szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2008, o 14:10 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rawa-Mazowiecka
siema mam takie zadanko w którym są wpisane wektory i mam sprawdzić czy są liniowo niezależne jak to zrobić?

\left[ 1  ,2  ,-3\right],  \left[4  ,-1 ,1 \right] , \left[ 0 , 1 , 1 \right]  ,\left[ 2,  2  ,6\right]
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 paź 2008, o 17:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 81
Lokalizacja: Polska
Wektory są liniowo niezależne, wtedy gdy ich kombinacja liniowa znika tylko dlatego, że elementy z ciała są zerowe, tzn. :

\alpha_{1}v_{1}\;+\;\alpha_{2}v_{2}\;+\;...\;+\;\alpha_{n}v_{n}\;=\;\Theta

gdzie \Theta\;=\;[0,0,...,0] to wektor zerowy przestrzeni n - wymiarowej.

\alpha_{i}\;=\;0 dla i\;=\;1,2,...,n

czyli:

\alpha_{1}[1,2,-3]\;+\;\alpha_{2}[4,-1,1]\;+\;\alpha_{3}[0,1,1]\;+\;\alpha_{4}[2,2,6]\;=\;[0,0,0,0]

co jest równoważne:

\alpha_{1}\;+\;4\alpha_{2}\;+\;2\alpha_{4}\;=\;0

2\alpha_{1}\;-\;\alpha_{2}\;+\;\alpha_{3}\;+\;2\alpha_{4}\;=\;0

-3\alpha_{1}\;+\;\alpha_{2}\;+\;\alpha_{3}\;+\;6\alpha_{4}\;=\;0

i trzeba to rozwiązać, by sprawdzić czy się \alpha_{i} zerują.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2008, o 17:42 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rawa-Mazowiecka
dzięki za pomoc;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2015, o 10:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 34
Lokalizacja: Wadowice
Odświeżam temat. Ale tutaj mamy układ 3 równań z 4 niewiadomymi. Nie da się policzyć wyznacznika. Jak więc to ugryźć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2015, o 10:22 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2565
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Policzyć rząd macierzy i skorzystać z tw. Kroneckera-Capellego.
Tu jednak widać, że ten rząd maksymalnie może być równy 3, więc zawsze przynajmniej jedną zmienną można sparametryzować co rozwiązuje zadanie

Można też skorzystać z wiedzy o bazie przestrzeni liniowej i z miejsca powiedzieć, że te wektory są liniowo zależne (baza składa się z 3 wektorów, a mamy tu cztery - więc jeden na pewno jest zbędny)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2015, o 10:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 34
Lokalizacja: Wadowice
Ok, czyli z tw. KC, jeśli mógłbyś mi sprawdzić, bo nie jestem pewny, czy to wszystko dobrze robię.

Troszkę na skróty to napiszę, bo nie jestem biegły w latex-u.

\begin{bmatrix}
1&4&0&2\\ 
2&-1&1&2\\ 
-3&1&1&6
\end{bmatrix}|

...i to oczywiście mnożymy razy wektor alfa1..4 i otrzymujemy 0. Następnie szukamy największego niezerowego minora. Mamy:

\begin{bmatrix}
1&4&0\\ 
2&-1&1\\ 
-3&1&1
\end{bmatrix}

W = -22

Wiemy, że nie wiadomych n=4. I teraz rzędy macierzy. R(a)=3 i R(a|b)=3 (b to są zera), więc 3<4, stąd wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Czy to już koniec, czy należałoby jeszcze coś dopisać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2015, o 11:02 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2565
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Cytuj:
...i to oczywiście mnożymy razy wektor alfa1..4 i otrzymujemy 0


nie rozumiem tego stwierdzenia.

