Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) bedą rzeczywistymi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ ax^2 -4ax +1= 0}\) spełniającymi nierówność \(\displaystyle{ | \tg(m) - \tg(n) | \leq 1}\)
Wyznacz a.

Ja bym zaczął:

1. \(a=0\Rightarrow x\in\emptyset\)
2. \(a\ne0\Rightarrow (x-2)^2=4-{1\over a}\)
   Dla \(4-{1\over a}\ge0\) mamy \(m=2-p,\ n=2+p\), gdzie \(p=\sqrt{4-{1\over a}}\ge0\) oraz \(p\ne2\) i dana nierówność jest równoważna
   \[\left|\tg(2+p)-\tg(2-p)\right|\le1\\
   \ldots\\
   \left(\sin(2p-\alpha)-\frac{\cos4}{\sqrt5}\right)\left(\sin(2p+\alpha)+\frac{\cos4}{\sqrt5}\right)\le0,\text{ gdzie } \alpha=\arctg{1\over2}\\\ldots\]

Pozdrawiam

Ale tego przekształcenia w 6 linijce nie rozumiem.

Zatem szczegółowiej:
\[\left|\tg(2+p)-\tg(2-p)\right|\le1\\
\left|\frac{\sin(2+p-2+p)}{2\cos(2+p)\cos(2-p)}\right|\le\frac{1}{2}\wedge\cos(2+p)\cos(2-p)\ne0\\
\left|\frac{\sin2p}{\cos(2+p+2-p)+\cos(2+p-2+p)}\right|\le\frac{1}{2}\\
|2\sin2p|\le|\cos4+\cos2p|\qquad|^2\\
(2\sin2p)^2-(\cos4+\cos2p)^2\le0\\
\left[(2\sin2p)-(\cos4+\cos2p)\right]\cdot \left[(2\sin2p)+(\cos4+\cos2p)\right]\le0\qquad|:5\\
\left(\sin2p\cdot{2\over\sqrt5}-\cos2p\cdot{1\over\sqrt5}-\frac{\cos4}{\sqrt5}\right)
\left(\sin2p\cdot{2\over\sqrt5}+\cos2p\cdot{1\over\sqrt5}+\frac{\cos4}{\sqrt5}\right)\le0\]
Pozdrawiam