma długość 20cm, a dł. przyprostokątnych pozostają w stosunku AC : B...
 michu3211  1
 okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - zadanie 12
Mam takie zadanie: Symetralne przyprostokątnych trójkąta prostokątnego (długości ramion wynoszą 3 i 4 dm) przecinają się pod kątem prostym. W trójkąt ten wpisany jest okrąg. Trzeba wyznaczyć na jakie odcinki podzieliły punkty styczności okręgu z trój...
 gosia89  10
 Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - zadanie 2
Na okręgu o promieniu długości r opisano trójkąt prostokątny, którego jeden z wierzchołków oddalony jest od środka okręgu o r\sqrt{26} Oblicz: a) obwód trójkąta b) pole trójkąta c) pole koła opisanego na tym trójkącie N...
 DarthRaven  2
 okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - zadanie 6
przyprostokątne trójkąta prostokatnego mają długości 3 i 4.Znajdź długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt . Rozwiązać 2 sposobami!...
 a91  8
 Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - zadanie 5
Na okręgu o promieniu 4 cm opisano trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 10 cm. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta. http://img227.imageshack.us/img227/3474/trws4.jpg...
 mariusz48  3
 Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - zadanie 13
W trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości |BC|=6 |AC|=8 wpisano okrąg, który jest styczny do boków AB, BC, CA odpowiednio...
 karo777  6
 Okrąg wpisany w trójkat prostokątny - zadanie 2
Zad. 1. W trójkąt prostokątny wpisano okrąg o promieniu długości 1. Oblicz pole tego trójkąta, jeśli jedna z jego przyprostokątnych ma długość 3. Proszę o podanie odpowiedzi. Mi wyszło 4,5 Zad. 2. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójk...
 Agat5  16
 okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - zadanie 8
Bok prostokąta ma długość 24 cm, a przekątna 26 cm. Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty. W każdy z nich wpisujemy koło. Oblicz odległość między środkami tych kół. Ważne!...
 patrycja3601  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com