szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lip 2008, o 11:28 
Użytkownik

Posty: 84
Lokalizacja: WWA
Znaleźć objętość bryły ograniczonej płaszczyzną Oxy, oraz powierzchniami x^2+y^2-4z^2=0, x^2+y^2-8x=0

Największym proglemem jest podstawa całkowania (koło o środku w punkcie 0,4), nie wiem za bardoz jak ugryźć to, ze jest ono w punkcie 0,0.

Jakby ktos pomogl to bylbym wdzieczny
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lip 2008, o 12:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1049
Lokalizacja: Białystok|Warszawa
D: \{-\frac{\pi}{2}\leq \varphi \leq \frac{\pi}{2} \wedge 0 \leq r \leq 8\cos \varphi \}
gdzie zakres r znajdujesz podstawiając do równania okręgu współrzędne biegunowe:
x^2+y^2-8x=0 \Rightarrow r^2-8r\cos\varphi=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lip 2008, o 20:31 
Użytkownik

Posty: 84
Lokalizacja: WWA
steal napisał(a):
D: \{-\frac{\pi}{2}\leq \varphi \leq \frac{\pi}{2} \wedge 0 \leq r \leq 8\cos \varphi \}
gdzie zakres r znajdujesz podstawiając do równania okręgu współrzędne biegunowe:
x^2+y^2-8x=0 \Rightarrow r^2-8r\cos\varphi=0


Rozumiem skad masz r^2-8r\cos\varphi=0, rozwiazaniami tego rownania są r=0 \wedge r=8cos\varphi, ale skad wziales zakres phi nie mam pojecia, wogole calosci nie do konca rozumiem.

Jestem na taki poziomie:
Umiem rozwiazac całkę ktorej podstawą jest koło o środku w punkcie 0,0 (ew obręcz, zlozona z 2 kółek z tym samym środkiem), wtey podstawiam
x=r*cos(\varphi) y=r*sin(\varphi) r okreslam albo od 0 do promienia koła (w przypadku samego koła), lub od jednego promienia do drugiego (w przypadku "obważanków" takich :) ), phi okreslam odpowiednio, czy calkuje po całym kole, bądź jego wycinku.

jakby mozna proche prosciej :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lip 2008, o 20:34 
Użytkownik

Posty: 3891
Lokalizacja: Warszawa
A może łatwiej by było Ci podstawić:
x = 4 + rcos\varphi
Wtedy rozważasz to jakby w przesuniętym układzie współrzędnych i całkujesz normalnie po całym kole.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lip 2008, o 20:37 
Użytkownik

Posty: 84
Lokalizacja: WWA
wlasnie kiedys podobne zadanie rozwiazywalem w tkai sposób, zrezygnowalem po zpaisaniu 2 kartek A4 rozwiazujac kosmiczne calki nieoznaczone. Ktos wtedy pokazywal mi podobna metode jaka steal przedstawił, i rozwiazal to smao zadanie w 3 linijki.
Na egzaminie wypadaloby szybko zadania rozwiazywac :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lip 2008, o 20:46 
Użytkownik

Posty: 3891
Lokalizacja: Warszawa
To fakt, często wychodzi dłużej. A w metodzie podanej przez steala zakres kąta widać z rysunku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2008, o 20:28 
Użytkownik

Posty: 84
Lokalizacja: WWA
policzylem jak steal pokazał i wyszlo mi dobrze :)

Obrazek

jednak caly czas chciałbym zrozumiec ta metode:
rozumiem ze phi jest od -pi/2 do pi/2 bo kółko lezy tak jakby od 4 do 1 ćwiartki wykresu, zakres r to jak steal pisal, podstawiam wspolzedne begunowe do wzoru na kółko, i wychodzi mi równanie kwadratowe, otrzymuje 2 rozwiazania (tutaj tez nie bylbym pewny gdybym sam rozwiazywał jaki zakres dać, czy od 0 do 8cos, czy na odwrot).

ale co tak na prawde my robimy (podstawiajac wspolzedne biegunowe do kółka w srodku 0,0, robimy z niego tak jakby kwadrat, i całkujemy po 2 stałych granicach, tutaj 1 granica jest zmienna)...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2008, o 01:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1049
Lokalizacja: Białystok|Warszawa
Przepraszam, że nie odpisywałem, ale gdzieś mi umknął ten temat.
Odnośnie metody Wasilewskiego to sprawdza się w momencie, gdy nie masz w całce funkcji która zawiera x i y w skomplikowanej formie np: \iint_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy - jeżeli zastosujesz zamianę na współrzędne biegunowe to otrzymasz całkę \iint_D\sqrt{(4+r\cos\varphi)^2+r^2\sin\varphi}drd\varphi, która jest bardzo pracochłonna do obliczenia. Zapewne wiesz, że w tej metodzie nastąpiło przesunięcie układu, tak aby początek pokrywał się ze środkiem okręgu/koła. Wtedy granice całkowania są banalne.

