szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2008, o 13:14 
Użytkownik

Posty: 912
W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym kąt między płaszczyznami sąsiednich ścian bocznych wynosi 120 stopni. Obliczyć kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lip 2008, o 11:24 
Moderator

Posty: 4408
Lokalizacja: Łódź
Oznaczmy: a- krawędź podstawy, b- krawędź boczna, c- wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi bocznej, h- wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi podstawy.
Niech \alpha=120^{o} będzie danym kątem dwuściennym między sąsiednimi ścianami bocznymi. Niech \beta będzie szukanym kątem nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
Ze wzoru na pole trójkąta zastosowanego do ściany bocznej mamy \frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bc, więc ah=bc. Obie strony tej równości mają wartość dodatnią, więc podnosząc do kwadratu mamy
a^2h^2=b^2c^2.
Z twierdzenia kosinusów otrzymujemy (a\sqrt{2})^2=c^2+c^2-2c^2\cos\alpha, skąd wynika, że
a^2=c^2(1-\cos\alpha).
Ponadto, z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
b^2=h^2+(\frac{a}{2})^2.
Wstawiając drugie z wycentrowanych równan do pierwszego uzyskamy b^2=h^2(1-\cos\alpha). Następnie wstawiając otrzymane wyrażenie do trzeciego z wyśrodkowanych równań otrzymamy h^2(1-\cos\alpha)=h^2+(\frac{a}{2})^2, skąd łatwo dostajemy -\cos\alpha=(\frac{a}{2h})^2=(\cos\beta)^2. Stąd ponieważ \beta jest kątem ostrym, to \cos\beta=\sqrt{-\cos\alpha}=\sqrt{-\cos 120^{o}}=\sqrt{-(-\frac{1}{2})}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, więc \beta=45^{o}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Prawidłowy ostrosłup czworokątny - zadanie 3
Prawidłowy ostrosłup czworokątny, którego wszystkie krawędzie mają tę samą długość a, przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 stopni . Obliczyć pole otrzymanego przekroju. Mógłby ktoś...
 MaTTematyk  5
 Prawidłowy ostrosłup czworokątny - zadanie 2
Witam! Mam zadanie ze zbiorku, i rozwiązałem je zupełnie innym sposobem niż ten zasugerowany i zastanawiam się, czy jest poprawny Mniejsza o to, czy jest najszybsz...
 Glo  1
 Ostrosłup prawidłowy - zadanie 13
Można prosić o pomoc: W ostrosłupie trójkątnym foremnym krawędź boczna jest równa 4. Kąt między krawędzią boczną a wysokością ostrosłupa jest równy 60 stopni. Do obliczenia powierzchnia całkowita i obj. Próbowałem samemu ale jak sobie robie tr...
 grero89  1
 Graniastosłup prawidłowy sześciokątny - zadanie 29
W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym dłuższa przekątna ma długość \sqrt{5}dm, a krótsza przekątna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 ^{0}. Oblicz pole powierzchni boczn...
 katrrin18  2
 Graniastoslup czworokatny opisany na walcu
Mam tu takie zadanie i zglupialam )) Objetosc walca wynosi V. Obliczyc objetosc graniastoslupa czworokatnego, opisanego na walcu. Wedlu...
 Barbara777  3
 Graniastosłup prawidłowy sześciokątny - zadanie 2
Witam, mam problem z tym oto zadaniem: "Krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 8, a dłuższa przekątna tworzy z podstawą kąt o mierze 20^{o} (dwudziestu stopni). Oblicz wysokość i dłu...
 allexx  3
 Ostrosłup prawidłowy - zadanie 54
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma 2 cm, a pole powierzchni bocznej wynosi 12 cm2. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa....
 adaxada  3
 ostrosłup - zadanie 44
krawędź podstawy prawidłowego ostrosłupa trójkątnego jest 3 razy krótsza od krawędzi bocznej. Oblicz \coskąta między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa....
 drasza  0
 Ostrosłup prawidłowy trójkątny. - zadanie 3
Witam, prosiłbym o pomoc w takim oto zadanku: "Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 1, a krawędź boczna ma długość 2. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i prostopadłą...
 Tempy  1
 Walec wpisany w ostrosłup
Witam!! Mam problem z zadaniem: W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisany jest walec — jedna podstawa walca jest zawarta w podstawie ostrosłupa, druga podstawa ma jeden punkt wspólny z każdą ścianą boczną ostrosłupa. Krawędź podstawy ostrosłu...
 TokaKoka  1
 Ostrosłup prawidłowy czworokątny - zadanie 84
Przy wejściu na stadion ustawiono stojak reklamowy w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym krawędzie podstawy mają długość 3m, a wysokość ściany bocznej jest o 20% większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz pole powierzchni boc...
 monika2580  0
 kula wpisana w ostrosłup - stosunek objętości
W prawidłowym ostrosłupie trójkatnym miary kątów nachylenia ściany bocznej i krawędzi bocznej do podstawy ostrosłupa wynoszą odpowiednio: \alpha i \beta. Oblicz stosunek objetosci ostrosłup...
 matematyk1995  8
 Płaszczyzna przecinająca ostrosłup
Czy istnieje taki ostrosłup czworokatny oraz taka płaszczyzna przecinajaca wszystkie jego krawedzie boczne, ze pole uzyskanego przekroju jest wieksze od pola podstawy ostrosłupa? Odpowiedz uzasadnij....
 qwass  2
 graniastosłup prawidłowy czworokątny - zadanie 49
Zał: a>0 \wedge h>0 2*Pp+Pb=112 a^{2}*H=80 2a^{2}+4*a*h=112 H= \frac{80}{a^{2}} Te obliczenia...
 Lenka_13  1
 Ostrosłup prawidłowy czworokątny - objętość, pole powi
witam mam problem z 2 zadaniami z matematyki, o to ich treść zad1 Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego którego krawędź boczna ma długość 6cm i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 45 stopni zad2 ...
 wiedzmin  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com