[ Posty: 21 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 17:39 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: UMK Toruń
Jak wyprowadzic wzory na momenty bezwladnosci


-preta z osia obrotu prostopadla do niego na jego koncu
-preta z osia obrotu prostopadla do niego na jego srodku
-walca pustego bez denkek (rury) z osia obrotu przechodzaca przez srodek rury rownolegle do jej scian
-walca pustego z denkami z osia obrotu przechodzaca przez srodek denek
-sfery z osia obrotu przechodzaca pzez jej srodek

uzywajac caleczek oznaczonych? z gory dzieki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 20:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 73
Lokalizacja: Białystok
Pręta z osią obrotu prostopadłą do niego na jego końcu

Korzystasz tu z Twierdzenie Steinera, które brzmi I=I_{0}+md^{2}, gdzie I_{0} to moment bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy ciała, a d odległość osi obrotu równoległej do osi obrotu w środku masy.

Wzór na I_{0} pręta to: \frac{ml^{2}}{12}
więc:

I=\frac{ml^{2}}{2} + \frac{ml^{2}}{4} bo d=\frac{l}{2}

Pręta z osią obrotu prostopadłą do niego na jego środku

Jak dokładnie wyprowadzić to nie powiem ale ten wzór ma postać:
: I_{0}=\frac{ml^{2}}{12}

Walca pustego bez denek (rury) z osią obrotu przechodzącą przez środek rury równolegle do jej ścian

cienkościenna: : I_{0}=mR^{2}
o różnych promieniach: I_{0}=\frac{m(R^{2}+r^{2})}{2}

Walca pustego z denkami z osią obrotu przechodzącą przez środek denek
I_{0}=\frac{mR^{2}}{2}

Sfery z osią obrotu przechodzącą przez jej środek

\frac{2mR^{2}}{3}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 21:01 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: UMK Toruń
Wzory juz znam. Sa zreszta nawet na wikipedii :D Potrzebne mi wyprowadzenie. dla przykladu podam dla walca pelnego:

\rho - gestosc

V - objetosc

m - masa

h - wysokosc


\int  r_{i} ^{2} dm _{i}=\int r ^{2} \rho dV=

=\rho \int r^{2} dr r d\phi dh=\rho \int_{0}^{r} r^{3} dr  \int_{0}^{2\Pi} d\phi  \int_{0}^{h} dh=\frac{m}{2\Pi r^{2}h}\frac{1}{4} r   ^{4}  2\Pi  h=\frac{1}{2}mr  ^{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 21:13 
Użytkownik

Posty: 3888
Lokalizacja: Warszawa
No to kulę pełną dzielimy na walce, których moment bezwładności znamy:
\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \\
r = \sqrt{R^2 - x^2} \\
2  \int_{0}^{R} \rho \pi r^2 \cdot \frac{1}{2} r^2 dx = \frac{M}{\frac{4}{3} R^3}  \int_{0}^{R} R^4 - 2R^2 \ x^2 + x^4 dx = \frac{M}{\frac{4}{3} R^3} (R^5 - \frac{2R^5}{3} + \frac{R^5}{5}) = \frac{3M}{4R^3} \frac{8R^5}{15} = \frac{2}{5}MR^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 21:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 73
Lokalizacja: Białystok
Na jednorodny pręt wględem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek masy

Przyjmijmy, że wzór na moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego koniec ma postać:
I=kml^{2} gdzie k to bezwymiarowy współczynnik (1.0).

Moment bezwładności I_{0} pręta względem osi przechodzącej przez środek masy można przedstawić jako sumę momentów bezwładności jego połówek względem osi przechodzących przez ich końce:
I_{0}=\frac{2km}{2}(\frac{l}{2})^{2}(1.1)
Ale zgodnie z twierdzeniem Steinera:

I=m(\frac{l}{2})^{2}+I_{0}=\frac{ml^{2}}{4}+\frac{kml^{2}}{4}(1.2)

