Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Ciąg arytmetyczny

Ciągiem arytmetycznym nazwiemy ciąg, w którym różnica (r) między dowolnymi dwoma wyrazami sąsiadującymi jest stała.

(a_n) jest ciągiem arytmetycznym \Leftrightarrow \exists_{r \in \mathbb{R}} \forall_{n \in \mathbb{N}^{+}} \left(a_{n+1} - a_n = r \right)


(a_n) jest ciągiem arytmetycznym \Leftrightarrow a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}= \frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}, \hspace{15}0<k<n \ \wedge \ n  \ge 2

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

a_n = a_1 + (n-1)\cdot r


gdzie r - różnica między kolejnymi wyrazami, a_1 - pierwszy wyraz ciągu


Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego


S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n= \frac{2a_1+\left(n-1\right)r}{2} \cdot n



Jeżeli ciąg arytmetyczny (a_n) jest skończony, to suma każdych dwóch wyrazów równo oddalonych od początku i końca ciągu jest stała i określa się ją wzorem

a_1+a_n



Monotoniczność ciągu arytmetycznego

\textbf{Ciąg arytmetyczny jest :}

\text{ rosnący } \hspace{50}\text{ malejący } \hspace{50}   \text{ stały} \hspace{50}

\hspace{10}r>0 \hspace{70}r<0  \hspace{70} r=0


Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym nazwiemy ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz wyrazu pierwszego, jest iloczynem wyrazu poprzedniego i tej samej pewnej liczby q, którą nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

a_n = a_1\cdot q^{n-1}

dla n \ge 2


Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego

S_n = \begin{cases} n\cdot a_1, \hspace{15} q=1 \\\\  \frac{a_1\left(1-q^n\right)}{1-q}, \hspace{15} q \neq 1 \end{cases}



Jedną z własności ciągu geometrycznego jest fakt, że kwadrat dowolnego wyrazu oprócz pierwszego (i ostatniego gdy ciąg jest skończony) jest iloczynem wyrazu poprzedniego i sąsiedniego.

|a_n| = \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}=\sqrt{a_{n-k}\cdot a_{n+k}}

dla 0<k<n \  \wedge \ n \ge 2


Monotoniczność ciągu geometrycznego
Ciąg geometryczny jest

1. rosnący gdy

(q>1  \wedge a_1>0 ) \vee (a_1<0  \wedge 0<q<1)


2. malejący gdy

( a_1>0 \wedge 0<q<1) \vee (a_1<0 \wedge q>1)


3. stały gdy

a_1 =0  \vee (a_1  \neq 0  \wedge q =1)


Szereg geometryczny

Szeregiem geometrycznym nazywamy nieskończony ciąg (S_n) postaci

S_1= a_1 \\ 
S_2 = a_1+a_1q \\ 
S_3 = a_1+ a_1q+a_1q^2 \\
S_4 = a_1 + a_1q + a_1q^2+a_1q^3 \\
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\
S_n = a_1 + a_1q + \ldots + a_1q^{n-1} \\ 
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots


S_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_1\cdot q^{n-1}


Jeśli przez S oznaczymy sumę szeregu geometrycznego (granicę szeregu geometrycznego) przy założeniach, że |q|<1 \vee a_1= 0 możemy wyliczyć S ze wzoru

S =\lim_{n \to \infty}S_n = \frac{a_1}{1-q}, \hspace{15}\text{dla} \hspace{10} |q| < 1 \\ \\ \text{lub} \\  \\  S=0, \hspace{15} \text{dla} \hspace{10}a_1 = 0



Jak rozpoznać czy dany ciąg jest arytmetyczny czy geometryczny?

Najlepszym sposobem jest sprawdzenie czy kolejne wyrazy ciągu różnią się o tę samą liczbę - wtedy mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym.

Z drugiej strony, czasem od razu widać, że ciąg jest geometryczny gdy szybko maleje lub rośnie.

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa:

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com