Fajne.
Spróbuję teraz udowodnić twierdzenie Cantora-Bernsteina
, przy pomocy lematu Banacha, gdyż jest to ciekawy trik i bardzo użyteczne twierdzenie.
Lemat Banacha mówi, że
dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) oraz funkcji \(\displaystyle{ f:A \rightarrow B, g:B \rightarrow A}\) istnieją rozłączne zbiory \(\displaystyle{ A_{1},A_{2} \subset A}\) wzajemnie uzupełniające się do \(\displaystyle{ A}\) ( czyli że \(\displaystyle{ A_{1} \cup A_{2}=A}\)) jak i istnieją rozłączne zbiory \(\displaystyle{ B_{1},B_{2} \subset B}\) wzajemnie uzupełniające się do \(\displaystyle{ B}\) oraz takie że \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f }\left( A_{1}\right) =B_{1}}\) i \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{g}\left( B_{2}\right) =A_{2}}\).
Oto ilustracja:
Możemy użyć tego ciekawego twierdzenia, aby w prosty sposób udowodnić twierdzenie Cantora-Bernsteina
Oto dowód:
Niech
\(\displaystyle{ A,B}\) będą dowolnymi zbiorami, a
\(\displaystyle{ f: A \rightarrow B, \ g: B \rightarrow A}\) funkcjami różnowartościowymi. Znajdziemy bijekcję z
\(\displaystyle{ A}\) do
\(\displaystyle{ B}\).
Na mocy lematu Banacha istnieją rozłączne zbiory
\(\displaystyle{ A_{1}A_{2} \subset A}\) wzajemnie uzupełniające się do
\(\displaystyle{ A}\) jak i istnieją rozłączne zbiory
\(\displaystyle{ B_{1},B_{2} \subset B}\) wzajemnie uzupełniające się do
\(\displaystyle{ B}\) oraz takie że
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f }\left( A_{1}\right) =B_{1}}\) i
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{g}\left( B_{2}\right) =A_{2}}\). Zdefiniujmy
\(\displaystyle{ h}\) jako:
\(\displaystyle{ h= \left[ f \cap \left( A_{1} \times B\right) \right] \cup \left[ g ^{-1} \cap \left( A_{2} \times B\right)\right]}\).
Niewątpliwie
\(\displaystyle{ h \subset A \times B}\) jako suma dwóch podzbiorów
\(\displaystyle{ A \times B}\), a ponieważ
\(\displaystyle{ g}\) jest różnowartościowa, to relacja
\(\displaystyle{ g^{-1}}\) jest funkcją częściową. Ponieważ każdy podzbiór funkcji jest funkcją, więc relacja
\(\displaystyle{ h}\) jako suma dwóch funkcji ( funkcji
\(\displaystyle{ f}\) zawężonej do
\(\displaystyle{ A_{1}}\) i funkcji
\(\displaystyle{ g^{-1}}\) zawężonej do
\(\displaystyle{ A_{2}}\)) na rozłącznych zbiorach
\(\displaystyle{ A_{1}, A_{2}}\) jest funkcją. Ponieważ te zbiory sumują się do
\(\displaystyle{ A}\), to
\(\displaystyle{ h: A \rightarrow B}\). Ponieważ
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{g}\left( B_{2}\right) =A_{2}}\), więc
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{h}\left( A_{2}\right) =B_{2}}\). a równość
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f }\left( A_{1}\right) =B_{1}}\) daje
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{h }\left( A_{1}\right) =B_{1}}\). Łatwo teraz pokazać że
\(\displaystyle{ h}\) jest różnowartościowa i 'na' zbiór
\(\displaystyle{ B}\). Ponieważ
\(\displaystyle{ f,g}\) są różnowartościowa, więc
\(\displaystyle{ g ^{-1}}\) jest różnowartościowa, więc zawężone funkcje
\(\displaystyle{ f}\) do zbioru
\(\displaystyle{ A_{1}}\) i
\(\displaystyle{ g ^{-1}}\) do zbioru
\(\displaystyle{ A_{2}}\) będą różnowartościowe, więc funkcja
\(\displaystyle{ h}\) jako suma takich funkcji ( gdzie
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{h }\left( A_{1}\right) =B_{1} \hbox { i } \stackrel{ \rightarrow }{h}\left( A_{2}\right) =B_{2}}\), a więc o rozłącznych odpowiednich obrazach)-
\(\displaystyle{ h}\) będzie różnowartościowa. Aby pokazać że
\(\displaystyle{ h}\) jest 'na' zbiór
\(\displaystyle{ B}\), to:
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{h }\left( A\right) = \stackrel{ \rightarrow }{h }\left( A _{1} \cup A _{2} \right)= \stackrel{ \rightarrow }{h }\left( A_{1}\right) \cup \stackrel{ \rightarrow }{h }\left( A_{2}\right)=B_{1}\cup B_{2}=B}\),
czyli
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{h }\left( A\right) =B}\), czyli
\(\displaystyle{ h}\) jest 'na'
\(\displaystyle{ B}\), a więc jest bijekcją z
\(\displaystyle{ A}\) do
\(\displaystyle{ B}\), co kończy dowód.
\(\displaystyle{ \square}\)