[ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2008, o 21:04 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Poznań
Witam.

Jak prostą metodą sprawdzić czy wektory są liniowo niezależne? Wiem, że trzeba wpisać je w macierz, ale jak i jaki powinien być następny krok? Obliczenie wyznacznika?

Zadanie :
Sprawdzić, czy w przestrzeni R^{3} wektory są liniowo niezależne :
v=(1, 4, 3), w=(-1, 2, -1), u=(0, 6, 4).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2008, o 21:45 
Użytkownik

Posty: 135
Lokalizacja: Wrocław
Wektory są liniowo niezależne gdy,
c_1v_1+c_2v_2+\cdots c_nv_n=0 \Leftrightarrow c_1=c_2=\cdots =c_n=0
Czyli rozwiązujemy równanie
c_1v+c_2w+c_3u=0
i jeśli rozwiązaniem jest c_1=c_2=c_3=0, to wektory są liniowo niezależne.
c_1(1, 4, 3)+c_2(-1, 2, -1)+c_3(0, 6, 4)=(0,0,0)\\
\begin{cases} 
c_1-c_2=0\\
4c_1+2c_2+6c_3=0\\
3c_1-c_2+4c_3=0
\end{cases}
Taki układ równań rozwiązuje się bardzo szybko, szczególnie jeśli rzeczywiście wektory są niezależne.
c_1=c_2\\
-c_1=c_3\\
c_1=0\\
c_2=c_3=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2008, o 23:21 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Poznań
Dzięki.
Sposób dobry, ale gorzej jak trzeba obliczyć 4 wektory przestrzeni R^4. Wtedy już jest mniej ciekawie, a na pewno bardziej czasochłonnie - nie ma jakiegoś innego sposobu aby to obliczyć? Zastosować jakoś macierz?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2008, o 23:38 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2656
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
aquaz napisał(a):
nie ma jakiegoś innego sposobu aby to obliczyć?

obliczyć ten układ równań wykorzystując wzory Cramera
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2008, o 01:56 
Użytkownik

Posty: 3101
Lokalizacja: Zarów
Jeśli wektory można "ułożyć" w macierz kwadratową, to można liczyć wyznacznik. Jeśli wektory są liniowo zależne, to wyznacznik wyjdzie 0, w przeciwnym przypadku - różny od zera.
Ale jak już napisałem nie z każdego układu wektorów da się "zrobić" tablicę kwadratową, np z wektorów e _{1}=(1,0,0), e _{2}=(0,1,0).te akurat są liniowo niezależne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2008, o 02:04 
Użytkownik

Posty: 623
Lokalizacja: ..
No to wpisujesz kolejne wektory jako kolumny macierzy. I otrzymaną macierz próbujesz sprowadzić do macierzy schodkowej.
I tak np: \left|\begin{array}{ccccccc}1&2&1&3&1&1&1\\0&0&3&1&3&1&1\\0&0&0&1&6&1&2\\0&0&0&0&0&9&-2\end{array}\right|
niezależne są np. wektory (które odpowiadają kolejnym kolumną) pierwszy, trzeci czwarty i szósty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 cze 2009, o 15:22 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: z fotela
Czyli wektory wpisujemy w macierz kolumnami?

I jeszcze takie pytanie. Jeżeli mamy jakiś zbiór wektorów i wiemy, że np. 3 z nich są liniowo zależne to można stwierdzić, że ten zbiór jest liniowo zależny? Czy jest analogicznie jeżeli rozpatruje się wektory liniowo niezależne?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 cze 2009, o 21:11 
Użytkownik

Posty: 3101
Lokalizacja: Zarów
lukas_7 napisał(a):
Czy jest analogicznie jeżeli rozpatruje się wektory liniowo niezależne?

