Matematyka.pl

Hej,
mam rozwiązać takie równanie:

\(\displaystyle{ \sin x - \frac{1}{\cos x}=\tg x -1 }\) Robię założenie: \(\displaystyle{ \cos x \neq 0}\) i mnożę obustronnie przez \(\displaystyle{ \cos x}\)

\(\displaystyle{ \sin x \cos x -1 = \sin x - \cos x}\) Podnoszę obie strony do kwadratu:

\(\displaystyle{ \sin ^{2} x \cos ^{2} x - 2 \sin x \cos x +1= \sin ^{2} x -2\sin x \cos x + \cos ^{2} x}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2} x\cos ^{2} x = 0}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2} x =0 }\) lub \(\displaystyle{ \cos ^{2} x=0}\) Uwzględniając założenie:

\(\displaystyle{ \sin ^{2} x=0}\) Więc wychodzi \(\displaystyle{ x=k \pi }\),

a odpowiedź ma być: \(\displaystyle{ x=2k \pi }\) Dlaczego?

Podnoszę obie strony do kwadratu:

równania \(\displaystyle{ a = b }\) i \(\displaystyle{ a^2 =b^2}\) nie są równoważne...

...więc ponosząc obustronnie do kwadratu "wyprodukowałeś" fałszywe pierwiastki.

JK

Swoją drogą, podnoszenie do kwadratu nie jest najlepszym pomysłem. Dużo lepiej przenieść wszystko na jedną stronę i pogrupować wyrazy.

Ok, rozumiem, więc inną drogą trzeba to rozwiązać.

\(\displaystyle{ \sin x - \frac{1}{\cos x} - \tg x +1=0 }\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin x \cos x -1 -\sin x+ \cos x }{\cos x}=0 }\)

\(\displaystyle{ \frac{\cos x (1+ \sin x) - (1+\sin x )}{\cos x}=0 }\)

\(\displaystyle{ ( 1+ \sin x )(\cos x -1) = 0}\)

\(\displaystyle{ \sin x = -1 \vee \cos x =1}\) uwzględniając założenie: \(\displaystyle{ \cos x \neq 0}\)

\(\displaystyle{ \cos x =1 \Leftrightarrow x= 2k \pi }\)

Damieux pisze: ↑5 maja 2024, o 18:43 Ok, rozumiem, więc inną drogą trzeba to rozwiązać.

Raczej można niż trzeba, choć jest to istotnie ładniejsze rozwiązanie.

Uważna analiza Twojego pierwotnego rozwiązania też doprowadziłaby do poprawnej odpowiedzi.

JK

W takim razie, chcę dowiedzieć się, co się stanie, gdy równanie \(\displaystyle{ a=b}\) podniesiemy obustronnie do kwadratu.

Jeżeli \(\displaystyle{ a=b}\) to teoretycznie \(\displaystyle{ a ^{2}=b ^{2} }\), wg mnie jest to prawda, znak zawsze będzie dodatni. Problem pojawia się jednak, gdy chcemy z powrotem wrócić do pierwotnego równania i odpierwiastkujemy obustronnie, wtedy pojawia się wartość bezwzględna?
\(\displaystyle{ \left| a\right|=\left| b\right| }\) i w efekcie wychodzi, że \(\displaystyle{ a=b \vee a=-b}\) ?

Dodano po 1 minucie 21 sekundach:
To może powinniśmy zrobić założenie, podnosząc obie strony do kwadratu, \(\displaystyle{ a>0 \wedge b>0}\)?

Jak zrobisz takie założenie że to z definicji wykluczyć rozwiązania gdy obie strony są ujemne. To nie jest dobra droga. Chyba że z góry wiesz, że obie strony są dodatnie, np.w równaniu `\sqrt{x}=\sin^2(x-3)`

Więc założenie będzie, że obie strony równania są tych samych znaków?

W znakomitej większości przypadków lepiej po prostu podnieść do kwadratu, a potem usunąć te zbędne

Jan Kraszewski pisze: ↑5 maja 2024, o 20:17 Uważna analiza Twojego pierwotnego rozwiązania też doprowadziłaby do poprawnej odpowiedzi.

Jak to przeanalizować?

Dynia5 pisze: ↑6 maja 2024, o 00:03Jak to przeanalizować?

Otrzymany warunek (konieczny) \(\displaystyle{ \sin x=0}\) po zastosowaniu do równania \(\displaystyle{ \sin x - \frac{1}{\cos x}=\tg x -1 }\) prowadzi do równania \(\displaystyle{ - \frac{1}{\cos x}= -1 }\), czyli \(\displaystyle{ \cos x=1.}\)

JK