szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2008, o 23:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Witam :) Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienie takiego zadania.

Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r:   4^{k}|mnr  \Rightarrow  4 ^{5}|m lub 4 ^{3}|n lub 4 ^{12}|r.

Proszę o pomoc.
Pozdrawiam. ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 00:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2609
Lokalizacja: Warszawa
Niech m=2^a \cdot A, \ n=2^b \cdot B, \ r=2^c \cdot C, gdzie A,B,C są nieparzyste. Wówczas oczywiście liczby A,B,C nie mają wpływu na nic co się dzieje w tym zadaniu, więc dla ustalenia uwagi niech będą jedynką. Z podzielności:
2^{2k}|2^{a+b+c} mamy: a+b+c \ge 2k.

Stąd jeśli nie zachodzi żadna z podzielności:
2^{10}|2^a \\ 2^{6}|2^b \\ 2^{24}|2^c
to musi być: a \le 9, b \le 5, c \le 23, czyli: a+b+c \le 9+5+23=37, czyli aby zachodziła choć jedna z tych podzielności dla dowolnych m,n,r musi być: a+b+c \ge 38 (bo k jest naturalne), a skoro ma to zachodzić dla każdych a,b,c, to wybierzmy minimalne a,b,c (z pierwszej nierówności): a+b+c=2k, czyli: 2k \ge 38 \iff k \ge 19. Zatem k=19 jest minimalne.

Mocno sobie skróciłem opis, ale zrozumiesz mam nadzieję ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 00:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Dziękuję bardzo. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Najmniejsza liczba naturalna - zadanie 2
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r: 6^{k}|mnr \Rightarrow 6^{5}|m \ lub \ 6^{3}|n \ lub \ 6^{12}|r Proszę o pomoc...
 addmir  3
 pewna liczba jest
Liczba 1+ 2^{3^{2009}} jest: a) liczbą pierwszą b) liczbą złożoną c) liczbą parzystą d) liczbą nieparzystą...
 sauron33  3
 Liczba złożona - zadanie 2
Witam, oto zadanie: Sprawdzić, czy liczba n^{6}+64, n N jest liczbą złożoną. Pozdrawiam i z góry dzięki za odpowiedź ...
 Ola1987  2
 Liczba doskonała
Liczbę naturalną m nazywamy doskonałą, jeśli suma wszystkich dzielników naturalnych liczby m, mniejszych od m, jest równa m. Wykaż że jeśli 2^{n+1} -1 jest liczbą pierwszą, to: 2^{n}(2^{n+1} -1)[/tex...
 guzik15  2
 Uzasadnij, że liczba jest niewymierna
Czyli wystarczy zauważyć, że jeżeli np. n=2k to wyrazy na miejscach parzystych będą liczbami naturalnymi, a pozostałe będą nieparzystymi potęgami \sqrt{2}, a więc liczbami niewymiernymi i to ...
 rubik1990  4
 liczba neparzysta
Niech a(k) będzie największą liczbą nieparzystą przez, którą dzieli się k. Pokazać, że \sum_{i=1}^{2 ^{n} } a(k)= \frac{4 ^{n}+2 }{3} ....
 gelo21  1
 liczba pięciocyfrowa ...
Jeśli w liczbie pięciocyfrowej dopiszemy z prawej strony 1, to otrzymamy liczbę trzy razy większą od tej , któą otrzymalibyśmy dopisując do danej liczby pięciocyfrowej 1 z lewej strony. Znajdz tę liczbę pięciocyfrową....
 magocha  5
 liczba dwucyfrowa - zadanie 7
Znajdź liczbę dwucyfrową, która jest 9 razy mniejsza od liczby trzycyfrowej powstałej po wstawieniu zera między cyfry dziesiątek i jedności....
 Vesemir  2
 Udowodnij, że liczba nie jest pierwsza
Witam, Udowodnij, że liczba czterocyfrowa złożona z dwóch różnych cyfr, każdej użytej dwukrotnie nie jest liczbą pierwszą. Zapisałem liczbę jako 1000a + 100b + 10c + d Próbowałem coś wyciągać przed nawias ale nic. Pierwszy pomysł to rozpatrzyć p...
 Adam656  1
 n jest liczba pierwsza
dla jakich liczb naturalnych n liczba n^4 + n^2 +1 jest liczbą pierwszą? Uzasadnij swoje rozumowanie. potrzebuje pomocy przy tym zadanku nie cierpie tego typu zadan. Jakieś rady ??...
 `vekan  11
 Wykaż, że liczba jest kwadratem liczby naturalnej. - zadanie 2
Udowodnij że dla każdej liczby naturalnej n, liczba \frac{1}{9}(100 ^{n+1}+4 10^{n+1}+4) jest kwadratem liczby naturalnej. ...
 Maciek1234  3
 Najmniejsza liczba naturalna.
Witam, Poniewaz jest to mój pierwsz post więc ładnie się witam z wszystkimi na forum. Mam następujące pytanie, a właściwie zadanie do wykonania: "Znajdź najmniejszą liczbę naturalną która przy przedzieleniu liczby 3,5,7 daje odpowiednio...
 climbwave  1
 uzasadnij, że liczba jest podzielna przez 3
Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 2n^3+n jest podzielna przez 3....
 Hebo  9
 Liczba pierwsza do kwadratu- pytanie
Witam. Zauważyłem, że ostatnia cyfra liczby pierwszej podniesionej do kwadratu( poza 2 do kwadratu, 7 do kwadratu i 5 do kwadratu) wynosi 1 lub 9. Dzieje się tak już z resztą liczb pierwszych?.Jeśli tak to dlaczego? Przecież powinno znaleźć się jes...
 samouk221  2
 wykazanie że otrzymana liczba jest podzielna przez...
Witam. Mam problem z zadaniem znajdującym się poniżej. Bardzo proszę o rozwiązanie. Od kwadratu dowolnej liczby dwucyfrowej n odejmujemy kwadrat liczby powstałej z przestawienia cyfr liczby n. Wykaż, że otrzymana liczba jest podzielna przez 99, a ta...
 Neosha  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com