szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 00:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Witam :) Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienie takiego zadania.

Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r:   4^{k}|mnr  \Rightarrow  4 ^{5}|m lub 4 ^{3}|n lub 4 ^{12}|r.

Proszę o pomoc.
Pozdrawiam. ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 01:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2606
Lokalizacja: Warszawa
Niech m=2^a \cdot A, \ n=2^b \cdot B, \ r=2^c \cdot C, gdzie A,B,C są nieparzyste. Wówczas oczywiście liczby A,B,C nie mają wpływu na nic co się dzieje w tym zadaniu, więc dla ustalenia uwagi niech będą jedynką. Z podzielności:
2^{2k}|2^{a+b+c} mamy: a+b+c \ge 2k.

Stąd jeśli nie zachodzi żadna z podzielności:
2^{10}|2^a \\ 2^{6}|2^b \\ 2^{24}|2^c
to musi być: a \le 9, b \le 5, c \le 23, czyli: a+b+c \le 9+5+23=37, czyli aby zachodziła choć jedna z tych podzielności dla dowolnych m,n,r musi być: a+b+c \ge 38 (bo k jest naturalne), a skoro ma to zachodzić dla każdych a,b,c, to wybierzmy minimalne a,b,c (z pierwszej nierówności): a+b+c=2k, czyli: 2k \ge 38 \iff k \ge 19. Zatem k=19 jest minimalne.

Mocno sobie skróciłem opis, ale zrozumiesz mam nadzieję ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 01:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Dziękuję bardzo. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Najmniejsza liczba naturalna - zadanie 2
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r: 6^{k}|mnr \Rightarrow 6^{5}|m \ lub \ 6^{3}|n \ lub \ 6^{12}|r Proszę o pomoc...
 addmir  3
 Równanie z liczbą pierwszą - zadanie 3
Udowodnić, że dla p - liczby pierwszej i p>2 oraz liczb naturalnych x,y równanie \frac{1}{x} + \frac{1}{y}= \frac{1}...
 szymek12  3
 znajdz liczbe naturalna...
Znajdz liczbe naturalną mniejsza od 1000, ktora przy dzieleniu przez 10 daje reszte 9, przy dzieleniu przez 15- reszte 14, a przy dzieleniu przez 21- reszte 20....
 xxxxx  4
 Czy liczba występuje w ciągu?
Mamy dany ciąg liczb. Do każdej liczby dodajemy sumę jej cyfr. Zaczynamy: 1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, 38, 49... Czy w tym ciągu wystąpi liczba 1345626? Odpowiedź uzasadnij....
 adrian922  1
 Udowodnić, że to jest liczbą złożoną.
Mam takie zadanko, i mam problem, będę wdzięczny jak ktoś rzuci na to okiem. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje taka liczba naturalna m, taka, że n*m+1 jes...
 kawaii  3
 Liczba i sumy jej dzielnikow
Istnieją liczby , ktore mozna zapisac jako sumę czterech róznych swoich dzielnikow i to na dwa rozne sposoby, np 24 = 1+3+8+12 = 2+4+6+12 Czy sa liczby ktore moznaby zpisac w postaci takiej sumy na trzy rózne sposoby..jesli tak to znalezc najmniej...
 mol_ksiazkowy  1
 Czy istnieje liczba - zadanie 2
Czy istnieje liczba naturalna 1, której cyfrą jedności jest ,i o tej włsności, że jeśli przeniesiemy tę jedynkę z ostatniej pozycji na pierwszą, to nowo powstała liczba będzie trzy razy mniejsza niż liczba wyjściowa?...
 Agatka10000  2
 niewymierny pierwiastek kwadratowy i liczba rzeczywista
Zadanie 1 Pokazać, ze jezeli liczba dodatnia jest iloczynem róznych liczb pierwszych, to jej pierwiastek kwadratowy jest liczba niewymierna. Zadanie 2 Korzystajac z faktu, ze dla danej liczby rzeczyw...
 koooala  2
 Liczba naturalna n - liczbą pierwszą.
Dla jakich liczb naturalnych n liczba n^{4} + n^{2} + 1 jest liczbą pierwszą?...
 num8881  6
 Liczba rozwiązań kongruencji - zadanie 2
W jaki sposób znaleźć liczbę rozwiązań kongruencji x^2 \equiv 1 \; (mod\; 20!) w zbiorze \left\{ 0, 1, \ldots, 20!-1 \right\}?...
 Hirakata  0
 Liczba dajaca dana reszte z dzielenia przez cos
Ok, tylko czy to wystarczy by UKŁAD był rozwiązywalny? Bo takie gdyby byly to rozlaczne rownania to OK wtedy kazde z osobna i git majonez. Ale tu mamy układ, że zmienne z 1szego rownania wystepuja w 2gim. Zatem czy w tej sytuacji nie mogloby sie zdar...
 KaMyLuS  7
 liczba niewymierna i jej odwrotność
Chciałbym się zapytać o wskazówkę do zadania: Czy suma liczby niewymiernej i odwrotności tej liczby może być liczbą wymierną? Czy są może jakieś twierdzenia czy cokolwiek, dzięki....
 titonoftiton  3
 Liczba postaci 4k+3 ma dzielnik pierwszy tej postaci
Witam Wiem, że już było podobne, ale szukam dowodu że liczba postaci 4k+3 ma dzielnik pierwszy tej postaci (4k+3)....
 indi  4
 Czy liczba jest podzielna ?
Dowolna liczba całkowita dodatnia jest podzielna przez mn wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona jednocześnie podzielna przez 2m i przez 2n. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla: a) m = 10; n = 14; b) m = 8; n = 12 ? Jak to zrobić ?...
 alexandra  1
 liczba wyrażenia?
jezeli liczby a,b,c są róznymi liczbami z zbioru {2,3,5} to mozliwa największą watrością wyrażenia (a-b) razy c jest liczba?...
 lena01  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com