[ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2008, o 21:04 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Poznań
Witam.

Jak prostą metodą sprawdzić czy wektory są liniowo niezależne? Wiem, że trzeba wpisać je w macierz, ale jak i jaki powinien być następny krok? Obliczenie wyznacznika?

Zadanie :
Sprawdzić, czy w przestrzeni R^{3} wektory są liniowo niezależne :
v=(1, 4, 3), w=(-1, 2, -1), u=(0, 6, 4).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2008, o 21:45 
Użytkownik

Posty: 135
Lokalizacja: Wrocław
Wektory są liniowo niezależne gdy,
c_1v_1+c_2v_2+\cdots c_nv_n=0 \Leftrightarrow c_1=c_2=\cdots =c_n=0
Czyli rozwiązujemy równanie
c_1v+c_2w+c_3u=0
i jeśli rozwiązaniem jest c_1=c_2=c_3=0, to wektory są liniowo niezależne.
c_1(1, 4, 3)+c_2(-1, 2, -1)+c_3(0, 6, 4)=(0,0,0)\\
\begin{cases} 
c_1-c_2=0\\
4c_1+2c_2+6c_3=0\\
3c_1-c_2+4c_3=0
\end{cases}
Taki układ równań rozwiązuje się bardzo szybko, szczególnie jeśli rzeczywiście wektory są niezależne.
c_1=c_2\\
-c_1=c_3\\
c_1=0\\
c_2=c_3=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2008, o 23:21 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Poznań
Dzięki.
Sposób dobry, ale gorzej jak trzeba obliczyć 4 wektory przestrzeni R^4. Wtedy już jest mniej ciekawie, a na pewno bardziej czasochłonnie - nie ma jakiegoś innego sposobu aby to obliczyć? Zastosować jakoś macierz?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2008, o 23:38 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2656
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
aquaz napisał(a):
nie ma jakiegoś innego sposobu aby to obliczyć?

obliczyć ten układ równań wykorzystując wzory Cramera
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2008, o 01:56 
Użytkownik

Posty: 3101
Lokalizacja: Zarów
Jeśli wektory można "ułożyć" w macierz kwadratową, to można liczyć wyznacznik. Jeśli wektory są liniowo zależne, to wyznacznik wyjdzie 0, w przeciwnym przypadku - różny od zera.
Ale jak już napisałem nie z każdego układu wektorów da się "zrobić" tablicę kwadratową, np z wektorów e _{1}=(1,0,0), e _{2}=(0,1,0).te akurat są liniowo niezależne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2008, o 02:04 
Użytkownik

Posty: 623
Lokalizacja: ..
No to wpisujesz kolejne wektory jako kolumny macierzy. I otrzymaną macierz próbujesz sprowadzić do macierzy schodkowej.
I tak np: \left|\begin{array}{ccccccc}1&2&1&3&1&1&1\\0&0&3&1&3&1&1\\0&0&0&1&6&1&2\\0&0&0&0&0&9&-2\end{array}\right|
niezależne są np. wektory (które odpowiadają kolejnym kolumną) pierwszy, trzeci czwarty i szósty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 cze 2009, o 15:22 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: z fotela
Czyli wektory wpisujemy w macierz kolumnami?

I jeszcze takie pytanie. Jeżeli mamy jakiś zbiór wektorów i wiemy, że np. 3 z nich są liniowo zależne to można stwierdzić, że ten zbiór jest liniowo zależny? Czy jest analogicznie jeżeli rozpatruje się wektory liniowo niezależne?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 cze 2009, o 21:11 
Użytkownik

Posty: 3101
Lokalizacja: Zarów
lukas_7 napisał(a):
Czy jest analogicznie jeżeli rozpatruje się wektory liniowo niezależne?

