szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 00:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Witam :) Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienie takiego zadania.

Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r:   4^{k}|mnr  \Rightarrow  4 ^{5}|m lub 4 ^{3}|n lub 4 ^{12}|r.

Proszę o pomoc.
Pozdrawiam. ;)
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 01:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2612
Lokalizacja: Warszawa
Niech m=2^a \cdot A, \ n=2^b \cdot B, \ r=2^c \cdot C, gdzie A,B,C są nieparzyste. Wówczas oczywiście liczby A,B,C nie mają wpływu na nic co się dzieje w tym zadaniu, więc dla ustalenia uwagi niech będą jedynką. Z podzielności:
2^{2k}|2^{a+b+c} mamy: a+b+c \ge 2k.

Stąd jeśli nie zachodzi żadna z podzielności:
2^{10}|2^a \\ 2^{6}|2^b \\ 2^{24}|2^c
to musi być: a \le 9, b \le 5, c \le 23, czyli: a+b+c \le 9+5+23=37, czyli aby zachodziła choć jedna z tych podzielności dla dowolnych m,n,r musi być: a+b+c \ge 38 (bo k jest naturalne), a skoro ma to zachodzić dla każdych a,b,c, to wybierzmy minimalne a,b,c (z pierwszej nierówności): a+b+c=2k, czyli: 2k \ge 38 \iff k \ge 19. Zatem k=19 jest minimalne.

Mocno sobie skróciłem opis, ale zrozumiesz mam nadzieję ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 01:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Dziękuję bardzo. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Najmniejsza liczba naturalna - zadanie 2
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r: 6^{k}|mnr \Rightarrow 6^{5}|m \ lub \ 6^{3}|n \ lub \ 6^{12}|r Proszę o pomoc...
 addmir  3
 Czy liczba jest podzielna ? - zadanie 2
Dowolna liczba całkowita dodatnia jest podzielna przez mn wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona jednocześnie podzielna przez m i przez n. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla: a) m = 12; n = 15: b) m = 14; n = 21; c) m = 15; n = 22; d) m = 13, n = 18 ?...
 alexandra  3
 najmniejsza liczba naturalna n taka, że f(n) jest liczbą zło
czesc! mam problem z takim zadaniem: Znaleźc najmniejszą liczbę naturalną n taką, że f(n) jest liczbą złożoną: f(x)= x^{2}+x+17 oraz: Pokazać, że ...
 klarkid  4
 n dla których wyrażenie jest liczbą pierwszą
Czy istnieją liczby naturalne n dla których wyrażenie n^4+4 jest liczbą pierwszą rozważałem modulo 5 i dla wszystkich reszt poza 0 nie było problemów ale nie wiem jak zrobic gdy n jest podzielne przez 5. Może jest jak...
 qwass  1
 Wykazać, że liczba... nie jest pierwsza
Wykaż, że liczba (3k+1)^{3k+1} + 1 nie jest pierwsza...
 Aramil  6
 co to za liczba? - zadanie 2
Piątą potęgą jakiej liczby jest liczba 5277319168? Zcząłem od rozkładania tej liczby przez 2, ale pokazała mi się taka liczba 161051 i nie wiem co dalej?...
 nogiln  7
 "liczba ma 4 dzielniki, ktorych suma wynosi 176..."
Halo, mam do rozwiazania zadanie, ktorego w ogole nie rozumiem: Pewna liczba ma cztery dzielniki, których suma wynosi 176. Znajdź tę liczbę, jesli wiadomo, ze suma jej cyfr wynosi 12. Ma ktos pomysl? I jeszcze cos ...
 Anonymous  5
 Wykaż, że liczba x jest złozona:
x=\frac{2^{4n+6}+1}{5}...
 mol_ksiazkowy  5
 Dowód, że między liczbami NW występuje liczba W i odwrotnie.
Znalazłem takie zadanie: a) Udowodnić, że między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi leży liczba: i) wymierna, ii) niewymierna. b) Udowodnić, że między dowolnymi dwiema liczbami niewymiernymi leży liczba: i) wymierna, ii) niewymierna. Jak w ogóle...
 _Mithrandir  3
 Która z liczb jest liczbą wymierną okresową i dlaczego?
c) bo mozna ja zapisac w postaci \frac{1}{6} a 0,5 = \frac{1}{2} I co z tego? a) \sqrt{3} b) liczba PI c) 0,1 \left(6...
 Crazy_Boy_1993  18
 Czy istnieje liczba
Czy istnieje liczba całkowita, której kwadrat jest podzielny przez a, ale nie jest podzielny przez b, jeżeli: a) a = 6, b = 9 b) a = 15, b = 50 c) a = 18, b = 27 d) a = 54, b = 12...
 pokemmon_21  2
 6 razy większa od swojej cyfry jedności jest liczba ? test
ZADANIE 3. Sześć razy większa od swojej cyfry jedności jest liczba : a) 62 ; b) 24 ; c) 48 ; d) 32....
 Orzech  6
 Czy istnieje taka liczba...
Czy istnieje taka liczba rzeczywista x, że a) x^{55} + 55x^{5} = - 5; b) x^{44} + 44x^{4} = 4 ; c) x^{33}...
 alexandra  3
 1, iloczyn liczb pierwszych, liczba pierwsza
Dowieść, że każda liczba naturalna jest równa 1, jest iloczynem liczb pierwszych, albo jest liczbą pierwszą....
 szymek12  1
 dla jakiej zmiennej liczba będzie całkowitą
mam problem z zadankiem: Dla jakich liczb całkowitych "a" liczba: \frac{a^3-2a^2+3}{a^2 - 2a}jest także liczbą całkowitą? Prosze o podpowiedź ...
 Qwert_il  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com