szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2008, o 17:13 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Warszawa
Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań. To dla mnie bardzo ważne, a szeregi są moją piętą achillesową, więc rozwiązanie zadania z krótkim wytłumaczeniem jest dla mnie bezcenne... Z góry wam dziękuję.

Zad. 1.
Zbadać zbieżność szeregów liczbowych.
a)\sum_{n=1}^{ \infty } ( \frac{n}{n+1}) ^{n ^{2} }*3 ^{n}
b)\sum_{n=1}^{ \infty } (-1) ^{n}sin \frac{1}{n}

Zad. 2.
Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu funkcyjnego.
\sum_{n=1}^{ \infty } (-1) ^{n+1} \frac{2 ^{n} }{(1-x) ^{n} }

Zad. 3.
Wyznaczyć promień i przedział zbieżności szeregu potęgowego.
\sum_{n=1}^{ \infty } (-1) ^{n} \frac{(x+3) ^{n} }{3 ^{n}(2n+1) }

Zad. 4.
Korzystając z rozwinięcia w szereg potęgowy obliczyć wartość przybliżoną całki \int_{0}^{0}
\int_{0}^{1}sinx ^{2}dxbiorąc 3 pierwsze wyrazy otrzymanego szeregu. Obliczyć błąd przybliżenia.

Zad. 5.
Rozwinąć w trygonometryczny szereg Fouriera funkcję f(x)=2x, x \in (-\pi,\pi). Sporządzić wykres sumy otrzymanego szeregu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2008, o 17:45 
Użytkownik

Posty: 6607
1.
a) Nie jest spelniony warunek konieczny, bo:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right) ^{n ^2 }\cdot 3 ^n=+\infty\ \neq 0

b) Z kryterium Leibniza:
a_n=\sin \frac{1}{n}\\
\lim_{n\to\infty} a_n=0\\
a_n\ \ \mbox{malejacy od pewnego miejsca}
Co implikuje to, ze szereg jest zbiezny.

[ Dodano: 21 Czerwca 2008, 18:54 ]
4. Korzystamy z gotowego rozwiniecia i faktu, ze szereg mozna calkowac i rozniczkowac wyraz po wyrazie:
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\
\sin x^2=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{4n+2}\\
\int \sin (x^2)\mbox{d}x =
\int \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{4n+2} \mbox{d}x=
\sum_{n=0}^{\infty} \int \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{4n+2} \mbox{d}x=
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \int x^{4n+2} \mbox{d}x=
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \frac{x^{4n+1}}{4n+3}=
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+3)} x^{4n+1}\\
\int\limits_{0}^{1} \sin (x^2)\mbox{d}x=
\left[\ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+3)} x^{4n+1}\ \right]\left|\frac{}{}\right|_{0}^{1}=
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+3)} x^{4n+1} \left|\frac{}{}\right|_{x=1}=
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+3)} 1^{4n+1}=
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+3)}=\ldots

POZDRO

[ Dodano: 21 Czerwca 2008, 19:21 ]
5. Ogolnie postac szeregu Fouriera:
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left(a_n \cos \frac {2n\pi}{T}x + b_n \sin \frac {2n\pi}{T}x \right)\\

Z danych zadania wiemy rowniez, ze: T=2\pi. Dodajemy punkty na krancach przedzialu by byly spelnione warunki (punty (-\pi;0),\ (\pi,0)).

Teraz liczymy wspolczynnik a_0:
a_0=\frac{2}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\mbox{d}x=
\frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} 2x\mbox{d}x=
\frac{1}{\pi} (x^2)\left|\frac{}{}\right|_{-\pi}^{\pi}=
\frac{1}{\pi} (\pi^2-\pi ^2)=0
a_0=0\\

Pozostalo do policzenia wspolczynniki a_n oraz b_n. Funkcja jest oczywiscie nieparzysta (chyba nie trzeba udowadniac:P), tak wiec a_n=0. Wytarczy obliczyc drugi wspolczynnik:
b_n =\frac{2}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin \frac{2n\pi}{T}x \mbox{d}x=
\frac{2}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \mbox{d}x=\ldots=
\frac{2}{\pi} \left( \frac{\sin nx-nx\cos nx}{n^2} \right) \left|\frac{}{}\right|_{x=-\pi}^{x=\pi}=
\frac{2}{\pi n^2} (\sin nx-nx\cos nx)\left|\frac{}{}\right|_{x=-\pi}^{x=\pi}=
\frac{2}{\pi n^2} (0-n\pi \cos n\pi-0-n\pi\cos n\pi)=
\frac{-4}{n}\cos n\pi

Teraz korzytajac z tego, ze \cos n\pi jest albo + albo - 1, to:
b_n=(-1)^{n+1} \frac{4}{n}

I ostatecznie:
f(x)=4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\sin nx}{n}

Czyli juz jest ladne rozwiniecie :) POZDRO
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2008, o 12:20 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Warszawa
A wie ktoś jak zrobić zadanie 2 i 3?