Aby ominąć nadmiar rachunków stosujemy normalną zamianę na współrzędne biegunowe (wtedy wyrażenie podpierwiastkowe przyjmie prostą postać r^2), ale występuje problem opisu okręgu/koła którego środek nie pokrywa się z układem.
-----Dygresja--------------
We współrzędnych kartezjańskich, gdy liczysz całkę dla obszaru D normalnego względem osi OX całkowanie po x-ie odbywa się w stałych granicach całkowania, całkowanie po y może odbywać się dla stałych lub dla zmiennych granic całkowania. Analogicznie po zamianie na współrzędne biegunowe kąt \varphi jest określony stałymi granicami całkowania, natomiast promień może przyjmować wartości stałe (jeżeli mamy do czynienia z okręgiem) lub zmienne (jeżeli jest to krzywa).
-----------------------------
Zgodnie z dygresją w tej sytuacji mamy do czynienia z krzywą bowiem odległość punktu okręgu od początku układu współrzędnych zmienia się wraz ze zmianą kąta \varphi. Co robimy? Znajdujemy równanie tej krzywej (x^2+y^2-8x=0 i wyrażamy je we współrzędnych biegunowych. Otrzymujemy zależność promienia w zależności od danego kąta: r=8\cos\varphi. Granice całkowania dla promienia (a więc innymi słowy - jego długość) są od wartości mniejszej 0 do wartości r\cos\varphi. Dla zobrazowania dołączam rysunek:
Obrazek
Małe podsumowanie:
Jeżeli masz całkę o nieskomplikowanej funkcji podcałkowej, a obszar całkowania jest ograniczony 'przesuniętym' względem początku układu współrzędnych okręgiem to korzystasz z podstawienia zasugerowanego przez Wasilewskiego. Natomiast jeżeli funkcja jest skomplikowana to stosuj moją metodę.

Dla poćwiczenia oblicz całkę \iint_Ddxdy dla obszaru ograniczonego okręgiem o równaniu (x-2)^2+y^2=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lip 2008, o 18:22 
Użytkownik

Posty: 84
Lokalizacja: WWA
Na początku chciałbym podziękowac za tak dokładne wytłumaczenie :)

Podaną całkę rozwiązaniem najpierw metodą Wasilewskiego, (podstawilem x=2+rcos(fi)) gdyz funkcja podcałkowa była trywialna (wyszło mi 2 PI)

Jednak zacząłem liczyć 2 metodą, i podstawilem
x = rcos\varphi \\
y =rsin\varphi
pod równanie koła będącego podstwą całki. Jednak tutaj nie wiem co dalej zrobić, gdyż wyszło mi równanie z "brzydkimi" pierwiastkami: r^2 - rcos\varphi +3 =0

Na "oko" promień powinien miec zakres od zera, do jakiejś funkcji, ale tutaj chyba nie wyjdzie nigdzie 0.
Gdzie robię błąd, bo wydaje mi sie, ze tak nie powinno wyjsc

Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 lip 2008, o 02:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1049
Lokalizacja: Białystok|Warszawa
Specjalnie dałem taki przykład, aby nie pozostało w pamięci przeświadczenie, że granice całkowania zawsze będą tutaj od zera. Jak narysujesz ten okrąg to zauważysz, że początek układu współrzędnych nie należy do okręgu - a więc "promień" będzie przybierał wartości od pierwszego punktu przecięcia z okręgiem do drugiego przecięcia (w poprzednim przykładzie pierwsze przecięcie, dla każdego poprowadzonego promienia, zawsze było w początku układu), te wartości odczytasz rozwiązując równanie: r^2-r\cos\varphi+3=0

Obrazek
Na tym przykładzie widać również, że dobór metody decyduje o szybkości rozwiązania =)
Mam nadzieję, że choć trochę pomogłem.

pozdrawiam
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całka podwójna  Anonymous  1
 Całka podwojna  eoor  1
 całka podwójna - zadanie 2  megassj  4
 całka podwójna - zadanie 3  dejna  2
 Całka podwójna - zadanie 4  Ragless  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com