szukanie zaawansowane
 [ Posty: 21 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 16:39 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: UMK Toruń
Jak wyprowadzic wzory na momenty bezwladnosci


-preta z osia obrotu prostopadla do niego na jego koncu
-preta z osia obrotu prostopadla do niego na jego srodku
-walca pustego bez denkek (rury) z osia obrotu przechodzaca przez srodek rury rownolegle do jej scian
-walca pustego z denkami z osia obrotu przechodzaca przez srodek denek
-sfery z osia obrotu przechodzaca pzez jej srodek

uzywajac caleczek oznaczonych? z gory dzieki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 19:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 73
Lokalizacja: Białystok
Pręta z osią obrotu prostopadłą do niego na jego końcu

Korzystasz tu z Twierdzenie Steinera, które brzmi I=I_{0}+md^{2}, gdzie I_{0} to moment bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy ciała, a d odległość osi obrotu równoległej do osi obrotu w środku masy.

Wzór na I_{0} pręta to: \frac{ml^{2}}{12}
więc:

I=\frac{ml^{2}}{2} + \frac{ml^{2}}{4} bo d=\frac{l}{2}

Pręta z osią obrotu prostopadłą do niego na jego środku

Jak dokładnie wyprowadzić to nie powiem ale ten wzór ma postać:
: I_{0}=\frac{ml^{2}}{12}

Walca pustego bez denek (rury) z osią obrotu przechodzącą przez środek rury równolegle do jej ścian

cienkościenna: : I_{0}=mR^{2}
o różnych promieniach: I_{0}=\frac{m(R^{2}+r^{2})}{2}

Walca pustego z denkami z osią obrotu przechodzącą przez środek denek
I_{0}=\frac{mR^{2}}{2}

Sfery z osią obrotu przechodzącą przez jej środek

\frac{2mR^{2}}{3}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 20:01 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: UMK Toruń
Wzory juz znam. Sa zreszta nawet na wikipedii :D Potrzebne mi wyprowadzenie. dla przykladu podam dla walca pelnego:

\rho - gestosc

V - objetosc

m - masa

h - wysokosc


\int  r_{i} ^{2} dm _{i}=\int r ^{2} \rho dV=

=\rho \int r^{2} dr r d\phi dh=\rho \int_{0}^{r} r^{3} dr  \int_{0}^{2\Pi} d\phi  \int_{0}^{h} dh=\frac{m}{2\Pi r^{2}h}\frac{1}{4} r   ^{4}  2\Pi  h=\frac{1}{2}mr  ^{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 20:13 
Użytkownik

Posty: 3889
Lokalizacja: Warszawa
No to kulę pełną dzielimy na walce, których moment bezwładności znamy:
\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \\
r = \sqrt{R^2 - x^2} \\
2  \int_{0}^{R} \rho \pi r^2 \cdot \frac{1}{2} r^2 dx = \frac{M}{\frac{4}{3} R^3}  \int_{0}^{R} R^4 - 2R^2 \ x^2 + x^4 dx = \frac{M}{\frac{4}{3} R^3} (R^5 - \frac{2R^5}{3} + \frac{R^5}{5}) = \frac{3M}{4R^3} \frac{8R^5}{15} = \frac{2}{5}MR^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 20:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 73
Lokalizacja: Białystok
Na jednorodny pręt wględem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek masy

Przyjmijmy, że wzór na moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego koniec ma postać:
I=kml^{2} gdzie k to bezwymiarowy współczynnik (1.0).

Moment bezwładności I_{0} pręta względem osi przechodzącej przez środek masy można przedstawić jako sumę momentów bezwładności jego połówek względem osi przechodzących przez ich końce:
I_{0}=\frac{2km}{2}(\frac{l}{2})^{2}(1.1)
Ale zgodnie z twierdzeniem Steinera:

I=m(\frac{l}{2})^{2}+I_{0}=\frac{ml^{2}}{4}+\frac{kml^{2}}{4}(1.2)

Przyrównując prawe strony równości (1.0) i (1.2), mamy, że k=\frac{1+k}{4}\Rightarrowk=\frac{1}{3}
Korzystając ze wzoru (1.1). otrzymujemy, że moment bezwładności pręta jest wyrażony za pomocą wzoru:
I_{0}=\frac{ml^{2}}{12}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 21:29 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Torun
pret
dmi=(m/l)*dV
2*\int\limits_{0}^{l/2}r^{2}*(m/l)*dv
to jest z osia wsrodku jak chce z osia na koncu to granice bede od 0 do l i bez 2 na poczatku
Walec z denkami moment bezwladnosci walca+2*moment bezwladnosci denek czyli okregu
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2008, o 21:31 
Użytkownik

