szukanie zaawansowane
 [ Posty: 21 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 16:39 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: UMK Toruń
Jak wyprowadzic wzory na momenty bezwladnosci


-preta z osia obrotu prostopadla do niego na jego koncu
-preta z osia obrotu prostopadla do niego na jego srodku
-walca pustego bez denkek (rury) z osia obrotu przechodzaca przez srodek rury rownolegle do jej scian
-walca pustego z denkami z osia obrotu przechodzaca przez srodek denek
-sfery z osia obrotu przechodzaca pzez jej srodek

uzywajac caleczek oznaczonych? z gory dzieki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 19:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 73
Lokalizacja: Białystok
Pręta z osią obrotu prostopadłą do niego na jego końcu

Korzystasz tu z Twierdzenie Steinera, które brzmi I=I_{0}+md^{2}, gdzie I_{0} to moment bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy ciała, a d odległość osi obrotu równoległej do osi obrotu w środku masy.

Wzór na I_{0} pręta to: \frac{ml^{2}}{12}
więc:

I=\frac{ml^{2}}{2} + \frac{ml^{2}}{4} bo d=\frac{l}{2}

Pręta z osią obrotu prostopadłą do niego na jego środku

Jak dokładnie wyprowadzić to nie powiem ale ten wzór ma postać:
: I_{0}=\frac{ml^{2}}{12}

Walca pustego bez denek (rury) z osią obrotu przechodzącą przez środek rury równolegle do jej ścian

cienkościenna: : I_{0}=mR^{2}
o różnych promieniach: I_{0}=\frac{m(R^{2}+r^{2})}{2}

Walca pustego z denkami z osią obrotu przechodzącą przez środek denek
I_{0}=\frac{mR^{2}}{2}

Sfery z osią obrotu przechodzącą przez jej środek

\frac{2mR^{2}}{3}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 20:01 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: UMK Toruń
Wzory juz znam. Sa zreszta nawet na wikipedii :D Potrzebne mi wyprowadzenie. dla przykladu podam dla walca pelnego:

\rho - gestosc

V - objetosc

m - masa

h - wysokosc


\int  r_{i} ^{2} dm _{i}=\int r ^{2} \rho dV=

=\rho \int r^{2} dr r d\phi dh=\rho \int_{0}^{r} r^{3} dr  \int_{0}^{2\Pi} d\phi  \int_{0}^{h} dh=\frac{m}{2\Pi r^{2}h}\frac{1}{4} r   ^{4}  2\Pi  h=\frac{1}{2}mr  ^{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 20:13 
Użytkownik

Posty: 3889
Lokalizacja: Warszawa
No to kulę pełną dzielimy na walce, których moment bezwładności znamy:
\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \\
r = \sqrt{R^2 - x^2} \\
2  \int_{0}^{R} \rho \pi r^2 \cdot \frac{1}{2} r^2 dx = \frac{M}{\frac{4}{3} R^3}  \int_{0}^{R} R^4 - 2R^2 \ x^2 + x^4 dx = \frac{M}{\frac{4}{3} R^3} (R^5 - \frac{2R^5}{3} + \frac{R^5}{5}) = \frac{3M}{4R^3} \frac{8R^5}{15} = \frac{2}{5}MR^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 20:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 73
Lokalizacja: Białystok
Na jednorodny pręt wględem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek masy

Przyjmijmy, że wzór na moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego koniec ma postać:
I=kml^{2} gdzie k to bezwymiarowy współczynnik (1.0).

Moment bezwładności I_{0} pręta względem osi przechodzącej przez środek masy można przedstawić jako sumę momentów bezwładności jego połówek względem osi przechodzących przez ich końce:
I_{0}=\frac{2km}{2}(\frac{l}{2})^{2}(1.1)
Ale zgodnie z twierdzeniem Steinera:

I=m(\frac{l}{2})^{2}+I_{0}=\frac{ml^{2}}{4}+\frac{kml^{2}}{4}(1.2)

Przyrównując prawe strony równości (1.0) i (1.2), mamy, że k=\frac{1+k}{4}\Rightarrowk=\frac{1}{3}
Korzystając ze wzoru (1.1). otrzymujemy, że moment bezwładności pręta jest wyrażony za pomocą wzoru:
I_{0}=\frac{ml^{2}}{12}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 21:29 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Torun
pret
dmi=(m/l)*dV
2*\int\limits_{0}^{l/2}r^{2}*(m/l)*dv
to jest z osia wsrodku jak chce z osia na koncu to granice bede od 0 do l i bez 2 na poczatku
Walec z denkami moment bezwladnosci walca+2*moment bezwladnosci denek czyli okregu
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 21:31 
Użytkownik

