szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 00:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Witam :) Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienie takiego zadania.

Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r:   4^{k}|mnr  \Rightarrow  4 ^{5}|m lub 4 ^{3}|n lub 4 ^{12}|r.

Proszę o pomoc.
Pozdrawiam. ;)
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 01:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2613
Lokalizacja: Warszawa
Niech m=2^a \cdot A, \ n=2^b \cdot B, \ r=2^c \cdot C, gdzie A,B,C są nieparzyste. Wówczas oczywiście liczby A,B,C nie mają wpływu na nic co się dzieje w tym zadaniu, więc dla ustalenia uwagi niech będą jedynką. Z podzielności:
2^{2k}|2^{a+b+c} mamy: a+b+c \ge 2k.

Stąd jeśli nie zachodzi żadna z podzielności:
2^{10}|2^a \\ 2^{6}|2^b \\ 2^{24}|2^c
to musi być: a \le 9, b \le 5, c \le 23, czyli: a+b+c \le 9+5+23=37, czyli aby zachodziła choć jedna z tych podzielności dla dowolnych m,n,r musi być: a+b+c \ge 38 (bo k jest naturalne), a skoro ma to zachodzić dla każdych a,b,c, to wybierzmy minimalne a,b,c (z pierwszej nierówności): a+b+c=2k, czyli: 2k \ge 38 \iff k \ge 19. Zatem k=19 jest minimalne.

Mocno sobie skróciłem opis, ale zrozumiesz mam nadzieję ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 01:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Dziękuję bardzo. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Najmniejsza liczba naturalna - zadanie 2
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r: 6^{k}|mnr \Rightarrow 6^{5}|m \ lub \ 6^{3}|n \ lub \ 6^{12}|r Proszę o pomoc...
 addmir  3
 Uzasadnij, że liczba jest podzielna przez 198...
Cyfry setek i jedności liczby trzycyfrowej n są liczbami nieparzystymi. Zapisując cyfry liczby n w odwrotnej kolejności, otrzymamy liczbę trzycyfrową k. Uzasadnij, że liczba [...
 bziuta  7
 Uzasadnij, że liczba...
Uzasadnij, ze liczba \sqrt{7}jest niewymierna. Proszę o jak najszybszą pomoc!...
 nuta17  4
 liczba wyrażenia?
jezeli liczby a,b,c są róznymi liczbami z zbioru {2,3,5} to mozliwa największą watrością wyrażenia (a-b) razy c jest liczba?...
 lena01  1
 Liczba naturalna - zadanie 7
Mam problem z takim zadankiem : Wyznaczyć wszystkie n dla których liczba 4^{n}-3 ^{n} jest kwadratem liczby naturalnej. Proszę o pomoc...
 gelo21  1
 Udowodnij, że wyrażenie jest liczbą naturalną
Witam! Zadanie właściwie proste, ale jak się za ne zabrałem to nic nie wyszło Prosiłbym o rozwiązanie bądź wskazówki...pozdrawiam Udowodnij, że ... [tex:vmywzcer...
 seyfert  3
 Liczba jako suma kwadratów dwóch innych liczb
W jaki sposób sprawdzić, czy zadana liczba całkowita n może być przedstawiona w postaci sumy dwóch kwadratów liczb całkowitych?? Wszystko co znalazłem to: a) Liczba n może zostać przedstawiona w postaci sumy dwóch kwadratów liczb całkowitych, jeżeli ...
 tytus  9
 Równanie, nieskończona liczba rozwiązań [dowieść]
Witam. Wykazać, że równanie x^2 + y^2 + z^2 = x^3 + y^3 + z^3 posiada nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych x, y, z. Osobiście "widzę" tylko rozwiązania "ze...
 patry93  1
 Liczba złożona - zadanie 5
Dla jakich n naturalnych, liczba n ^{4}+64 ^{n} jest liczbą złożoną?...
 szymek12  1
 Najmniejsza liczba trzycyfrowa - reszty z dzielenia.
Przypuszczam, że chodziło Ci o 119 Jasne. Dzięki, poprawione....
 alternatywa  2
 Liczba jako iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych.
Wykaż, że liczba 111...1222...2 jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych....
 lasbezdrzew  1
 duza liczba
Srawdz czy liczba {100\choose 0}2^{100}+{100\choose 1}2^{99}+{100\choose 2}2^{98}+...+{100\choose 99}2^{1}+{100\choose 100}2^{0} a) jest parzysta czy nieparzysta b) podzielna przez 3^2 c) podz...
 profesorq  7
 liczba wymierna - wykaż
nie znalazłem na to zadanie lepszego działu: Wykaż, że liczba \frac {2\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}+1} jest liczbą wymierną. Doszedłem do wyrażenia \frac {13-4\sqrt{3}}{11} ale to nadal nie jest l...
 Szczupak  1
 Czy liczba jest kwadratem liczby całkowitej
Czy liczba jest kwadratem liczby całkowitej: a)3^{9}\cdot20^{7}\cdot27^{8}\cdot45^{9} b) 3^{6}\cdot20^{9}\cdot27^{7}\cdot45^{8} c) 3^{8}\cdot20^{6}\cdot27^{6}\cdot45^{7}[/tex:3cc...
 pokemmon_21  1
 Udowodnij, że podana liczba jest liczbą pierwszą
Udowodnij, ze dla ke{0...6} 150k+7 jest liczba pierwsza. Jest na to jakis sposob?...
 Wiader  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com