Posty: 3889
Lokalizacja: Warszawa
A jednak o sferę było pytanie. Zatem tak:
\sigma = \frac{M}{4\pi R^2} \\
r = Rcos\alpha \\
dS = 2\pi r \ R d\alpha \\
I = 2  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sigma 2 \pi R cos\alpha \cdot R^2 cos^2\alpha R d\alpha = MR^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^{3}\alpha d\alpha \\
t = sin\alpha \ \ dt = cos\alpha d\alpha \\
I = MR^2 (sin\frac{\pi}{2} - \frac{sin^{3}\frac{\pi}{2}}{3}) = \frac{2}{3} MR^2
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 mar 2008, o 12:29 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Gdynia
Czy mógłbyś ktoś pomóc mi wyprowadzić wzór na moment bezwładności rury? Wiem, jaki będzie wzór końcowy, ale nie potrafię go wyprowadzić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 mar 2008, o 12:33 
Użytkownik

Posty: 3889
Lokalizacja: Warszawa
Rury w sensie powierzchni bocznej cienkościennego walca? Jeśli tak to zauważ, że każdy punkt jest odległy od osi o R stąd ten moment bezwładności to:
I = MR^2
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 mar 2008, o 12:41 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Gdynia
Rzecz w tym, że chodzi o rurę grubościenną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 mar 2008, o 12:49 
Użytkownik

Posty: 3889
Lokalizacja: Warszawa
Czyli o to co jest zamknięte dwoma powierzchniami walca o promieniach R_1 \  i \  R_2, jeśli dobrze rozumiem. No to najpierw gęstość:
\rho = \frac{M}{\pi (R_2^2 - R_1^2) H} \\
dM = \rho dV \\
dV = 2\pi r H dr \\
I = \int_{R_1}^{R_2} r^2 \rho dV = \frac{2M}{R_2^2 - R_1^2}\int_{R_1}^{R_2} r^3 dr = \frac{2M}{R_2^2 - R_1^2} \frac{1}{4} (R_2^4 - R_1^4) \\  = \frac{M}{2(R_2^2 - R_1^2)} (R_2^2 + R_1^2)(R_2^2 - R_1^2) = \frac{M(R_1^2 + R_2^2)}{2}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 mar 2008, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Gdynia
Rozumiem, dziękuję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 14:20 
Użytkownik

Posty: 99
Lokalizacja: Wrocław
Jumparround napisał(a):
Wzory juz znam. Sa zreszta nawet na wikipedii :D Potrzebne mi wyprowadzenie. dla przykladu podam dla walca pelnego:

\rho - gestosc

V - objetosc

m - masa

h - wysokosc


\int  r_{i} ^{2} dm _{i}=\int r ^{2} \rho dV=

=\rho \int r^{2} dr r d\phi dh=\rho \int_{0}^{r} r^{3} dr  \int_{0}^{2\Pi} d\phi  \int_{0}^{h} dh=\frac{m}{2\Pi r^{2}h}\frac{1}{4} r   ^{4}  2\Pi  h=\frac{1}{2}mr  ^{2}



wiek ktos czy da sie to wyprowadzic nie uzywajac calek potrojnych?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 14:26 
Użytkownik

Posty: 3889
Lokalizacja: Warszawa
Pewnie, że się da. Walec możemy podzielić na nieskończoną ilość walców cienkościennych. Gęstość walca to:
\rho = \frac{M}{\pi R^2 h}
Zatem masa walca cienkościennego to:
dm = \frac{M}{\pi R^2 h} \cdot 2 \pi r dr h = \frac{2M}{R^2 } r dr
Z tego moment bezwładności takiego walca to:
dI = r^2 dm = \frac{2M}{R^2} r^3 dr
Całkowity moment bezwładności możemy znaleźć sumując momenty bezwładności cienkościennych walców:
I = \int_{0}^{R} \frac{2M}{R^2} r^3 dr = \frac{2M}{R^2} \int_{0}^{R} r^3 dr = \frac{2M}{R^2} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2} MR^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 14:59 
Użytkownik

