szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 gru 2008, o 18:11 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: z daleka
Sprawdzić liniową niezależność następujących układów wektorów w F^{n} (F – domyślne):
(a) (2, 3,−1), (−1, 0, 3), (0, 1,−3),
(b) (4, 1+2i), (−i, 0),
(c) (4, 2, 1), (−1, 0, 4)
Pomóżcie mi zrobić chociaż jedno a resztę sam będę próbował[/tex]
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 gru 2008, o 21:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 477
Lokalizacja: Piła / Wrocław
Sprawdzasz, czy istnieją takie a,b,c , że a(2,3,-1) + b(-1,0,3) + c(0,1,-3) = (0,0,0)

Jeśli jedynymi a,b,c są zera, to wektory są niezależne. (mówi się, że taka kombinacja jest trywialna)

\begin{cases} 2a-b = 0 \\ 3a+c = 0 \\ -a+3b-3c = 0 \end{cases}

No i wydaje mi się, że w tym wypadku kombinacja właśnie jest trywialna i wektory są niezależne. (a=0 , b=0 , c=0 to jedyne rozwiązanie)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 gru 2008, o 20:47 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: z daleka
Czyli podpunkt b będzie wyglądał tak ?

\begin{cases} 
4a-i=0
\\
a+2i+b=0
\end{cases}

No i coz tym dalej zrobić
jak rozwiązałem układ to wyszło mi zero nie wiem czy to dobrze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 gru 2008, o 21:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 477
Lokalizacja: Piła / Wrocław
Źle, nie wiesz jak się dodaje wektory i mnoży je przez stałą ?. Zobacz, w drugim przykładzie jest taka sytuacja :

a(4,1,2i) + b(-i,0) = (4a,1a,2ia) + (-ib, 0b) = (4a-ib, 1a +0b, 2ia) = 0

I teraz z tego wynika, że :

\begin{cases} 4a-ib = 0 \\ a=0 \\ 2ia = 0 \end{cases}

No i teraz rzeczywiście wychodzi, że a=0 b=0 c=0

Ogólnie we wszystkich tych przykładach wyjdzie ci, że są niezależne
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 gru 2008, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 394
Lokalizacja: Wieluń
Ptaq666: Po pierwsze oba wektory są dwuwymiarowe. Po drugie dodawanie wektorów o różnych wymiarach jest "nielegalne" :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 gru 2008, o 22:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 477
Lokalizacja: Piła / Wrocław
Uuu, no to sorry, popsułem :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 gru 2008, o 22:19 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: z daleka
To jak w końcu to ma wyglądać ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2008, o 13:55 
Użytkownik

Posty: 3101
Lokalizacja: Zarów
luka napisał(a):
To jak w końcu to ma wyglądać ?

a) - niezależne, co pokazał Kolega ptaq666, b) zadanie nie ma sensu, c) zależne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2008, o 15:12 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: z daleka
Dobrze ale jak to rozpisać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2008, o 20:49 
Użytkownik

Posty: 3101
Lokalizacja: Zarów
luka napisał(a):
Dobrze ale jak to rozpisać?

(a) (2, 3,−1), (−1, 0, 3), (0, 1,−3),

a(2, 3,-1)+b(-1, 0, 3)+c(0, 1,-3)=(2a-b,3a+c,-a+3b-3c )=(0,0,0) \Leftrightarrow
(2a-b=0 \wedge 3a+c=0 \wedge -a+3b-3c=0) \Leftrightarrow (b=2a \wedge c=-3a \wedge -a+6a+9a=0) \Leftrightarrow a=b=c=0.
Stąd i z definicji liniowej (nie)zalezności te wektory są liniowo niezależne.
Można też policzyć wyznacznik macierzy utworzonej z tych wektorów i jeżeli jest on niezerowy, to wektory są liniowo niezależne.
Można też....

(b) (4, 1+2i), (−i, 0)
Tych wektorów nie potrafimy dodać, więć nie można powiedzieć nic o ich liniowej niezależności.