Posty: 3889
Lokalizacja: Warszawa
A jednak o sferę było pytanie. Zatem tak:
\sigma = \frac{M}{4\pi R^2} \\
r = Rcos\alpha \\
dS = 2\pi r \ R d\alpha \\
I = 2  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sigma 2 \pi R cos\alpha \cdot R^2 cos^2\alpha R d\alpha = MR^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^{3}\alpha d\alpha \\
t = sin\alpha \ \ dt = cos\alpha d\alpha \\
I = MR^2 (sin\frac{\pi}{2} - \frac{sin^{3}\frac{\pi}{2}}{3}) = \frac{2}{3} MR^2
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 mar 2008, o 12:29 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Gdynia
Czy mógłbyś ktoś pomóc mi wyprowadzić wzór na moment bezwładności rury? Wiem, jaki będzie wzór końcowy, ale nie potrafię go wyprowadzić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 mar 2008, o 12:33 
Użytkownik

Posty: 3889
Lokalizacja: Warszawa
Rury w sensie powierzchni bocznej cienkościennego walca? Jeśli tak to zauważ, że każdy punkt jest odległy od osi o R stąd ten moment bezwładności to:
I = MR^2
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 mar 2008, o 12:41 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Gdynia
Rzecz w tym, że chodzi o rurę grubościenną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 mar 2008, o 12:49 
Użytkownik

Posty: 3889
Lokalizacja: Warszawa
Czyli o to co jest zamknięte dwoma powierzchniami walca o promieniach R_1 \  i \  R_2, jeśli dobrze rozumiem. No to najpierw gęstość:
\rho = \frac{M}{\pi (R_2^2 - R_1^2) H} \\
dM = \rho dV \\
dV = 2\pi r H dr \\
I = \int_{R_1}^{R_2} r^2 \rho dV = \frac{2M}{R_2^2 - R_1^2}\int_{R_1}^{R_2} r^3 dr = \frac{2M}{R_2^2 - R_1^2} \frac{1}{4} (R_2^4 - R_1^4) \\  = \frac{M}{2(R_2^2 - R_1^2)} (R_2^2 + R_1^2)(R_2^2 - R_1^2) = \frac{M(R_1^2 + R_2^2)}{2}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 mar 2008, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Gdynia
Rozumiem, dziękuję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 14:20 
Użytkownik

Posty: 99
Lokalizacja: Wrocław
Jumparround napisał(a):
Wzory juz znam. Sa zreszta nawet na wikipedii :D Potrzebne mi wyprowadzenie. dla przykladu podam dla walca pelnego:

\rho - gestosc

V - objetosc

m - masa

h - wysokosc


\int  r_{i} ^{2} dm _{i}=\int r ^{2} \rho dV=

=\rho \int r^{2} dr r d\phi dh=\rho \int_{0}^{r} r^{3} dr  \int_{0}^{2\Pi} d\phi  \int_{0}^{h} dh=\frac{m}{2\Pi r^{2}h}\frac{1}{4} r   ^{4}  2\Pi  h=\frac{1}{2}mr  ^{2}



wiek ktos czy da sie to wyprowadzic nie uzywajac calek potrojnych?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 14:26 
Użytkownik

Posty: 3889
Lokalizacja: Warszawa
Pewnie, że się da. Walec możemy podzielić na nieskończoną ilość walców cienkościennych. Gęstość walca to:
\rho = \frac{M}{\pi R^2 h}
Zatem masa walca cienkościennego to:
dm = \frac{M}{\pi R^2 h} \cdot 2 \pi r dr h = \frac{2M}{R^2 } r dr
Z tego moment bezwładności takiego walca to:
dI = r^2 dm = \frac{2M}{R^2} r^3 dr
Całkowity moment bezwładności możemy znaleźć sumując momenty bezwładności cienkościennych walców:
I = \int_{0}^{R} \frac{2M}{R^2} r^3 dr = \frac{2M}{R^2} \int_{0}^{R} r^3 dr = \frac{2M}{R^2} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2} MR^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 14:59 
Użytkownik

