szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2008, o 23:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Witam :) Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienie takiego zadania.

Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r:   4^{k}|mnr  \Rightarrow  4 ^{5}|m lub 4 ^{3}|n lub 4 ^{12}|r.

Proszę o pomoc.
Pozdrawiam. ;)
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 00:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2610
Lokalizacja: Warszawa
Niech m=2^a \cdot A, \ n=2^b \cdot B, \ r=2^c \cdot C, gdzie A,B,C są nieparzyste. Wówczas oczywiście liczby A,B,C nie mają wpływu na nic co się dzieje w tym zadaniu, więc dla ustalenia uwagi niech będą jedynką. Z podzielności:
2^{2k}|2^{a+b+c} mamy: a+b+c \ge 2k.

Stąd jeśli nie zachodzi żadna z podzielności:
2^{10}|2^a \\ 2^{6}|2^b \\ 2^{24}|2^c
to musi być: a \le 9, b \le 5, c \le 23, czyli: a+b+c \le 9+5+23=37, czyli aby zachodziła choć jedna z tych podzielności dla dowolnych m,n,r musi być: a+b+c \ge 38 (bo k jest naturalne), a skoro ma to zachodzić dla każdych a,b,c, to wybierzmy minimalne a,b,c (z pierwszej nierówności): a+b+c=2k, czyli: 2k \ge 38 \iff k \ge 19. Zatem k=19 jest minimalne.

Mocno sobie skróciłem opis, ale zrozumiesz mam nadzieję ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 00:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 913
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Dziękuję bardzo. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Najmniejsza liczba naturalna - zadanie 2
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m, n i r: 6^{k}|mnr \Rightarrow 6^{5}|m \ lub \ 6^{3}|n \ lub \ 6^{12}|r Proszę o pomoc...
 addmir  3
 Liczba złożona - zadanie 2
Witam, oto zadanie: Sprawdzić, czy liczba n^{6}+64, n N jest liczbą złożoną. Pozdrawiam i z góry dzięki za odpowiedź ...
 Ola1987  2
 Liczba doskonała
Liczbę naturalną m nazywamy doskonałą, jeśli suma wszystkich dzielników naturalnych liczby m, mniejszych od m, jest równa m. Wykaż że jeśli 2^{n+1} -1 jest liczbą pierwszą, to: 2^{n}(2^{n+1} -1)[/tex...
 guzik15  2
 liczba pięciocyfrowa ...
Jeśli w liczbie pięciocyfrowej dopiszemy z prawej strony 1, to otrzymamy liczbę trzy razy większą od tej , któą otrzymalibyśmy dopisując do danej liczby pięciocyfrowej 1 z lewej strony. Znajdz tę liczbę pięciocyfrową....
 magocha  5
 n jest liczba pierwsza
dla jakich liczb naturalnych n liczba n^4 + n^2 +1 jest liczbą pierwszą? Uzasadnij swoje rozumowanie. potrzebuje pomocy przy tym zadanku nie cierpie tego typu zadan. Jakieś rady ??...
 `vekan  11
 Udowodnij - liczba calkowita dodatnia
Udowodnij, że jeśli istnieje taka liczba całkowita dodatnia k że dla wszystkich m>k mamy \alpha_m=9, wówczas: \pm A.\alpha_1\alpha_2...\alpha_k&#...
 olgalagowska  1
 Liczba p jest nieparzystą liczbą naturalną
Liczba p jest nieparzystą liczbą naturalną. Udowodnij, że liczba p ^{3} – p jest podzielna przez 24....
 bliznieta07129  5
 Liczba złożona - zadanie 10
Niech n \ge 2. Pokazać, że jeśli n nie jest postaci n=6k+3,to n ^{2}+2 ^{n} jest złożona....
 gelo21  1
 znajdz liczbe naturalna...
Znajdz liczbe naturalną mniejsza od 1000, ktora przy dzieleniu przez 10 daje reszte 9, przy dzieleniu przez 15- reszte 14, a przy dzieleniu przez 21- reszte 20....
 xxxxx  4
 Udowodnić, że to jest liczbą złożoną.
Mam takie zadanko, i mam problem, będę wdzięczny jak ktoś rzuci na to okiem. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje taka liczba naturalna m, taka, że n*m+1 jes...
 kawaii  3
 Liczba i sumy jej dzielnikow
Istnieją liczby , ktore mozna zapisac jako sumę czterech róznych swoich dzielnikow i to na dwa rozne sposoby, np 24 = 1+3+8+12 = 2+4+6+12 Czy sa liczby ktore moznaby zpisac w postaci takiej sumy na trzy rózne sposoby..jesli tak to znalezc najmniej...
 mol_ksiazkowy  1
 niewymierny pierwiastek kwadratowy i liczba rzeczywista
Zadanie 1 Pokazać, ze jezeli liczba dodatnia jest iloczynem róznych liczb pierwszych, to jej pierwiastek kwadratowy jest liczba niewymierna. Zadanie 2 Korzystajac z faktu, ze dla danej liczby rzeczyw...
 koooala  2
 Liczba postaci 4k+3 ma dzielnik pierwszy tej postaci
Witam Wiem, że już było podobne, ale szukam dowodu że liczba postaci 4k+3 ma dzielnik pierwszy tej postaci (4k+3)....
 indi  4
 Jak sprawdzić czy istnieje taka liczba...
Nudząc się na matematyce w szkole, coś sobie pisałem i przez przypadek wymyśliłem sobie problem którego nie potrafię rozwiązać (o ile da się to zrobić). Polecenie brzmi: Rozstrzygnąć czy istnieje taka dodatnia wymierna liczba \omega[/t...
 Anonymous  10
 Czy liczba jest podzielna ?
Dowolna liczba całkowita dodatnia jest podzielna przez mn wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona jednocześnie podzielna przez 2m i przez 2n. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla: a) m = 10; n = 14; b) m = 8; n = 12 ? Jak to zrobić ?...
 alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com