Nie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wektory dołączone - jak ich szukać.
Mam podaną macierz A= \left[\begin{array}{ccc} 15&1&17\\ 12&0&13\\ -12&-1&-14 \end{array}\right] Mamy macierze C= \left[\begin{array}{ccc} 1&0&-4\\ 1&1&-3\\ -1&...
 Grypho  0
 Pary wlasne a wektory własne...
Czy para własna macierzy to to samo co wektor własny macierzy? Jeśli nie to co to jest para własna?...
 rolnik41  1
 układ 17 równań liniowych, czy wektory... są rozwiązaniami
W jaki sposób robi się zadania tego typu: Dany jest układ 17 równań liniowych jednorodnych z 4 niewiadomymi. Wiadomo, że wektory (1,0,0,0) i [tex:2enwtcd6...
 QAZ123*  2
 Wartości i wektory własne - zadanie 13
...
 D-Mic  0
 jakie sa wektory glowne tej macierzy?
aha, czyli tak wyglada macierz Jordana dla tej macierzy. Chyba zle sie zabralam do robienia tego zadania. Bo w zadaniu jest pytanie czy macierz A=\left[/...
 Karka  5
 wartość "a" dla której wektory liniowo niezależne.
Wystarczy sprawdzić tylko jeden warunek, gdyż masz przestrzeń R^3 i 3 wektory. Najłatwiej sprawdź dla jakiej wartości parametru wektory są liniowo niezależne licząc wyznacznik macierzy (musi b...
 timus221  2
 czy wektory tworza baze?
Czy wektory \vec{a},\vec{b},\vec{c} tworza baze w przestrzeni 3-wymiarowej, wyjasnic? \vec{a}=i+3j+2k \\ \vec{b}=2i+2j-4k\\ \vec{c}=4j+8k nastepne pytanie czy wektory \vec{i},\v...
 pawel52  2
 Wektory tworzące łamaną
Witam. Zadanie na kolo: Dane są 4 wektory: a=i+5j+3k, b=6i-4j-2k, c=-5j+7k, d=-20i+27j-35k. Dobierz liczby \alpha ...
 mobopx  9
 Jakie jest rozwiązanie układu równań zależne od parametru p.
Witam mam taki układ równań ( proszę sprawdzić czy dobrze zrobiłem) \begin{cases} -px-y+z=0\\0-py+z=0\\-x+0+(1-p)z=0\end{cases} Rozwiązuję za pomocą wzorów Cramera. det _{A}=(-p+1)(p ^...
 BarSlo  3
 wartosc w ktorej wektory są położone na jednej płaszczyźnie
Dla jakiej wartości k wektory: \vec{a} = , \vec{b} = , \vec{c} = są położone w jednej płaszczyźnie? Prosze o rozwiazanie...
 czartor  4
 wektory i wartości własne - zadanie 6
Wyznaczyć wektory i własności własne endomorfizmu \varphi w przestrzeni \mathbb{R}^{2} danego wzorem \varphi = Mam defi...
 kalik  5
 Wykaz/Sprawdz ze wektory/uklady tworza baze
Zad.1 Niech a,b,c \in \mathbb{R}. Mamy a+b+c=\theta \Rightarrow a=b=c=0 - liniowa niezależność. Pokażemy, że generują całą przestrzeń: Niech x,y,z[/tex:2pi1c...
 ogre  2
 Rozwiązania układów zależne od m
Witam, Proszę o pomoc z układami: \begin{cases} (1+m)x+y+z=m+1 \\ x+(1+m)y+z=m+1 \\ x+y+(1+m)z=1 \end{cases} coś mi mocno nie idzie. Pozdrawiam i dziękuję....
 raziel00  3
 Szukanie bazy, wektory, macierze
Witam wszystkich mam pewne problemy z kilkoma zadaniami które robiliśmy na ćwiczeniach z baz i wektorów a nie do końca znalazłem odpowiedzi na moje pytania. A mianowicie Dana jest orzestrzeń liniowa w przestrzeni R^{4} ...
 rafal92909  1
 Czy kolumny macierzy są wektorami liniowo niezależnymi?
Sprawdzić czy kolumny macierzy A=\left są wektorami liniowo niezależnymi....
 niesuch  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com