[ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 00:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Witam :) Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienie takiego zadania.

Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r:   4^{k}|mnr  \Rightarrow  4 ^{5}|m lub 4 ^{3}|n lub 4 ^{12}|r.

Proszę o pomoc.
Pozdrawiam. ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 01:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2603
Lokalizacja: Amsterdam
Niech m=2^a \cdot A, \ n=2^b \cdot B, \ r=2^c \cdot C, gdzie A,B,C są nieparzyste. Wówczas oczywiście liczby A,B,C nie mają wpływu na nic co się dzieje w tym zadaniu, więc dla ustalenia uwagi niech będą jedynką. Z podzielności:
2^{2k}|2^{a+b+c} mamy: a+b+c \ge 2k.

Stąd jeśli nie zachodzi żadna z podzielności:
2^{10}|2^a \\ 2^{6}|2^b \\ 2^{24}|2^c
to musi być: a \le 9, b \le 5, c \le 23, czyli: a+b+c \le 9+5+23=37, czyli aby zachodziła choć jedna z tych podzielności dla dowolnych m,n,r musi być: a+b+c \ge 38 (bo k jest naturalne), a skoro ma to zachodzić dla każdych a,b,c, to wybierzmy minimalne a,b,c (z pierwszej nierówności): a+b+c=2k, czyli: 2k \ge 38 \iff k \ge 19. Zatem k=19 jest minimalne.

Mocno sobie skróciłem opis, ale zrozumiesz mam nadzieję ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 01:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Dziękuję bardzo. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Najmniejsza liczba naturalna - zadanie 2
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r: 6^{k}|mnr \Rightarrow 6^{5}|m \ lub \ 6^{3}|n \ lub \ 6^{12}|r Proszę o pomoc...
 addmir  3
 Równanie z liczbą pierwszą
Rozwiąż równanie w liczbach naturalnych: \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}, gdzie p - pewna liczba pierwsza. Doszedłem do wniosku, że jeśli x = y, wtedy p = 0,5x i takich liczb pierwszych jest nieskończenie wiele,...
 Desmondo  2
 Czy liczba jest kwadratem liczby naturalnej? - zadanie 2
Nie ma takiej zasady. Kontrprzykład - suma cyfr 13 jest podzielna przez 2^{2}, ale 13 nie jest kwadratem. Tam wykorzystano inną zasadę której nie pojąłeś. [b:3u664...
 mariusz2409  5
 Jak udowodnić, że każda liczba pierwsza ma postać...
Mam mały problem, a mianowicie: jak udowodnić, że każda liczba pierwsza ma postać 6n+1 6n-1 ? (Nie znam się za bardzo na kongruencji)...
 BP  4
 Liczba pierwsza - zadanie 2
Jak sprawdzić czy liczba 10^{100}-9 jest liczbą pierwszą ?...
 pokemmon_21  3
 wykazac, ze liczba jest niewymierna
witam, jak wykazac, ze liczba \sqrt{2}-\sqrt{2} jest niewymierna...
 kubek89  1
 Uzasadnij, że liczba jest parzysta
Uzasadnij, że liczba n^{2}+3n-4 jest parzysta dla każdego n \in N...
 natusss933  2
 Znajdź najmniejszą liczbe naturalną
Znajdź najmniejsza liczbę naturalną która jest podzielna przez 2,3 i 4 zaś reszta z dzielenia tej liczby przez 5 jest równa 1....
 landrynka38  1
 Liczba 48 w postaci 3 składników
Liczbę 48 przedstaw w postaci sumy trzech składników dodatnich takich, że dwa z nich są równe i iloczyn trzech składników jest największy. f(x) = x ^{2} (48-2x) Nie wie...
 klapson  3
 liczba Carmichaela
Pokazać, że 2821 jest liczbą Carmichaela....
 gelo21  1
 Liczba rozwiązań kongruencji
Mam problem z zadaniem w którym muszę znaleźć liczbę rozwiązań kongruencji. Oto przykład: x ^{18} \equiv 1(mod 27) Nie mam pojęcia jak robi się takie coś. Domyślam się, że trzeba użyć symbolu Legendre'a. Z góry ...
 fala21  1
 złota liczba
elo mam narysować prostokąt gdzie stosunek boków rónwna sie złotej liczbie no to bok a ma 1+ \sqrt{5} a drugi 2- tylko jak do 1 dorysować\sqrt{5}??...
 GwT  3
 Liczba rozwiązań kongruencji - zadanie 2
W jaki sposób znaleźć liczbę rozwiązań kongruencji x^2 \equiv 1 \; (mod\; 20!) w zbiorze \left\{ 0, 1, \ldots, 20!-1 \right\}?...
 Hirakata  0
 Wykaż, że liczba jest podzielna przez 3.
cześć! Musze wykazać, że liczba 10^{n} +4^{n}-2 jest podzielna przez 3 dla dowolnego n. Nie miałem jeszcze wprowadzonej indukcji matematycznej ...
 DoD3k  1
 Udowodnij ze liczba jest liczbą naturlną
\sqrt{6 \sqrt{3}+10 } - \sqrt{6 \sqrt{3}-10 }...
 Pekinnn12  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com