I czy w 1.a jest to dobrze rozwiązane? Bo kumpel zrobił mi to tak:

\lim_{n \to \infty  }   \sqrt[n]{  (\frac{n}{n+1}) ^{ n^{2} }* 3^{n}  } = \lim_{n \to \infty  }   \sqrt[n]{  (\frac{n}{n+1}) ^{ n^{2} }} *  \sqrt[n]{ 3^{n} } =  \lim_{n \to  \infty }(  (\frac{n}{n+1}) ^{ n^{2} }*3) = 3 \lim_{ n\to  \infty } (1+ \frac{1}{n}) ^{-n} =  \frac{3}{e}      
 > 1
Wn. Szereg jest rozbieżny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2008, o 16:39 
Użytkownik

Posty: 6607
Twierdzenie Cauchy'ego jest dobrze zastosowane, jednak na poczatku szereg musi byc zbiezny do 0, by wogole mozna bylo zastosowac to twierdzenie. POZDRO
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 szeregi funkcyjne
zbadac zbieznosc szeregow funkcyjnych: 1) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{1+n^4 x^2}\ \ x \in \RR_+\cup \{ 0 \} 2) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}n!}{n^{2n}} \cos 2nx\ \ \ x \in \RR...
 wiola_pachla  1
 Szeregi Taylora i Maclaurina
Prosze bardzo o pomoc w rozwiązaniu następujących zadań: 1. Funkcje f(x)=log(1+x^3) i g(x)=xsinx+cosx^2 rozwiń we wzór Taylora do wyrazów kwadratowych w dowolnym punkc...
 kej.ef  1
 Zadania które sprawiły mi problem
Witam! Uczę sie aktualnie do kolosa i te zadania sprawily mi problem. 1. wykazac ze granica ciagu -n wynosi nieskonczonosc 2. niech an= 2n/n^3 +1 korzystajac z tw o 3 ciagach udowodnic ze liman=0 oszacowac liczbe n0nalezaca do N taka ze dl...
 wardinho  1
 Zadania z analizy ;/
Nie wiem jak sie mam zabrac za tego typu zadania: 1. Zbadac ,czy podane ciagi sa ograniczone z dołu: a) \frac{n}{n+1} b) 10n - n^{2} 2.Korzystajac z definicji granicy niewlasciwej uzasa...
 ncreaved  2
 ciagi , granica i szeregi.......
Jezeli ktos moglby mi pomoc z tymi zadaniami bylabym wdzieczna. 1. Dane sa dwa ciagi (a_{n}) i (b_{n}) o wyrazach ogolnych a_{n}=n+(n-1)+(n-2)+...+2+1[/tex:1pxs7...
 mart1na  1
 Zadania z postacią rekurencyjną...
Prosiłbym o rozwiązanie następujących zadań i o radę jak trzeba się zabrać do zadań z postacią rekurencyjną... Podaj ogólny wyraz a_{n} ciągu zdefiniowanego rekurencyjnie: 1. a_{1} =3 a_{n+1} = (a_{n})^� ( a_{n+1} = pierwiastek z a_{n} ) 2...
 mmichniu  12
 szeregi funkcyjne - zadanie 2
Wyznaczyć zbiór tych watości $x R$, dla których podane szeregi sa zbieżne: $a). \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n(2n-1&...
 agulka1  0
 Zadania - wzór Taylora, MacLaurina, metoda Newtona
Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań. Proszę o pełne rozwiązania bo jestem noga w tym więc będę mogła je sobie przeanalizować i nauczyć się trochę.... ...
 KingaS7  0
 szeregi potegowe
jak zbadac przedzialy zbieznosci tyhc szeregow: 1. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2 x^n}{(n+1)^2 *2^n} 2. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(x+3)^n}{n^3} 3. \sum_{n...
 kerim  1
 Szereg Fouriera, 4 zadania o moje byc albo nie byc.
1. Znaleźć minima i maksima lokalne wielomianu trygonometrycznego: \sin\phi \ + \ \frac{\sin 2 \phi}{2} \ + \ ... \ + \ \frac{\sin n \phi}{n} 2. Dowieść, że wielomian trygonometryczny a_{1}\cos\phi \ + \...
 pwone  2
 szeregi zbieżne warunkowo, zbieżne bezwzględnie
mam problem z rozwiazaniem takich trzech przykladow: mam rozstrzygnac ktore z podanych szeregow sa zbiezne warunkowo a ktore bezwzglednie: 1) \sum_{n=2}^{ ...
 kkatrina  0
 Dwa szeregi potęgowe
Witam. Proszę o pomoc przy poniższych szeregach potęgowych. Z góry bardzo dziękuję. 1)\sum_{ n=1 }^{\infty } \frac{n! (X+3)^{n} }{ n^{n} } 2)\sum_{n=1 }^{\infty } (\frac{n}{2n+1}) ^{2n-...
 szept  1
 Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji
jak sie zabrac za takie cos ? : Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności: f(x) = \frac{x}{9+x ^{2} } bardzo prosze o pomoc. dziekuje...
 zxc18  3
 prosba o weryfikacje wynikow zadania
witam, mam nastepujacy problem. chodzi mi o sprawdzenie poprawnosci otrzymanych wynikow zadanie jest nastepujace aby znalezc rozwiniecie w szereg fouriera funkcji: 1-x^2 w przedziale wg moich obliczen A0=4/3 , a An oraz Bn wyszly rowno 0, n...
 cerbero  1
 2 zadania "zbadaj zbieżność"
1) Zbadaj zbieżność \sum_{n=0}^{ } \frac{2^{n}-(-1)^{n}\sqrt{n}}{n3^{n}-n^2} (x-1)^{n} 2)Zbadaj zbieżność i zn...
 elzabbul  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com