szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2005, o 16:21 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Lublin
Mam takie zadanko, i nie wiem jak je ugryźć:
Wykaż, że okąg wpisany w trójkąt prostokątny jest styczny do przeciwprostokątnej w punkcie dzielącym przeciwprostokątną na odcinki, których iloczyn jest równy polu tego trójkata
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2005, o 16:51 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
Niech x i y będą tymi odcinkami. Zauważ, że x=a-r i y=b-r, gdzie r to promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

P=\frac{1}{2}ab oraz xy=ab+r^2-ar-br
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2005, o 17:19 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2973
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Przyjmijmy, że punkty styczności okręgu do boków dzielą je w następujący sposób:

* przyprostokątne na x,z oraz z,y
* przeciwprostokątną na x,y.

Aby ustalić kolejność oznaczeń skorzystaj z twierdzenia o stycznych do okręgu.

Pole naszego trójkąta to:

s=\frac{(x+z)(z+y)}{2}

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

(x+z)^2+(z+y)^2=(x+y)^2

Po prostych przekształceniach dostajemy:

z^2=xy-yz-xz

s=\frac{xz+xy+z^2+yz}{2}

Wstawiając to, co otrzymaliśmy z tw. Pitagorasa mamy:

s=\frac{xz+xy+xy-yz-xz+yz}{2}=\frac{2xy}{2}=xy,

z czego prosto wynika nasza teza.


Ups, spóźniłem się =)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2007, o 19:04 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Warszawa
Tomasz Rużycki napisał(a):

s=\frac{xz+xy+z^2+yz}{2}



Witam. Wybaczcie za odświeżenie... ale skąd to sie wzieło ? :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Okrąg wpisany w trójkat prostokątny  Batix12  1
 Okrag wpisany w trójkąt prostokatny  justynian  4
 Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - zadanie 14  MichalProg  2
 Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - zadanie 9  michu3211  1
 Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny - zadanie 3  Mistermasyl  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com