Posty: 99
Lokalizacja: Wrocław
dzienx, powiedz mi jeszcze jak mozesz da sie wyprowadzic dla pretu podobnie, jesli tak to jak?( noga jestem z fizyki i nie rozumie roznicy miedzy pretem a walcem, jak dla mnie to to samo, a wzory inne...)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 15:06 
Użytkownik

Posty: 3889
Lokalizacja: Warszawa
Pręt to walec o promieniu zbiegającym do zera, więc można go traktować jako figurę jednowymiarową. Gęstość liniowa pręta to:
\lambda = \frac{M}{l}
Wobec tego:
dm = \lambda dx = \frac{M}{l} dx
Moment bezwładności takiego elementu pręta to:
dI = \frac{M}{l} x^2 dx
Środek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem pręta:
I = \frac{M}{l} \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} x^2 dx = \frac{M}{l} \left( \frac{l^3}{24} + \frac{l^3}{24}\right) = \frac{1}{12} Ml^2
Dla osi obrotu na końcu pręta ustalamy środek układu współrzędnych na końcu pręta i dostajemy:
I = \frac{M}{l} \int_{0}^{l} x^2 dx = \frac{M}{l} \cdot \frac{l^3}{3} = \frac{1}{3} Ml^2
A wzory są inne dlatego, że liczymy moment bezwładności dla innych osi obrotu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 15:12 
Użytkownik

Posty: 99
Lokalizacja: Wrocław
dobra, to teraz ostatnie pytanie :) czy

"moment bezwladnosci cienkiego krazka wgledem prostopadlej do niego osi przechodzacej przez jego srodek"

to to samo co

"moment bezwladnosci walca wzgledem osi symetri obrotowej" ?? (tzn czy wyprowadzenie to samo)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2008, o 15:13 
Użytkownik

Posty: 3889
Lokalizacja: Warszawa
Wygląda na to, że tak.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2008, o 18:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 110
Lokalizacja: kl
Jumparround napisał(a):
\int  r_{i} ^{2} dm _{i}=\int r ^{2} \rho dV=

=\rho \int r^{2} dr r d\phi dh=\rho \int_{0}^{r} r^{3} dr  \int_{0}^{2\Pi} d\phi  \int_{0}^{h} dh=\frac{m}{2\Pi r^{2}h}\frac{1}{4} r   ^{4}  2\Pi  h=\frac{1}{2}mr  ^{2}


Mam pytanie, co oznacza litera \phi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2008, o 18:48 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Poronin
To pytanie takie samo, jak w pierwszym poście, ale dla:
- trójkąta równoramiennego o podstawie a i wysokości h (oś przechodzi przez jego środek)
- pręta cienkiego o długości l, powierzchni przekroju S, względem osi równoległej do pręta i znajdującej się w odległości a od niego
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2010, o 03:11 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: niedaleko
Wasilewski napisał(a):
No to kulę pełną dzielimy na walce, których moment bezwładności znamy:
\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \\
r = \sqrt{R^2 - x^2} \\
2  \int_{0}^{R} \rho \pi r^2 \cdot \frac{1}{2} r^2 dx = \frac{M}{\frac{4}{3} R^3}  \int_{0}^{R} R^4 - 2R^2 \ x^2 + x^4 dx = \frac{M}{\frac{4}{3} R^3} (R^5 - \frac{2R^5}{3} + \frac{R^5}{5}) = \frac{3M}{4R^3} \frac{8R^5}{15} = \frac{2}{5}MR^2