Posty: 99
Lokalizacja: Wrocław
dzienx, powiedz mi jeszcze jak mozesz da sie wyprowadzic dla pretu podobnie, jesli tak to jak?( noga jestem z fizyki i nie rozumie roznicy miedzy pretem a walcem, jak dla mnie to to samo, a wzory inne...)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 15:06 
Użytkownik

Posty: 3889
Lokalizacja: Warszawa
Pręt to walec o promieniu zbiegającym do zera, więc można go traktować jako figurę jednowymiarową. Gęstość liniowa pręta to:
\lambda = \frac{M}{l}
Wobec tego:
dm = \lambda dx = \frac{M}{l} dx
Moment bezwładności takiego elementu pręta to:
dI = \frac{M}{l} x^2 dx
Środek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem pręta:
I = \frac{M}{l} \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} x^2 dx = \frac{M}{l} \left( \frac{l^3}{24} + \frac{l^3}{24}\right) = \frac{1}{12} Ml^2
Dla osi obrotu na końcu pręta ustalamy środek układu współrzędnych na końcu pręta i dostajemy:
I = \frac{M}{l} \int_{0}^{l} x^2 dx = \frac{M}{l} \cdot \frac{l^3}{3} = \frac{1}{3} Ml^2
A wzory są inne dlatego, że liczymy moment bezwładności dla innych osi obrotu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 15:12 
Użytkownik

Posty: 99
Lokalizacja: Wrocław
dobra, to teraz ostatnie pytanie :) czy

"moment bezwladnosci cienkiego krazka wgledem prostopadlej do niego osi przechodzacej przez jego srodek"

to to samo co

"moment bezwladnosci walca wzgledem osi symetri obrotowej" ?? (tzn czy wyprowadzenie to samo)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 15:13 
Użytkownik

Posty: 3889
Lokalizacja: Warszawa
Wygląda na to, że tak.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2008, o 18:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 110
Lokalizacja: kl
Jumparround napisał(a):
\int  r_{i} ^{2} dm _{i}=\int r ^{2} \rho dV=

=\rho \int r^{2} dr r d\phi dh=\rho \int_{0}^{r} r^{3} dr  \int_{0}^{2\Pi} d\phi  \int_{0}^{h} dh=\frac{m}{2\Pi r^{2}h}\frac{1}{4} r   ^{4}  2\Pi  h=\frac{1}{2}mr  ^{2}


Mam pytanie, co oznacza litera \phi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2008, o 18:48 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Poronin
To pytanie takie samo, jak w pierwszym poście, ale dla:
- trójkąta równoramiennego o podstawie a i wysokości h (oś przechodzi przez jego środek)
- pręta cienkiego o długości l, powierzchni przekroju S, względem osi równoległej do pręta i znajdującej się w odległości a od niego
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2010, o 03:11 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: niedaleko
Wasilewski napisał(a):
No to kulę pełną dzielimy na walce, których moment bezwładności znamy:
\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \\
r = \sqrt{R^2 - x^2} \\
2  \int_{0}^{R} \rho \pi r^2 \cdot \frac{1}{2} r^2 dx = \frac{M}{\frac{4}{3} R^3}  \int_{0}^{R} R^4 - 2R^2 \ x^2 + x^4 dx = \frac{M}{\frac{4}{3} R^3} (R^5 - \frac{2R^5}{3} + \frac{R^5}{5}) = \frac{3M}{4R^3} \frac{8R^5}{15} = \frac{2}{5}MR^2

