szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2008, o 12:14 
Użytkownik

Posty: 912
W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym kąt między płaszczyznami sąsiednich ścian bocznych wynosi 120 stopni. Obliczyć kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lip 2008, o 10:24 
Moderator

Posty: 4402
Lokalizacja: Łódź
Oznaczmy: a- krawędź podstawy, b- krawędź boczna, c- wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi bocznej, h- wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi podstawy.
Niech \alpha=120^{o} będzie danym kątem dwuściennym między sąsiednimi ścianami bocznymi. Niech \beta będzie szukanym kątem nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
Ze wzoru na pole trójkąta zastosowanego do ściany bocznej mamy \frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bc, więc ah=bc. Obie strony tej równości mają wartość dodatnią, więc podnosząc do kwadratu mamy
a^2h^2=b^2c^2.
Z twierdzenia kosinusów otrzymujemy (a\sqrt{2})^2=c^2+c^2-2c^2\cos\alpha, skąd wynika, że
a^2=c^2(1-\cos\alpha).
Ponadto, z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
b^2=h^2+(\frac{a}{2})^2.
Wstawiając drugie z wycentrowanych równan do pierwszego uzyskamy b^2=h^2(1-\cos\alpha). Następnie wstawiając otrzymane wyrażenie do trzeciego z wyśrodkowanych równań otrzymamy h^2(1-\cos\alpha)=h^2+(\frac{a}{2})^2, skąd łatwo dostajemy -\cos\alpha=(\frac{a}{2h})^2=(\cos\beta)^2. Stąd ponieważ \beta jest kątem ostrym, to \cos\beta=\sqrt{-\cos\alpha}=\sqrt{-\cos 120^{o}}=\sqrt{-(-\frac{1}{2})}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, więc \beta=45^{o}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Prawidłowy ostrosłup czworokątny - zadanie 2
Witam! Mam zadanie ze zbiorku, i rozwiązałem je zupełnie innym sposobem niż ten zasugerowany i zastanawiam się, czy jest poprawny Mniejsza o to, czy jest najszybsz...
 Glo  1
 Prawidłowy ostrosłup czworokątny - zadanie 3
Prawidłowy ostrosłup czworokątny, którego wszystkie krawędzie mają tę samą długość a, przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 stopni . Obliczyć pole otrzymanego przekroju. Mógłby ktoś...
 MaTTematyk  5
 ostrosłup prawidłowy..
w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a, zaś kąt płaski przy wierzchołku miarę \alpha . oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy tego ostrosłupa i prostopad...
 CzystaFinezja  1
 Ostrosłup - zadanie 13
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 2cm, a kąt między ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy ma miarę \frac{\Pi}{4}. Oblicz objętość. Obliczyłem h=2cm i objętość wyszła mi 2 \s...
 eerroorr  4
 Graniastosłup czworokątny - zadanie 5
Dany jest graniastosłup czworokątny ABCDEFGH, którego podstawą jest trapez równoramienny ABCD (AB||CD). Przekrój wyznaczony przez płaszczyznę zawierającą przekątne ścian bocznych ADHE ...
 karo777  2
 ostrosłup - zadanie 19
w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość ma długość H a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ma miare alfa.Wyznacz objętość tego ostrosłupa...
 marian wawa  0
 Graniastosłup prawidłowy trójkątny, wysokość
Czy ktoś potrafi wyliczyć H? To zapewne jest tak banalne, że nie potrafię tego zauważyć. http://corn1.republika.pl/matematyka2.jpg...
 Anonymous  1
 ostrosłup wpisany w sfere
Ostrosłup prawidłowy trójkątny, o podstawie a wpisany jest w sfere, przy czym środek tej sfery dzieli wysokość ostrosłupa w stosunku \sqrt{5}:1. licząc od wierzchołka. Oblicz objętość tego ostrosłupa....
 mat1989  1
 Ostroslup prawidlowy czworokatny
W ostroslupie prawidlowym czworokatnym przekatna podstawy ma dlugosc 6 zas sciana boczna tworzy z plaszczyzna podstawy kat o mierze 60°. oblicz pole powierzchni bocznej i objetosc figury...
 PavlaQ  1
 ostrosłup - zadanie 15
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 6\sqrt{3} a kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych wychodzących z wierzchołka ostrosłupa ma 60stopni Oblicz ple powi...
 alpinus  2
 Graniastosłup prawidłowy sześciokątny - zadanie 10
Witam, Prosiłbym o waszą pomoc w następującym zadaniu: Oblicz: a) pole powierzchni całkowitej b) objętość Graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o wymiarach: \matfrak{a=8cm} oraz \matfrak{H=15cm}[...
 pro.bos  1
 ostrosłup o podstawie trójkąta prostokątnego
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego kąt ostry ma miarę \alpha. Wszystkie krawędzie boczne mają długość k i są nachylone do podstawy pod kątem o mierze \beta. Oblicz objetosc ...
 Atraktor  0
 Ostrosłup prawidłowy trójkątny - zadanie 27
Dany jest Ostrosłup prawidłowy trójkątny o kącie nachylenia krawędzi bocznej do podstawy 60 stopni. Wysokość ostrosłupa na długość 10. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa....
 justyska70  1
 ostrosłup prawidłowy czworokątny o najmniejszej objętości
Jak znaleźć ostrosłup prawidłowy czworokątny opisany na kuli o promieniu r, któy ma najmniejszą objetość? Domyślam się, że może to być taki ostrosłup, który ma wszystkie krawędzie równej długości, ale po pierwsze nie wiem czy myślę dobrze, a po drug...
 DoMini1606  4
 Ostrosłup - zadanie 4
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość ma długość H, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę α . Wyznacz objętość tego ostrosłupa. Z góry dzięki za pomoc...
 jayson  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com