szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 00:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Witam :) Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienie takiego zadania.

Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r:   4^{k}|mnr  \Rightarrow  4 ^{5}|m lub 4 ^{3}|n lub 4 ^{12}|r.

Proszę o pomoc.
Pozdrawiam. ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 01:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2606
Lokalizacja: Warszawa
Niech m=2^a \cdot A, \ n=2^b \cdot B, \ r=2^c \cdot C, gdzie A,B,C są nieparzyste. Wówczas oczywiście liczby A,B,C nie mają wpływu na nic co się dzieje w tym zadaniu, więc dla ustalenia uwagi niech będą jedynką. Z podzielności:
2^{2k}|2^{a+b+c} mamy: a+b+c \ge 2k.

Stąd jeśli nie zachodzi żadna z podzielności:
2^{10}|2^a \\ 2^{6}|2^b \\ 2^{24}|2^c
to musi być: a \le 9, b \le 5, c \le 23, czyli: a+b+c \le 9+5+23=37, czyli aby zachodziła choć jedna z tych podzielności dla dowolnych m,n,r musi być: a+b+c \ge 38 (bo k jest naturalne), a skoro ma to zachodzić dla każdych a,b,c, to wybierzmy minimalne a,b,c (z pierwszej nierówności): a+b+c=2k, czyli: 2k \ge 38 \iff k \ge 19. Zatem k=19 jest minimalne.

Mocno sobie skróciłem opis, ale zrozumiesz mam nadzieję ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 01:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Dziękuję bardzo. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Najmniejsza liczba naturalna - zadanie 2
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r: 6^{k}|mnr \Rightarrow 6^{5}|m \ lub \ 6^{3}|n \ lub \ 6^{12}|r Proszę o pomoc...
 addmir  3
 Liczba jako iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych.
Wykaż, że liczba 111...1222...2 jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych....
 lasbezdrzew  1
 Liczba pierwsz pomiędzy n i n!
Wykazać, że między liczbami n i n! (n >­ 3) znajduje się co najmniej jedna liczb pierwsza....
 maneq  1
 Cyfry na okręgu,wykazać,że liczba podzielna przez 27-sprawdz
Na okręgu umieszczamy 1998 cyfr. Następnie wypisujemy je kolejno, zaczynając od pewnej z nich i otrzymujemy (o dziwo!) liczbę podzielną przez 27. Wykaż, że jeżeli zaczniemy wypisywanie cyfr od innej cyfry na okręgu to otrzymamy także licz...
 tometomek91  2
 przedział do którego należy liczba naturalna
Wykazać, że jeżeli mamy dwie dowolnie wybrane liczby rzeczywiste a,b takie że a<b,to spośród wszystkich przedziałów postaci (a+2p \pi ,b+2p \pi ) gdzie ...
 tatteredspire  0
 Udowodnij, że e jest liczbą niewymierną
Witam Mam problem z następującym zadaniem: Udowodnij, że e nie jest liczbą wymierną Mógłby mi ktoś z nim pomóc?...
 hank  1
 Dowód - liczba odwracalna modulo m
Twierdzenie. Liczba całkowita a jest odwracalna modulo m wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a,m)=1 Można tutaj skorzystać z czegoś takiego, że: Dla dowolnych li...
 patricia__88  2
 n dla których wyrażenie jest liczbą pierwszą
Czy istnieją liczby naturalne n dla których wyrażenie n^4+4 jest liczbą pierwszą rozważałem modulo 5 i dla wszystkich reszt poza 0 nie było problemów ale nie wiem jak zrobic gdy n jest podzielne przez 5. Może jest jak...
 qwass  1
 Trójki pitagorejskie z liczbą pierwszą
Niech p będzie liczbą pierwszą. Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie: x^2+y^2=p Udało mi się znaleźć kilka rozwiązań. Jak znaleźć wszystkie? Znalezienie tych liczb pomoże mi wyznaczyć &quo...
 metamatyk  2
 Liczba Fermata dowód
Pokaż że jeżli 2^{n}+1 jest liczbą pierwszą, to n musi być potęgą 2. Czy mogę prosić o wskazówkę jak pokazać tą własność?...
 SzalonyMjut  6
 dowód, że liczba kończy sie 6 zerami
Liczba N w systemie dziesiętnym kończy się sześcioma zerami. Czy powyższe zdanie jest fałszywe, jeżeli liczba N kończy się siedmioma zerami? Przecież jeśli kończy się siedmioma, to tym bardzi...
 ericcartman  9
 Wykaż że kwadrat liczb jest liczbą parzystą
Nie do końca wiem gdzie podpina się to zadanie a jego treść brzmi następująco: 1. Liczba a daje przy dzieleniu przez 4 resztę 1, zaś liczba b[/tex:a0...
 adamkuby  5
 Najmniejsza wspólna wielokrotność
Przy wyznaczaniu NWW liczb x i y otrzymano iloczyn 420, w którym wystąpiły liczby: 2,2,3,5,7. Kolejność ich zapisu jest jednak przypadkowa. Wyznacz wszystkie pary liczb x i y które mogły wystąpić przy takich obliczeniach....
 Baranov  0
 Liczba nieujemnych całkowitych rozwiązań
Udowodnij, że liczba nieujemnych całkowitych rozwiązań równania ax+by=c jest równa \left lub \left+1. NWD(a,b)=1. Zastanawiałam się, żeby wyznaczyć x...
 Alex323  0
 Liczba czterocyfrowa - zadanie 3
1. Czy istnieje taka liczba czterocyfrowa (\overline{abcd}), która jest iloczynem dwóch liczb dwucyfrowych utworzonych przez jej pierwszą i drugą oraz trzecią i czwartą cyfrę (\overline{ab}*\overline{cd}=\ov...
 atimor  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com