Przyrównując prawe strony równości (1.0) i (1.2), mamy, że k=\frac{1+k}{4}\Rightarrowk=\frac{1}{3}
Korzystając ze wzoru (1.1). otrzymujemy, że moment bezwładności pręta jest wyrażony za pomocą wzoru:
I_{0}=\frac{ml^{2}}{12}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 22:29 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Torun
pret
dmi=(m/l)*dV
2*\int\limits_{0}^{l/2}r^{2}*(m/l)*dv
to jest z osia wsrodku jak chce z osia na koncu to granice bede od 0 do l i bez 2 na poczatku
Walec z denkami moment bezwladnosci walca+2*moment bezwladnosci denek czyli okregu
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 3888
Lokalizacja: Warszawa
A jednak o sferę było pytanie. Zatem tak:
\sigma = \frac{M}{4\pi R^2} \\
r = Rcos\alpha \\
dS = 2\pi r \ R d\alpha \\
I = 2  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sigma 2 \pi R cos\alpha \cdot R^2 cos^2\alpha R d\alpha = MR^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^{3}\alpha d\alpha \\
t = sin\alpha \ \ dt = cos\alpha d\alpha \\
I = MR^2 (sin\frac{\pi}{2} - \frac{sin^{3}\frac{\pi}{2}}{3}) = \frac{2}{3} MR^2
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 mar 2008, o 13:29 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Gdynia
Czy mógłbyś ktoś pomóc mi wyprowadzić wzór na moment bezwładności rury? Wiem, jaki będzie wzór końcowy, ale nie potrafię go wyprowadzić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 mar 2008, o 13:33 
Użytkownik

Posty: 3888
Lokalizacja: Warszawa
Rury w sensie powierzchni bocznej cienkościennego walca? Jeśli tak to zauważ, że każdy punkt jest odległy od osi o R stąd ten moment bezwładności to:
I = MR^2
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 mar 2008, o 13:41 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Gdynia
Rzecz w tym, że chodzi o rurę grubościenną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 mar 2008, o 13:49 
Użytkownik

Posty: 3888
Lokalizacja: Warszawa
Czyli o to co jest zamknięte dwoma powierzchniami walca o promieniach R_1 \  i \  R_2, jeśli dobrze rozumiem. No to najpierw gęstość:
\rho = \frac{M}{\pi (R_2^2 - R_1^2) H} \\
dM = \rho dV \\
dV = 2\pi r H dr \\
I = \int_{R_1}^{R_2} r^2 \rho dV = \frac{2M}{R_2^2 - R_1^2}\int_{R_1}^{R_2} r^3 dr = \frac{2M}{R_2^2 - R_1^2} \frac{1}{4} (R_2^4 - R_1^4) \\  = \frac{M}{2(R_2^2 - R_1^2)} (R_2^2 + R_1^2)(R_2^2 - R_1^2) = \frac{M(R_1^2 + R_2^2)}{2}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 mar 2008, o 15:16 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Gdynia
Rozumiem, dziękuję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 15:20 
Użytkownik

Posty: 99
Lokalizacja: Wrocław
Jumparround napisał(a):
Wzory juz znam. Sa zreszta nawet na wikipedii :D Potrzebne mi wyprowadzenie. dla przykladu podam dla walca pelnego:

\rho - gestosc

V - objetosc

m - masa

h - wysokosc


\int  r_{i} ^{2} dm _{i}=\int r ^{2} \rho dV=

=\rho \int r^{2} dr r d\phi dh=\rho \int_{0}^{r} r^{3} dr  \int_{0}^{2\Pi} d\phi  \int_{0}^{h} dh=\frac{m}{2\Pi r^{2}h}\frac{1}{4} r   ^{4}  2\Pi  h=\frac{1}{2}mr  ^{2}



wiek ktos czy da sie to wyprowadzic nie uzywajac calek potrojnych?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 15:26 
Użytkownik

Posty: 3888
Lokalizacja: Warszawa
Pewnie, że się da. Walec możemy podzielić na nieskończoną ilość walców cienkościennych. Gęstość walca to:
\rho = \frac{M}{\pi R^2 h}
Zatem masa walca cienkościennego to:
dm = \frac{M}{\pi R^2 h} \cdot 2 \pi r dr h = \frac{2M}{R^2 } r dr
Z tego moment bezwładności takiego walca to:
dI = r^2 dm = \frac{2M}{R^2} r^3 dr
Całkowity moment bezwładności możemy znaleźć sumując momenty bezwładności cienkościennych walców:
I = \int_{0}^{R} \frac{2M}{R^2} r^3 dr = \frac{2M}{R^2} \int_{0}^{R} r^3 dr = \frac{2M}{R^2} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2} MR^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 15:59 
Użytkownik