mogłby ktos dokładnie rozpisac ten moment gdzie całkowany jest po dx rozwiniety wzor skroconego mnozenia? z gory dzieki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 21 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równania równowagi i momenty sił.
Witajcie . Mam problem z wyznaczaniem równań równowagi i momentów dla ukladów przestrzennych. Może wrzucę przykładowy obrazek. http://i61.tinypic.com/2mowbci.jpg http://i59.tinypic&#...
 niagari  0
 Momenty sił - walec i stopień
Nie wiem jak zrobić takie zadanie. Metalowy wałek o masie M i promieniu R trzeba wtoczyć na niewiel­ki stopień o wysokości h (rysunek 6.4.}. Jaką co najmniej wartość musi mieć siła F przyłożona do osi O walca, aby walec znalazł się na stopniu? Tarcie...
 hubert1011  2
 momenty sił, utwierdzenia ...
Proszę o pomoc w rozwianiu pewnych wątpliwości. Otóż jeśli np rozpatrujemy belkę na którą działają siły to żeby obliczyć jej warunki równowagi (płaski układ sił) to obliczamy między innymi momenty sił wszystkich sił działających na belkę względem dow...
 pan_x000  1
 Momenty bezwładności, osie centralne
Wyznaczyć wartości głównych centralnych momentów bezwładnosci oraz położenie osi głównych centralnych, Proszę o pomoc w rozwiazaniu tego zadania poniewaz nie potrafie, analizowałem inne przykłady nie wiem jednak jak wyznaczyc odległosci osi figur od...
 grzesku2  1
 wyprowadzenie wzoru na sile lorentza
Witam, Mam pewien problem. Musze udowodnic jednostki we wzorze na siłe Lorentza F = e * V * B siła = elektron * predkosc * indukcja magnetyczna jednostki: N = C * (m/s) * T N - newton, C - culomb, m - metr, s - sekunda, T - tesla. Musze udow...
 gmati  1
 wyprowadzenie wzoru na wektor r
hej, mam pytanie, otóż wiadomo, że prędkość jest pochodną wektora zmiany położenia. Chcę wyznaczyć wzór na wektor r mając do dyspozycji wektor przyspieszenia \frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v} + \vec{a}t po scałkowaniu nie ...
 Ser Cubus  15
 wytrzymałość materiałów, momenty bezwładności, reakcje
W linku przesyłam zdjęcia. W zad 1 (wyznacz momenty bezwładności względem osi y) momenty bezwładności mają być takie jak w kwadracie czy jakieś inne ?? W zad2 (dobierz wymiar a przekroju) nie wiem jak wyznaczyć reakcje Pix, Piy, Mib. Pręt CB jest roz...
 klicki1  6
 momenty gnace
Witam, jestem nowy na forum potrzebuje pomocy z wyznaczeniem momentów gnących. byłbym bardzo wdzięczny jeżeli byłby ktoś tak łaskawy i pomógł mi z tym. http:/...
 wacek_13  5
 Wyprowadzenie wzoru - moment bezwladnosci
Mam wyprowadzone wzory z calek na momenty bezwladnosci poszczegolnych bryl: wzgledem osi - walec, obrecz, preta - wzgledem osi prostopadlej do bryly i przechodzacej przez jej srodek oraz osi przechodzacej przez koniec bryly(wyklad+wyprowadzenia z ks...
 maaatrix  6
 Wyprowadzenie wzoru - zadanie 4
Umiałby ktoś wyprowadzić wzór : a= \frac{2pi}{ \sqrt{g} }...
 LIBRA  1
 Moment bezwladnosci okraglego preta.
Witam. Mam problem z obliczeniem momentu bezwladnosci. Zalozmy, ze dzialamy w tylko jednej plaszczyznie xOy. Mamy jednorodny pret o masie m w ksztalcie okregu o promieniu r. Zalozmy, ze os x i y przechodzi przez srodek symetrii tego okregu. I tutaj p...
 dragoneak  6
 Środek cieżkości i momenty bezwładności figury płaskiej
Prosze o pomoc w rozwiązaniu tego zadania, mam z tym problem. http://imageshack.us/photo/my-images/521/dscf4319g.jpg/ tutaj jest link do zadani...
 Malej7  2
 Belka - momenty gnące i siły tnące, sprawdzenie
Jedno uchybienie. Proszę poprawić znak momentu gnącego- (zmienić znak) Mg_1=+Ra \cdot a ............. Warto oznaczyć na belce przekroje, w których liczymy Mg,T. Powodzenia...
 Barbarella  4
 tensor momentu bezwladnosci
Mam problem z takimi zadankami moze ktos bedzie mi mogl pomoc: 1) znalezc tensor momentu bezwladnosci w ukladzie osi sil glownych dla a) cienkiego pierscienia i promieniu R i masie M b) dysku o promieniu R masi M i zaniedbywalnej grubosci c) kwadratu...
 Justyneczka  2
 Siły tnące i momenty gnące w belce
no nie bardzo rozumiem Twój rysunek, ja na ćwiczenaich troche to inaczej robię zmienie troche oznaczenia na tym obrazku zeby bylo lepiej widac. Masz tam odleglosci 4...
 Kondrus  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com