Dalej w porządku (przy założeniu, że wyznacznik jest dobrze policzony). Można nawet napisać, że układ zależy od jednego parametru, ale co nie zmienia faktu, że istnieje nieskończenie wiele niezerowych a_{i} rozwiązujących układ. A to kończy zadanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2015, o 11:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 34
Lokalizacja: Wadowice
Chodziło mi o to, z alfami:

\begin{bmatrix}
\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\alpha_{3}\\\alpha_{4}\\

\end{bmatrix}

I jeszcze wracając do parametru, bo on mi spędza sen z powiek: parametrem będzie \alpha_{4}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2015, o 11:20 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2565
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Tak, może być.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wektory liniowo niezależne - zadanie 9
Dane są wektory liniowo niezależne v_{1} , v_{2} , v_{3} Oceń które zdania są prawdziwe ... 1.Wektoryv_1 , v_2 są liniowo nie zależne 2.Wektory v_1 , v_2 , 0 są...
 Tomy666  3
 wektory liniowo niezależne - zadanie 4
Wektory V_{1}, V_{2} \in R ^{3} są liniowo niezależne. Wektor V_{3}=V_{1} \times V_{2} (leży/nie leży)..... w tej samej płaszczyźnie co wektory V_{1}, V_{2} or...
 konofilius  3
 Wektory liniowo niezależne - zadanie 11
Witajcie, mam do wykonania takie oto zadanie i zupełnie nie wiem jak się za nie zabrać. Liczę na Waszą pomoc Z góry thx. W przestrzeni liniowej [t...
 Artix5  1
 Wektory liniowo niezależne - zadanie 10
Dane są wektory liniowo niezależne v_{1} , v_{2} , v_{3} Oceń które zdania są prawdziwe ... 1.Wektoryv_1 , v_2 są liniowo nie zależne 2.Wektory v_1 , v_2 , 0 są...
 Tomy666  1
 Wektory liniowo niezależne - zadanie 7
Jak sprawdzić, że w przestrzeni liniowej wszystkich wielomianów nad ciałem liczb rzeczywistych, wektory 1,x,x^2,\ldots ,x^n są liniowo niezależne?...
 patricia__88  6
 Wektory liniowo niezależne - zadanie 6
Niech \vec{x_{1}}, \vec{x_{2}} będą wektorami liniowo niezależnymi. Dla jakich wartości \lambda wektory \lambda \vec{x_{1}}+\vec{x_{2}}[/tex:2ippeqv3...
 revell  3
 Wektory liniowo niezależne - zadanie 5
Należy podać przykład 3 wektorów, które są liniowo niezależne w R^{3} nad ciałem R i jednocześnie liniowo zależne w Z_{3}^{3} nad ciałem Z_{3[/tex:1...
 MisterWolf  6
 Wektory liniowo niezależne - zadanie 3
Np. v1 = (1,0), v2 = (4,1), v3 = (6,1) każda para tych trzech wektorów jest względem siebie liniowo niezależna. Problem w tym, że aby Twój kontrprzykład działał wszystkie trzy...
 emperor2  5
 Wektory liniowo niezależne - zadanie 8
cześć, mam zadanie: Zbadać liniową zależność wektorów v _{1}=, v _{2} =, v _{3}=. Czy wektor u=[/tex:bxl01ct...
 tyagaraja  1
 wektory liniowo niezależne
Czy wektory a) i ; b) i są liniowo niezależne ?...
 Michal_Walczuk  1
 Dowod wektory macierz
Niech V=lin&#40;v_1,...,v_m&#41;beda wektorami K_n, gdzie K oznacza pewne cialo. Udowodnic poprawnosc nastepujacej metody wybierania sposrod wektorow([tex:hneffsd5...
 Happycool  0
 Znajdź wektory generujące bazę
Znajdź wektory generujące bazę oraz wymiar przestrzeni wektorowej. V=\left\{ \in R^{4}: x + 2y - z + t = x + y = x - y = x - y + t \right\}...
 kazafin  3
 Wektory i bazy
Zad.1 Zbiór wektorów {(1,0,1,-1),(2,3,-1,2),(3,3,2,1)} uzupełnić do bazy liniowej przestrzeni R^4. Zad.2 Wskazać bazę i określić wymiar przestrzeni liniowej, która składa się z wektorów: V={&#40;a+2b+c, 3a...
 gosia19  9
 wektory własne - zadanie 16
Sprawdzić czy jest endomorfizm jest diagonalizowalny: R^3--&gt;R^3 macierz tego endomorizmu ,to \left wartości...
 Nesquik  4
 wartości i wektory własne macierzy - zadanie 2
Zad. Dla poniższej macierzy wyznacz jej wartości własne wraz z ich krotnościami algebraicznymi i geometrycznymi oraz wektory własne im odpowiadające. \left[\begin{array}{ccc}2&amp;1&amp;0\\-6&amp;1&amp;-6\\-3&amp;-1&amp;-1\end{array}\ri...
 Hatcher  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com