Posty: 99
Lokalizacja: Wrocław
dzienx, powiedz mi jeszcze jak mozesz da sie wyprowadzic dla pretu podobnie, jesli tak to jak?( noga jestem z fizyki i nie rozumie roznicy miedzy pretem a walcem, jak dla mnie to to samo, a wzory inne...)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 16:06 
Użytkownik

Posty: 3888
Lokalizacja: Warszawa
Pręt to walec o promieniu zbiegającym do zera, więc można go traktować jako figurę jednowymiarową. Gęstość liniowa pręta to:
\lambda = \frac{M}{l}
Wobec tego:
dm = \lambda dx = \frac{M}{l} dx
Moment bezwładności takiego elementu pręta to:
dI = \frac{M}{l} x^2 dx
Środek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem pręta:
I = \frac{M}{l} \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} x^2 dx = \frac{M}{l} \left( \frac{l^3}{24} + \frac{l^3}{24}\right) = \frac{1}{12} Ml^2
Dla osi obrotu na końcu pręta ustalamy środek układu współrzędnych na końcu pręta i dostajemy:
I = \frac{M}{l} \int_{0}^{l} x^2 dx = \frac{M}{l} \cdot \frac{l^3}{3} = \frac{1}{3} Ml^2
A wzory są inne dlatego, że liczymy moment bezwładności dla innych osi obrotu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 16:12 
Użytkownik

Posty: 99
Lokalizacja: Wrocław
dobra, to teraz ostatnie pytanie :) czy

"moment bezwladnosci cienkiego krazka wgledem prostopadlej do niego osi przechodzacej przez jego srodek"

to to samo co

"moment bezwladnosci walca wzgledem osi symetri obrotowej" ?? (tzn czy wyprowadzenie to samo)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 16:13 
Użytkownik

Posty: 3888
Lokalizacja: Warszawa
Wygląda na to, że tak.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2008, o 19:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 110
Lokalizacja: kl
Jumparround napisał(a):
\int  r_{i} ^{2} dm _{i}=\int r ^{2} \rho dV=

=\rho \int r^{2} dr r d\phi dh=\rho \int_{0}^{r} r^{3} dr  \int_{0}^{2\Pi} d\phi  \int_{0}^{h} dh=\frac{m}{2\Pi r^{2}h}\frac{1}{4} r   ^{4}  2\Pi  h=\frac{1}{2}mr  ^{2}


Mam pytanie, co oznacza litera \phi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2008, o 19:48 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Poronin
To pytanie takie samo, jak w pierwszym poście, ale dla:
- trójkąta równoramiennego o podstawie a i wysokości h (oś przechodzi przez jego środek)
- pręta cienkiego o długości l, powierzchni przekroju S, względem osi równoległej do pręta i znajdującej się w odległości a od niego
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2010, o 04:11 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: niedaleko
Wasilewski napisał(a):
No to kulę pełną dzielimy na walce, których moment bezwładności znamy:
\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \\
r = \sqrt{R^2 - x^2} \\
2  \int_{0}^{R} \rho \pi r^2 \cdot \frac{1}{2} r^2 dx = \frac{M}{\frac{4}{3} R^3}  \int_{0}^{R} R^4 - 2R^2 \ x^2 + x^4 dx = \frac{M}{\frac{4}{3} R^3} (R^5 - \frac{2R^5}{3} + \frac{R^5}{5}) = \frac{3M}{4R^3} \frac{8R^5}{15} = \frac{2}{5}MR^2

