szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2008, o 15:10 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rawa-Mazowiecka
siema mam takie zadanko w którym są wpisane wektory i mam sprawdzić czy są liniowo niezależne jak to zrobić?

\left[ 1  ,2  ,-3\right],  \left[4  ,-1 ,1 \right] , \left[ 0 , 1 , 1 \right]  ,\left[ 2,  2  ,6\right]
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 paź 2008, o 18:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 81
Lokalizacja: Polska
Wektory są liniowo niezależne, wtedy gdy ich kombinacja liniowa znika tylko dlatego, że elementy z ciała są zerowe, tzn. :

\alpha_{1}v_{1}\;+\;\alpha_{2}v_{2}\;+\;...\;+\;\alpha_{n}v_{n}\;=\;\Theta

gdzie \Theta\;=\;[0,0,...,0] to wektor zerowy przestrzeni n - wymiarowej.

\alpha_{i}\;=\;0 dla i\;=\;1,2,...,n

czyli:

\alpha_{1}[1,2,-3]\;+\;\alpha_{2}[4,-1,1]\;+\;\alpha_{3}[0,1,1]\;+\;\alpha_{4}[2,2,6]\;=\;[0,0,0,0]

co jest równoważne:

\alpha_{1}\;+\;4\alpha_{2}\;+\;2\alpha_{4}\;=\;0

2\alpha_{1}\;-\;\alpha_{2}\;+\;\alpha_{3}\;+\;2\alpha_{4}\;=\;0

-3\alpha_{1}\;+\;\alpha_{2}\;+\;\alpha_{3}\;+\;6\alpha_{4}\;=\;0

i trzeba to rozwiązać, by sprawdzić czy się \alpha_{i} zerują.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2008, o 18:42 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Rawa-Mazowiecka
dzięki za pomoc;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2015, o 11:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 34
Lokalizacja: Wadowice
Odświeżam temat. Ale tutaj mamy układ 3 równań z 4 niewiadomymi. Nie da się policzyć wyznacznika. Jak więc to ugryźć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2015, o 11:22 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2625
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Policzyć rząd macierzy i skorzystać z tw. Kroneckera-Capellego.
Tu jednak widać, że ten rząd maksymalnie może być równy 3, więc zawsze przynajmniej jedną zmienną można sparametryzować co rozwiązuje zadanie

Można też skorzystać z wiedzy o bazie przestrzeni liniowej i z miejsca powiedzieć, że te wektory są liniowo zależne (baza składa się z 3 wektorów, a mamy tu cztery - więc jeden na pewno jest zbędny)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2015, o 11:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 34
Lokalizacja: Wadowice
Ok, czyli z tw. KC, jeśli mógłbyś mi sprawdzić, bo nie jestem pewny, czy to wszystko dobrze robię.

Troszkę na skróty to napiszę, bo nie jestem biegły w latex-u.

\begin{bmatrix}
1&4&0&2\\ 
2&-1&1&2\\ 
-3&1&1&6
\end{bmatrix}|

...i to oczywiście mnożymy razy wektor alfa1..4 i otrzymujemy 0. Następnie szukamy największego niezerowego minora. Mamy:

\begin{bmatrix}
1&4&0\\ 
2&-1&1\\ 
-3&1&1
\end{bmatrix}

W = -22

Wiemy, że nie wiadomych n=4. I teraz rzędy macierzy. R(a)=3 i R(a|b)=3 (b to są zera), więc 3<4, stąd wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Czy to już koniec, czy należałoby jeszcze coś dopisać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2015, o 12:02 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2625
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Cytuj:
...i to oczywiście mnożymy razy wektor alfa1..4 i otrzymujemy 0


nie rozumiem tego stwierdzenia.

Dalej w porządku (przy założeniu, że wyznacznik jest dobrze policzony). Można nawet napisać, że układ zależy od jednego parametru, ale co nie zmienia faktu, że istnieje nieskończenie wiele niezerowych a_{i} rozwiązujących układ. A to kończy zadanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2015, o 12:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 34
Lokalizacja: Wadowice
Chodziło mi o to, z alfami:

\begin{bmatrix}
\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\alpha_{3}\\\alpha_{4}\\

\end{bmatrix}

I jeszcze wracając do parametru, bo on mi spędza sen z powiek: parametrem będzie \alpha_{4}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2015, o 12:20 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2625
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Tak, może być.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wektory liniowo niezależne - zadanie 11  Artix5  1
 Wektory liniowo niezależne - zadanie 8  tyagaraja  1
 Wektory liniowo niezależne - zadanie 5  MisterWolf  6
 Wektory liniowo niezależne - zadanie 3  emperor2  5
 Wektory liniowo niezależne - zadanie 9  Tomy666  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com