Matematyka.pl

Zadanie polega na znalezieniu wszystkich rozwiniec funkcji

\(\displaystyle{ f(z)=\frac{z-1}{\sqrt[3]{z^3-3z^2+3z}}}\) w punkcie \(\displaystyle{ z_0=1}\)

w szereg Laurenta i okresleniu ich obszarow zbieznosci.
Nalezy rozwazyc te galaz pierwiastka, ktora na dodatniej polosi rzeczywistej przyjmuje wartosci rzeczywiste.

Rozwija sie najczesciej albo korzystajac ze "standardowych" szeregow Taylora, albo obliczajac calki ze wzoru Cauchy'ego, co tu bedzie ciezko. Da sie jakos inaczej? Bede wdzieczna za podpowiedz.

Wskazówka: miejsca zerowe wielomianu pod pierwiastkiem tworzą trójkąt równoboczny o środku w \(\displaystyle{ z = 1}\), więc podstawienie \(\displaystyle{ u = z-1}\) mocno uprości wzór funkcji.

Ach, genialnie z tym trojkatem, bardzo dziekuje!
Jesli mozna, jeszcze sie upewnie: beda dwa szeregi: jeden Taylora dla \(\displaystyle{ |z-1|<1}\), a drugi z zerowa czescia regularna na zewnatrz tego kola?

Pierwszy - tak, drugi - nie. Konkretnie:

\(\displaystyle{ \begin{align*}
u \cdot (1+u^3)^{-\frac{1}{3}} & = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-\frac{1}{3}}{n} \cdot u^{3n+1} & \text{dla } |u| < 1,\\[2ex]
\left( 1 + \frac{1}{u^3} \right)^{-\frac{1}{3}} & = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-\frac{1}{3}}{n} \cdot \frac{1}{u^{3n}} & \text{dla } |u| > 1.
\end{align*}}\)

Część regularna drugiego szeregu nie jest zerowa, ale jest stała.

No tak, stala siedzi w tym szeregu, tez mi tak wyszlo. Jeszcze raz pieknie dziekuje i pozdrawiam.