mogłby ktos dokładnie rozpisac ten moment gdzie całkowany jest po dx rozwiniety wzor skroconego mnozenia? z gory dzieki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 21 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 momenty bezwładności brył
No bez przesady. Tak ciężko poszukać chociażby na Wikipedii?...
 allcar44  1
 momenty sił
1. Koło zamachowe pod wpływem siły napędzającej obracało się z częstotliwością f=16Hz . Kiedy wyłączono silnik napędzający koło, zatrzymało się ono po 50 s. Jaki był moment siły hamującej? Moment bezwładności koła wynosił 50 kg *m2. 2. Przez blok nie...
 wera0023  3
 Wyznaczanie reakcji z rysunku, energie i momenty...
Witajcie, mam taki problem, gdyż wykładowca zadał pracę domową nie tłumacząc nic nikomu a mam policzyć reakcje w punktach A, B, C, D itd. Zamieszczam jpeg z painta gdyż nie mam wersji multimedialnej tego rysunku na którym trzeba to policzyć, liczę na...
 padzio91  0
 Momenty bezwładności układu
"Oblicz moment bezwładności układu punktów materialnych na rys.32a (kwadrat o boku a) i 32b (trójkąt równoboczny o boku a względem różnych osi obrotów zaznaczonych liniami przerywanymi. K...
 KeWiS  4
 Momenty bezwładności i ich kierunki
Witam Mam nadzieję, że ktoś mi pomoże bo nie wiem jak za to się zabrać. Oto zadanie: Wymyśl przekrój ( dwie figury płaskie). Wyznacz główne centralne momenty bezwładności i ich kierunki. Jeśli ktoś ma zrobione takie zadanie to proszę odezwać się na ...
 Dymek89  3
 Wyprowadzenie wzoru na siłę sprężystości ... ?!
Witajcie Jednym z możliwych poleceń na środowym sprawdzianie z fizyki będzie polecenie: "Wyprowadź wzór na siłę sprężystości". Czy ktoś z Was mógłby...
 Qóba  8
 Momenty bezwładności równoległobok
Witam. Mam do policzenia momenty bezwładności równoległoboku. Jest podana tylko długośc podstawy "a" i wysokośc "h". Tylko tyle. Pomoże ktoś?...
 kondziu07  6
 Wyprowadzenie wzoru na przyspieszenie normalne
W większości, codziennych przypadkach, gdzie mamy do czynienia z mechaniką kwantową (np. jadąc samochodem) należy uwzględnić efekty relatywistyczne, równanie z teorii względności, które odpowiada równaniu.[/quote:3jl...
 Roland  6
 Momenty bezwładności - zadanie 4
W wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku a umieszczono małe kulki o jednakowych masach m. Oblicz moment bezwładności kulek względem osi będącej przedłużeniem jednej z wysokości trójkąta. Wysokość trójkąta- oś symetrii dzieląca trójkąt na 2....
 wojtas6893  1
 Momenty sił - deseczki, walec
Witam, mam problem z rozwiązaniem dwóch zadań. Proszę o pomoc 1.Dwie jednakowe deseczki, między którymi nie występuje siła tar­cia, oparto wzajemnie o siebie, jak p...
 hubert1011  2
 wyprowadzenie wzoru na okres dudnien
x_{1}=Acos( w_{1}t+ \alpha _{1} ) x_{2}=Acos( w_{2}t+ \alpha _{2} ) x=x _{1}+ x_{2} x=\left( 2Acos \frac{ w_{1} - w_{2} }{2}t...
 ewelinka_0402  1
 Wyprowadzenie wzoru - zadanie 34
Ponieważ dział inne jest zablokowany a nie wiem gdzie umieścić ten temat dlatego umieściłem go tutaj. Polecenie: Wyprowadź wzór: 1. \ s=v_{0} \cd...
 Unixes  1
 poszukiwane wyprowadzenie wzoru Bernoulliego
szukam wyprowadzenia wzoru Bernoulliego dla przepływów R= \frac{1}{2}*p*S*v^2*C gdzie: p- (ro)gęstość powietrza S- powierzchnia ciała v- pr...
 Qasi  2
 Rama momenty gnące
Związku z tym iż nie umiem znaleźć potrzebnych informacji w internecie proszę o pomoc Mam następującą ramę: http://wstaw.org/m/2014/03/24/22_2_jpg_300x300_q85.jpg...
 ur3an  2
 Momenty bezwładności, widzi ktoś błąd?
Gość zakwestionował mi tą skaldową z półkola podczas obliczania momentu bezwladności względem Y. Nie jestem w stanie znaleźć błędu. Licze to 1000 razy i wychodzi to samo. http://img802.imageshack.us/img802/218/zdjcie0149q&#...
 tevez64  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com