szukanie zaawansowane

Macierze

Macierze

Macierzą A nazywamy prostokątną tablicę liczb:


A = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots&a_{2m}\\ \vdots & \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots&a_{nm}\end{bmatrix}


Co można zapisać krócej jako

\left[ a_{ik}\right]_{n\times m}


Macierz kwadratowa ma tyle samo wierszy co kolumn

A = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots & \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots&a_{nn}\end{bmatrix}



Dla każdej macierzy kwadratowej możemy przyporządkować liczbę zwaną wyznacznikiem macierzy, co zapisujemy jako:

det{W} = |W| = W = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots & \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots&a_{nn}\end{vmatrix}


Wyznacznik dla macierzy stopnia n obliczamy następująco

1. gdy n=1

|a| = a


2. gdy n=2
\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc


3. gdy n=3
\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1b_2c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1- a_1b_3c_2-a_2b_1c_3



Minorem danej macierzy kwadratowej (albo danego wyznacznika) odpowiadającym elementowi a_{ik}, jest wyznacznik powstały ze skreślenia i-tego wiersza i k-tej kolumny. Minor oznaczamy przez M_{ik}

Dopełnienie algebraiczne A_{ik} elementu a_{ik} to iloczyn minora M_{ik}odpowiadającego temu elementowi i (-1)^{i+k}

A_{ik} = (-1)^{i+k}\cdot M_{ik}



Podstawowe działania na macierzach

c \in R, A = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots&a_{2m}\\ \vdots & \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots&a_{nm}\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}&\ldots&b_{1m}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}&\ldots&b_{2m}\\ \vdots & \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&b_{n3}&\ldots&b_{nm}\end{bmatrix}

Mnożenie macierzy przez liczbę

c\cdot A =  \begin{bmatrix} c\cdot a_{11}&c\cdota_{12}&c\cdot  a_{13}&\ldots&c\cdot a_{1m}\\c\cdot a_{21}&c\cdot a_{22}&c\cdot a_{23}&\ldots&c\cdot a_{2m}\\ \vdots & \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\c\cdot a_{n1}&c\cdot a_{n2}&c\cdot a_{n3}&\ldots&c\cdot a_{nm}\end{bmatrix}


Dodawanie macierzy
A+B =   \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots&a_{2m}\\ \vdots & \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots&a_{nm}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}&\ldots&b_{1m}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}&\ldots&b_{2m}\\ \vdots & \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&b_{n3}&\ldots&b_{nm}\end{bmatrix} = \\\\\\ \begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}&\ldots&a_{1m}+b_{1m}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}&\ldots&a_{2m}+b_{2m}\\ \vdots & \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}+b_{n1}&a_{n2}+b_{n2}&a_{n3}b_{n3}&\ldots&a_{nm}+b_{nm}\end{bmatrix}


Odejmowanie macierzy
A-B =   \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots&a_{2m}\\ \vdots & \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots&a_{nm}\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}&\ldots&b_{1m}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}&\ldots&b_{2m}\\ \vdots & \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&b_{n3}&\ldots&b_{nm}\end{bmatrix} = \\\\\\ \begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&a_{13}-b_{13}&\ldots&a_{1m}-b_{1m}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&a_{23}-b_{23}&\ldots&a_{2m}-b_{2m}\\ \vdots & \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}-b_{n1}&a_{n2}-b_{n2}&a_{n3}-b_{n3}&\ldots&a_{nm}-b_{nm}\end{bmatrix}


Mnożenie macierzy

Mnożyć możemy tylko te macierze, z których pierwsza macierz ma dokładnie tyle samo kolumn, co druga macierz wierszy.

\left[ a_{ik}\right]_{n\times m} \cdot \left[ b_{kj}\right]_{m\times l} = \left[ c_{ij}\right]_{n\times l}


Jak najprościej mnożyć macierze? Najpierw wyznaczamy rozmiar docelowej macierzy.

Przykładowo dostaniemy macierz 3\times 2 (3 wiersze, 2 kolumny), która jest wynikiem mnożenia macierzy 3\times 2 i 2\times 2.
1 wiersz \times 1 kolumna to suma iloczynu elementów z pierwszego wiersza pierwszej macierzy i elementów z pierwszej kolumny drugiej macierzy.
\vdots
2 wiersz \times 2 kolumna to suma iloczynu elementów z drugiego wiersza pierwszej macierzy i elementów z drugiej kolumny drugiej macierzy.
\vdots

Jest to naprawdę proste, ale jak zawsze lepiej to będzie widać na przykładzie:

A = \begin{bmatrix}
1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}7&8\\9&10\end{bmatrix}
A \cdot B =  \left[ \begin{array}{c|c} 1\cdot 7 + 2\cdot 9 & 1\cdot 8+2\cdot 10 \\\hline 3\cdot 7 + 4\cdot 9 & 3\cdot 8+4\cdot 10 \\\hline 5\cdot 7 + 6 \cdot 9 & 5\cdot 8 + 6 \cdot 10 \end{array}\right]

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa:

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com