mogłby ktos dokładnie rozpisac ten moment gdzie całkowany jest po dx rozwiniety wzor skroconego mnozenia? z gory dzieki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 21 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 czy sily bezwladnosci sa zachowawcze
Mam za zadanie powaznie sie zastanowic czy wszystkie sily bezwladnosci sa zachowawcze, zdrowy rozsadek i intuicja podpowiadaja ze tak, lecz wykladowca zasugerowal mi ze moze byc inaczej. Prosze o pomoc w poznaniu prawdy ...
 chodznajagody  0
 moment bezwladnosci - zadanie 3
jak obliczyc moment bezwladnosci trojkata o podstawie A i wysokosci H wzgledem podstawy jako osi i wzgledem osi orzechodzacej przez wierzcholek rownolegle do podstawy...
 bienio  4
 Siły poprzeczne i momenty gnące w belce - wykresy
Witam, Mam problem, prosiłbym o sprawdzenie czy dobrze obliczyłem momenty gnące i siły poprzeczne w belce. Muszę jeszcze do tego wykonać wykresy Mg i T, ale nie bardzo wiem jak się za to zabrać. Będę bardzo wdzięczny jak ktoś mi pomoże. Link do zada...
 Bodzio2203  1
 wyprowadzenie wzoru na energię kinetyczną i jej wartość
Energia całkowita w ruchu harmonicznym wyraża się wzorem E= \frac{1}{2}kA ^{2} a energia potencjalna: E_{p}= \frac{1}{2}kx ^{2}. Wyprowadż wzró na energię kinetyczną, oraz oblicz jej wartość j...
 elvisomadzia  1
 Moment bezwladnosci trojkata
Witam jak policzyc moment bezwladnosci trojkata np. prostokatnego wzgledem dowolnej osi np przechodzacej a) przez srodek ciezkosci trojkata b) przeciwprostokatna? Widzialem rozwiazanie z calka podwojna ale nie umiem calek podwojnych tzn nie mielismy ...
 MateuszS  1
 moment bezwladnosci kuli
zna ktos moze wyprowadzenie na moment bezwladnosci wydrazonej kuli domyslam sie ze w tym wyprowadzeniu nie obejdzie sie bez calek, a u mnie z tym raczej cienko...
 vinci  4
 moment bezwladnosci - zadanie 2
Musialem obliczyc moment bezwladnosci trojkata rownobocznego wedlug prostej przechodzacej przez jeden z wierzcholkow i srodek przeciwleglego boku (a) oraz przez prosta przechodzaca przez jeden z bokow (b). Oto moje wyniki, czy moglby ktos je sprawdzi...
 kawaii  0
 wyprowadzenie wzoru na współczynnik sprężystości
Definicja podaje że k=\frac{F}{x} Ale skoro E_{(sprezystosci)}=W to \frac{kx^2}{2} = Fx kx^2 = 2Fx \ /x ...
 patryk112  1
 Siły tnące i momenty tnące
Witam, chciałbym uzyskać odpowiedź dlaczego jest tak ze znakami w równaniach Piy i MiA? głównie chodzi o znaki przy sile P i 2P. http://img38.imageshack...
 lukan280  5
 Moment bezwladnosci - zadanie 11
Mam zadanie : Duza okragla platforma o masie 200kg i pormieniu 1,5m wiruje wokol pionowej osci z czestotliwoscia 12obr/min . Na brzegu platformy stoi czlowiek o masie 60kg . Z jaka czestotliwoscia bedzie wirowala platforma , gdy czlowiek przjedzie ...
 macikiw2  2
 moment bezwladnosci bryly
witam, potrzebuję policzyć moment bezwładności bryły względem osi xy i mam podane wzory: I= \int_{m}^{} z ^{2} dm=ro \int_{v}^{}z ^{2} dv i czy dobrze obliczyłem tą całkę, że I=ro \cdot z ^{2} \cdot V[/...
 Ptasznik92  0
 Wyprowadzenie wzoru - zadanie 9
Wyprowadź wzór wyrażający zależność szybkości ciała od drogi przebytej ruchem jednostajnie przyspieszonym(v0 = 0)...
 matteooshec  1
 wyznaczyc moment bezwladnosci polkuli wzgledem stycznej
witam, mam problem z zadaniem: wyznaczyc moment bezwladnosci polkuli o promieniu r wzgledem stycznej rownoleglej do podstawy tej polkuli. i drugim: punkt materialny porusza sie po plaszczyznie Oxy pod dzialaniem sily przyciagajacej do Ox o wartosci ...
 sajku  1
 Momenty na wale względem osi z
Witajcie, mam problem, otóż w zadaniu które wykonuje mam dobrać łożyska na wale. Zatrzymałem się w miejscu wyznaczenia momentu względem osi z. Zastanawiam się czy mam do kąta dać sinus czy cosinus. Proszę o wskazówkę jak do tego podchodzić. Rysunek p...
 gawcyk1986  0
 Centralne osiowe momenty bezwładności
Witam Chciałbym prosić o wytłumaczenie następującego zadania: Dla poniższego układu jednorodnych prętów wyznacz centralne osiowe momenty bezwładności wiedząc, że elementarny pręt o długości a ma masę m. [url=http://wstaw.org/h/3b19f3db5fd/:1o...
 Jaras5  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com