(c) (4, 2, 1),(−1, 0, 4)
Postępując podobnie jak w a) pokazuje się, że stosowny układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, a więc istnieją rzeczywiste a, b takie, że a(4, 2, 1)+b(-1,0,4)=(0,0,0) \wedge a^2+b^2 \neq 0.
Można też skorzystać z jakiegoś tam twierdzenia.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Sprawdzić liniową niezależność - zadanie 2
Czy w przestrzeni \mathbb{R}^{\mathbb{R}} podany układ wektorów jest liniowo niezależny: a) \{x, \;\sin{x}, \; \cos{x}\} b) \{\sin{x}, \; \cos{x} \; \sin{2x} \;...
 patryk007  20
 podprzestrzeń liniowa - zadanie 40
Znajdź przestrzenie generowane i zbadaj czy podany układ jest ich bazą: lin\{(−1, 2, 1, −4), (2, −7, −2, 5), (−3, 9, 3, −9)\}; lin\{(1 + i, −2, −i), (2 − i, 2, i), &...
 tukanik  0
 algebra liniowa macierz
1. Dla macierzy A = \left znajdz wszystkie macierze B spelaniajace warunek A*B=B*A...
 sophie1988  1
 Liniowa niezależność - zadanie 39
Mam sprawdzić, czy podany układ wektorów jest liniowo niezależny w przestrzeni C(R,R). x _{1}(t)=e ^{t}, x _{2}(t)=e ^{t+1},x _{3}(t)=e ^{t+2}... itd Dowód przeprowadzam indukcyjnie: 1)[tex:ctaptf...
 Nina1990  5
 Liniowa zależność wektorów - zadanie 7
Proszę o rozw. Zbadaj liniową zależność wektorów: a=(0,1,1,1) b=(1,1,2,3) c=(1,2,0,0) d=(1,0,1,0)...
 olenkaaaaa999  1
 Zależność liniowa
Rozważany układ wektorów to \{ \vec{0} , \vec{c} , \vec{d} , \vec{a} , \vec{b} , \vec{a-b} \} gdzie \vec{c} = \vec{d}. Pokaż, że (*) \ \ a_{1}(\vec...
 daro[lo]  1
 iloczyn wektorowy a liniowa zależność
Jest taka własność: Jeżeli wektory A,B \in R ^{3} są liniowo zależne, to ich iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym. Czy implikacja w drugą stronę jest prawdziwa?...
 matematix  0
 Wektor jako kombinacja liniowa wektorów - zadanie 2
Witajcie! Mam taki niewielki problem. Mam podany wektor w=\left|1 \ 2 \ 2 \ 1 \right| i wektory v_{1}=\left , \ v_{2}=\left, \ v_{3}=\left[ 5 \ 6 \ 7 \ 9\right...
 Ctrene  0
 izometria liniowa
Wykaż, że jeśli S jest izometrią liniową, to S ^{-1} też jest izometria liniową....
 Atraktor  1
 Przestrzeń liniowa, baza,
Próbuję sobie cokolwiek przypomnieć z algebry. To jest tak, że jeżeli coś jest bazą przestrzeni liniowej H, to lin\left( cos\right)=H A co oznacza taki warunek: (niech a oznacza układ wekt...
 PiotrowskiW  0
 przestrzen, podprzestrzeń, niezaleznosc wektorow
witam, mam problem, calej matematyki ucze sie z etrapeza ale tego tematu tam nie ma a nie wiem jak do tego nawet sie zabrac 1 zadanie. W={p \in R _{3} :p(x)=-p(-x) dla kazdego x \in R}, V=R _{3} U...
 robert0770  12
 Sprawdzić przestrzeń liniową
Jest zadanie, które polega na sprawdzeniu czy podane zbiory ze wskazanymi działaniami są przestrzeniami liniowymi i podpunkt b) niby nie jest: b) V - zbiór wielomianów stopnia 5 ze zwykłymi działaniami: dodawaniem wielomianów i mnożeniem wielomianu ...
 lortp  4
 Dowód z liniową powłoką
Zawsze mam największy problem z zadaniami relacji między zbiorami, gdzie trzeba coś udowodnić... Jak udowodnić coś takiego? Na co mogę się powołać, z czego skorzystać? I przede wszystkim jak zapisywać takie dowody? Może poda ktoś podobny przykład? ...
 Poszukujaca  6
 Liniowa niezależność i baza
Aby ten układ był liniowo niezależny, to musimy sprawdzić czy \alpha(1-2i)+\beta(3+i)\Rightarrow \alpha=\beta=0 co daje układ równań \begin{cases} \alpha+3\beta=0\\ -2\alpha+\beta=0\end{cases...
 PiotrWP  12
 Czy i kiedy podany zbiór jest podprzestrzenią liniową?
Niech x będzie przestrzenią liniową wszystkich funkcji f : R \rightarrow R nad ciałem R. Rozważamy tu następujacy zbiór U = \left\{ h \in X: h&#40...
 MatmaQ  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com