szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 00:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Witam :) Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienie takiego zadania.

Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r:   4^{k}|mnr  \Rightarrow  4 ^{5}|m lub 4 ^{3}|n lub 4 ^{12}|r.

Proszę o pomoc.
Pozdrawiam. ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 01:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2605
Lokalizacja: Warszawa
Niech m=2^a \cdot A, \ n=2^b \cdot B, \ r=2^c \cdot C, gdzie A,B,C są nieparzyste. Wówczas oczywiście liczby A,B,C nie mają wpływu na nic co się dzieje w tym zadaniu, więc dla ustalenia uwagi niech będą jedynką. Z podzielności:
2^{2k}|2^{a+b+c} mamy: a+b+c \ge 2k.

Stąd jeśli nie zachodzi żadna z podzielności:
2^{10}|2^a \\ 2^{6}|2^b \\ 2^{24}|2^c
to musi być: a \le 9, b \le 5, c \le 23, czyli: a+b+c \le 9+5+23=37, czyli aby zachodziła choć jedna z tych podzielności dla dowolnych m,n,r musi być: a+b+c \ge 38 (bo k jest naturalne), a skoro ma to zachodzić dla każdych a,b,c, to wybierzmy minimalne a,b,c (z pierwszej nierówności): a+b+c=2k, czyli: 2k \ge 38 \iff k \ge 19. Zatem k=19 jest minimalne.

Mocno sobie skróciłem opis, ale zrozumiesz mam nadzieję ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 01:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Dziękuję bardzo. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Najmniejsza liczba naturalna - zadanie 2
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r: 6^{k}|mnr \Rightarrow 6^{5}|m \ lub \ 6^{3}|n \ lub \ 6^{12}|r Proszę o pomoc...
 addmir  3
 Pokazać, że liczba jest złożona
Witajcie! mam takie zadanie: Pokazać, że liczba \frac{2^{4n+2}+1}{5} jest złożona dla każdego n>1. Doszedłem do takien postaci: \frac{2^{4n+2}+1}{5} = \frac{4 \cdot 4^{2n}+...
 dzb  1
 Liczba złożona - zadanie 2
Witam, oto zadanie: Sprawdzić, czy liczba n^{6}+64, n N jest liczbą złożoną. Pozdrawiam i z góry dzięki za odpowiedź ...
 Ola1987  2
 Liczba doskonała
Liczbę naturalną m nazywamy doskonałą, jeśli suma wszystkich dzielników naturalnych liczby m, mniejszych od m, jest równa m. Wykaż że jeśli 2^{n+1} -1 jest liczbą pierwszą, to: 2^{n}(2^{n+1} -1)[/tex...
 guzik15  2
 Liczba pierwsza i potęga
Analizowałem z kolegą rozwiązanie zadań i natkneliśmy na problem. W pewnym momencie rozwiązania, jego autor stwierdził, że: jeśli n ^{n} + 1 jest liczbą pierwszą dla n \ge 2, to [tex:270r2fry...
 G5imm9ow  7
 Liczba pierwsza do kwadratu- pytanie
Witam. Zauważyłem, że ostatnia cyfra liczby pierwszej podniesionej do kwadratu( poza 2 do kwadratu, 7 do kwadratu i 5 do kwadratu) wynosi 1 lub 9. Dzieje się tak już z resztą liczb pierwszych?.Jeśli tak to dlaczego? Przecież powinno znaleźć się jes...
 samouk221  2
 Coś do dużej potęgi modulo liczba
Witam! Mam problem z zadaniami typu: Oblicz: 18^{4567}\pmod{13}. Pomoże ktoś jakąś wskazówką?...
 VillagerMTV  8
 liczba pięciocyfrowa ...
Jeśli w liczbie pięciocyfrowej dopiszemy z prawej strony 1, to otrzymamy liczbę trzy razy większą od tej , któą otrzymalibyśmy dopisując do danej liczby pięciocyfrowej 1 z lewej strony. Znajdz tę liczbę pięciocyfrową....
 magocha  5
 Sprawdź czy liczba jest wymierna - zadanie 6
Sprawdź, czy liczba: \sqrt{20-14 \sqrt{2} } + \sqrt{20+14 \sqrt{2} } jest liczbą wymierną. Oblicz ją....
 D-Mic  1
 Czy liczba może być kwadratem?
1. Czy liczba \frac{4^m+1}{4^n+1} może być kwadratem liczby naturalnej dla pewnych m,n\in\mathbb N,\ n\neq m\ ? 2. Czy liczba \frac{3^m+1}{3^n+1} może być kwadrat...
 Jan Kraszewski  7
 Czy istnieje taka liczba k
Napotkałem się ostatnio na problem: "Czy istnieje taka liczba k \in \mathbb{N}, którą nie da się przedstawić w postaci sumy kwadratów 4 liczb całkowitych?"...
 Marian517  5
 Udowodnić, że liczba jest podzielna przez 31.
5^{15}-1 - to właśnie ta liczba....
 GluEEE  5
 n jest liczba pierwsza
dla jakich liczb naturalnych n liczba n^4 + n^2 +1 jest liczbą pierwszą? Uzasadnij swoje rozumowanie. potrzebuje pomocy przy tym zadanku nie cierpie tego typu zadan. Jakieś rady ??...
 `vekan  11
 Sprawdzenie czy liczba jest kwadratem liczby naturalnej
Czy liczba 987654321098765432109876543210987 jest kwadratem liczby naturalnej? Nie wiem jak to sprawdzić. Czy ma tutaj jakieś znaczenie to, że nie otrzymam cyfry 7[/tex:aifx...
 Szymon1993  3
 Wykaż, że liczba podniesiona do kwadratu...
Wykaż, że: \underbrace{33...3^{2}}_{n+1 \ \text{cyfr}}=\underbrace{11...1}_{n \ \text{cyfr}}0 \underbrace{88...8}_{n \ \text{cyfr}}9...
 tometomek91  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com