Nie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wektory własne, podwójna wartość własna
Dla macierzy \left[ \begin{array}{ccc} 1&2&-1 \\ 1&2&-1 \\ 2&2&-1 \end{array} \right] wartości własne wynoszą \lambda_{1} = 0 i podwójne \lambda_{2} = 1...
 KaBaSZo  2
 wketory liniowo nie zależne
\ zbadaj czy wektory są liniowo niezależne. -Troche nie wiem jak to zrobić?...
 izak110  5
 Wektory własne a macierz jednostkowa
Witajcie, mam pytanie (myślę) dość proste i szybkie. Załóżmy że mam macierz A. Wyliczam dla niej wartości własne \lambda_{1} \ldots \lambda_{n} Dla jakiegoś \lambda_{i}[/tex:2f...
 Browning0  2
 wektory i wartości własne macierzy - zadanie 3
Witam, mam problem z policzeniem wektora wlasnego takiej o to macierzy: A=\left Wartości własne i przypisane im wektory własne: \alpha_{1}=1,[/tex:1zc...
 matticzer  4
 wartości i wektory własne macierzy - zadanie 2
Zad. Dla poniższej macierzy wyznacz jej wartości własne wraz z ich krotnościami algebraicznymi i geometrycznymi oraz wektory własne im odpowiadające. \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\-6&1&-6\\-3&-1&-1\end{array}\ri...
 Hatcher  5
 wektory pole czworoscianu
Witam. nie wiem jak sie zabrac za dwa zadania 1. obliczyc i objetosc pole czworoscianu rozpietego na wektorach u= , v= , w= 2. pole i objetosc czworoscianu o wierzcholkach w punktach A=(0,0,1), B=(0,1,0), C=(-1,0,0) prosilbym...
 frerus  2
 Wyrażanie wektorów przez inne wektory
1.W równoległoboku ABCD wyrazic wektory \vec{AB} i \vec{AD} przez wektory \vec{AC} i \vec{BD}. 2.W trapezie OABC zachodzi warunek [tex...
 monykaa91  4
 udowodnij twierdzenie wektory
Udowodnij twierdzenie: Jeżeli diagonalne czworokąta dzielą siebie na połowy to jest on równoległobokiem. Niech A, B, C, D będą wierzchołkami czworokąta, a rA, rB, rC, rD ich wektorami wodzącym...
 AdrianSZ45  1
 wektory w trójwymiarowej przestrzeni
Proszę o pomoc przy zadaniu: W trójwymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem liczb rzeczywistych wybrano bazę złożoną z wektorów e{1}, e{2}, e{3} . Jakie kolumny liczb odpowiadają wektorom e{1}, e{2}, e{3} w tej bazie?...
 paulina153  1
 Macierz 3x3, wektory własne
Mam takie krótkie zadanie: Podaj przykład macierzy 3x3 takiej, że dokładnie jeden z poniższych wektorów nie jest jej wektorem własnym. (1,0,0) ; (0,1,0); (0,0,1); (0,1,1); (...
 luckaminski  0
 Wektory i wartości własne?
Znaleźć wartości i wektory własne macierzy: \left Wielomian charakterystyczny: (cos \theta - \lambda)^{2}+sin...
 liky7  7
 Wartości i wektory własne - zadanie 9
...
 D-Mic  0
 Endomorfizm,wektory własne
Endomomorfizm L : R3\to R3 dany jest wzorem '((x, y, z)) = (3x, x + 2y, x + y + z). Podac macierz A tego endomorfizmu w bazie standardowej. Wyznaczyc wszystkie wartosci własne  endomomorfizmu L i zwiazane z nimi przestrz...
 leinder  1
 Liczba liniowo niezaleznych kolumn
Ile liniowo niezależnych kolumn posiada poniższa macierz? \begin{bmatrix} 3&1&2&2&1\\4&3&1&2&2\\2&2&2&2&1\end{bmatrix}...
 pawelsuz  2
 Wektory własne macierzy + zespolone
Witam, Mam problem tym zadaniem. Wyznacz wszystkie ( rzeczywiste i zespolone ) wektory własne macierzy. \begin{bmatrix} 0 & 0& 0 &0 &-1 \\ 0 &1 &0& 1 &0 \\ 0 &0& 1& 0 & 0 \\ 0 &0&...
 Nesa  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com