szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2008, o 21:04 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Poznań
Witam.

Jak prostą metodą sprawdzić czy wektory są liniowo niezależne? Wiem, że trzeba wpisać je w macierz, ale jak i jaki powinien być następny krok? Obliczenie wyznacznika?

Zadanie :
Sprawdzić, czy w przestrzeni R^{3} wektory są liniowo niezależne :
v=(1, 4, 3), w=(-1, 2, -1), u=(0, 6, 4).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2008, o 21:45 
Użytkownik

Posty: 135
Lokalizacja: Wrocław
Wektory są liniowo niezależne gdy,
c_1v_1+c_2v_2+\cdots c_nv_n=0 \Leftrightarrow c_1=c_2=\cdots =c_n=0
Czyli rozwiązujemy równanie
c_1v+c_2w+c_3u=0
i jeśli rozwiązaniem jest c_1=c_2=c_3=0, to wektory są liniowo niezależne.
c_1(1, 4, 3)+c_2(-1, 2, -1)+c_3(0, 6, 4)=(0,0,0)\\
\begin{cases} 
c_1-c_2=0\\
4c_1+2c_2+6c_3=0\\
3c_1-c_2+4c_3=0
\end{cases}
Taki układ równań rozwiązuje się bardzo szybko, szczególnie jeśli rzeczywiście wektory są niezależne.
c_1=c_2\\
-c_1=c_3\\
c_1=0\\
c_2=c_3=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2008, o 23:21 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Poznań
Dzięki.
Sposób dobry, ale gorzej jak trzeba obliczyć 4 wektory przestrzeni R^4. Wtedy już jest mniej ciekawie, a na pewno bardziej czasochłonnie - nie ma jakiegoś innego sposobu aby to obliczyć? Zastosować jakoś macierz?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2008, o 23:38 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2656
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
aquaz napisał(a):
nie ma jakiegoś innego sposobu aby to obliczyć?

obliczyć ten układ równań wykorzystując wzory Cramera
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2008, o 01:56 
Użytkownik

Posty: 3101
Lokalizacja: Zarów
Jeśli wektory można "ułożyć" w macierz kwadratową, to można liczyć wyznacznik. Jeśli wektory są liniowo zależne, to wyznacznik wyjdzie 0, w przeciwnym przypadku - różny od zera.
Ale jak już napisałem nie z każdego układu wektorów da się "zrobić" tablicę kwadratową, np z wektorów e _{1}=(1,0,0), e _{2}=(0,1,0).te akurat są liniowo niezależne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2008, o 02:04 
Użytkownik

Posty: 623
Lokalizacja: ..
No to wpisujesz kolejne wektory jako kolumny macierzy. I otrzymaną macierz próbujesz sprowadzić do macierzy schodkowej.
I tak np: \left|\begin{array}{ccccccc}1&2&1&3&1&1&1\\0&0&3&1&3&1&1\\0&0&0&1&6&1&2\\0&0&0&0&0&9&-2\end{array}\right|
niezależne są np. wektory (które odpowiadają kolejnym kolumną) pierwszy, trzeci czwarty i szósty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 cze 2009, o 15:22 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: z fotela
Czyli wektory wpisujemy w macierz kolumnami?

I jeszcze takie pytanie. Jeżeli mamy jakiś zbiór wektorów i wiemy, że np. 3 z nich są liniowo zależne to można stwierdzić, że ten zbiór jest liniowo zależny? Czy jest analogicznie jeżeli rozpatruje się wektory liniowo niezależne?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 cze 2009, o 21:11 
Użytkownik

Posty: 3101
Lokalizacja: Zarów
lukas_7 napisał(a):
Czy jest analogicznie jeżeli rozpatruje się wektory liniowo niezależne?

Nie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wektory (studia)  paulaa1992  1
 Wektory - zadanie 48  piasektt  1
 Znaleźć wektory  croire  1
 macierz odwrotna,przekształcenie liniowe, wektory leżące...  nadol  7
 Wektory glowne  solmech  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com