Muszę rozwinąć w szereg Laurenta funkcję: \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1} }\), dla obszaru: \(\displaystyle{ \left|z+1\right| < 2}\).
Mam więc wzór na rozwinięcie za pomocą sumy szeregu: \(\displaystyle{ \frac{1}{1-c \cdot w} = \sum_{ n=0}^{\infty} (c \cdot w) ^{n}, dla \left[ w\right] < \frac{1}{\left[ c\right] } }\)
Wygląda na to, że \(\displaystyle{ c}\) powinno być równe \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{2}\right] }\), a moje \(\displaystyle{ w}\) to \(\displaystyle{ \left[ z+1\right] }\).
Nie miałabym problemu, gdyby obszar był opisany jako \(\displaystyle{ \left| z\right|< 2}\), jednak ten środek w \(\displaystyle{ -1}\) trochę mi namieszał i w żaden sposób nie umiem przekształcić mianownika tak, aby skorzystać ze wzoru na sumę szeregu.
Może ktoś podpowie jakąś magiczną sztuczkę, jaką można tu zastosować?
Szereg Laurenta - rozwinięcie funkcji w szereg
-
- Użytkownik
- Posty: 7933
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1678 razy
Re: Szereg Laurenta - rozwinięcie funkcji w szereg
\(\displaystyle{ \frac{|z+1|}{2} < 1 }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{z+1} = -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{1 -\left(\frac{z+1}{2}\right)}\right) = \ \ ...}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{z+1} = -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{1 -\left(\frac{z+1}{2}\right)}\right) = \ \ ...}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 20 lis 2022, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 11 razy
Re: Szereg Laurenta - rozwinięcie funkcji w szereg
Nie mam pomysłu, jak dojść do tego, żeby w mianowniku było: \(\displaystyle{ 1 - ...}\)
Czy nie wkradła się pomyłka? Po wymnożeniu nie wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1} }\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10249
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2373 razy
Re: Szereg Laurenta - rozwinięcie funkcji w szereg
Nie pomyliłaś się w przepisywaniu? Bo jeśli treść faktycznie wygląda w ten sposób, to po pierwsze musi być \(\displaystyle{ 0 < |z+1| < 2}\), a po drugie jedyną możliwą odpowiedzią jest szereg złożony z jednego wyrazu: \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1}}\).
Natomiast sporo więcej sensu miałoby albo rozwijanie funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1}}\) w obszarze \(\displaystyle{ |z-1|<2}\), albo funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1}}\) w obszarze \(\displaystyle{ |z+1|<2}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 20 lis 2022, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 11 razy
Re: Szereg Laurenta - rozwinięcie funkcji w szereg
Właściwie, zgodnie z pełną treścią zadania, rozkładana funkcja to \(\displaystyle{ \frac{2}{(z+1)(z-1)} }\) w pierścieniu \(\displaystyle{ 0<\left| z+1\right|<2 }\)
Podniosło mnie na duchu, że tym razem nie mogę czegoś zrobić bo się nie da, a nie że czegoś nie umiem
Funkcja po rozkładzie to \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1} - \frac{1}{z+1} }\), w takim razie rozwijam pierwszy ułamek i \(\displaystyle{ f(z) = \sum_{ \infty }^{n=0} \frac{(z+1)^n}{2^{n+1}} - \frac{1}{z+1} }\)
Uwaga: będzie głupie pytanie - dlaczego drugi ułamek jest pojedynczym wyrazem? Domyślam się, że biorąc się za ten temat, należałoby wiedzieć, ale jednak nie do końca to czuję. Jak wykryć taki podstęp na przyszłość?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10249
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2373 razy
Re: Szereg Laurenta - rozwinięcie funkcji w szereg
Przed sumą brakuje minusa, a indeksy pisze się tak: \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}}\)
Odnośnie pytania - rozwijanie funkcji w szereg Laurenta o środku w \(\displaystyle{ a=-1}\) polega na przedstawieniu tej funkcji za pomocą sumy wyrazów postaci \(\displaystyle{ a_k \cdot (z+1)^k}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\). Jeśli oryginalny wzór funkcji zupełnie takiej postaci nie przypomina, to używa się znanych technik, by uzyskać rozwinięcie. Ale ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1}}\) od razu jest takiej postaci jak trzeba, bo \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1} = 1 \cdot (z+1)^{-1}}\) - dlatego nie trzeba go przekształcać, a wystarczy przepisać.
Analogiczny przykład: przypuśćmy, że mamy przedstawić wielomian \(\displaystyle{ w(x) = x^2 + x - 1}\) w postaci \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n a_k (x-1)^k}\). Naturalnym rozwiązaniem jest przekształcenie pierwszego wyrazu tak:
\(\displaystyle{ x^2 = ((x-1)+1)^2 = (x-1)^2 + 2(x-1) + 1}\).
Natomiast kolejnych dwóch wyrazów, \(\displaystyle{ x-1}\), nie trzeba przekształcać, bo już są w odpowiedniej postaci. Dlatego odpowiedzią byłoby \(\displaystyle{ (x-1)^2 + 3(x-1) + 1}\).
Odnośnie pytania - rozwijanie funkcji w szereg Laurenta o środku w \(\displaystyle{ a=-1}\) polega na przedstawieniu tej funkcji za pomocą sumy wyrazów postaci \(\displaystyle{ a_k \cdot (z+1)^k}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\). Jeśli oryginalny wzór funkcji zupełnie takiej postaci nie przypomina, to używa się znanych technik, by uzyskać rozwinięcie. Ale ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1}}\) od razu jest takiej postaci jak trzeba, bo \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1} = 1 \cdot (z+1)^{-1}}\) - dlatego nie trzeba go przekształcać, a wystarczy przepisać.
Analogiczny przykład: przypuśćmy, że mamy przedstawić wielomian \(\displaystyle{ w(x) = x^2 + x - 1}\) w postaci \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n a_k (x-1)^k}\). Naturalnym rozwiązaniem jest przekształcenie pierwszego wyrazu tak:
\(\displaystyle{ x^2 = ((x-1)+1)^2 = (x-1)^2 + 2(x-1) + 1}\).
Natomiast kolejnych dwóch wyrazów, \(\displaystyle{ x-1}\), nie trzeba przekształcać, bo już są w odpowiedniej postaci. Dlatego odpowiedzią byłoby \(\displaystyle{ (x-1)^2 + 3(x-1) + 1}\).