Zobacz tematy bez odpowiedzi | Zobacz aktywne tematy

Elementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Stwierdzenie, któremu możemy przyporządkować jedną z dwóch wartości - prawdę ( $1$ ) lub fałsz ( $0$ ) nazywamy zdaniem logicznym. W logice, zdania przyjęło się oznaczać za pomocą małych liter $p,q,r, \ldots$ Do określania wartości logicznych stosujemy funktory zdaniotwórcze, których zastosowanie prezentują poniższe tabele wartości logicznych zdań. Tabele wartości logicznych zdań Negacja - zapisujemy ją za pomocą znaku tyldy $\sim$ Zapis $\sim p$ czytamy jako nieprawda, że $p$ $\begin{array}{\|c\|c\|} \hline p & \sim p \\ \hline 1&0 \\ \hline 0&1 \\ \hline \end{array}$ Alternatywa - zapisujemy ją za pomocą znaku $\vee$ Alternatywę zdań $p \vee q$ czytamy jako $p$ lub $q$ $\begin{array}{\|c\|c\|c\|} \hline p & q & p \vee q \\ \hline 1&1&1 \\ \hline 1&0&1 \\ \hline 0&1&1 \\ \hline 0&0&0 \\ \hline\end{array}$ Alternatywa wykluczająca (XOR) - zapisujemy ją za pomocą znaku $\underline{\vee}$ Alternatywę wykluczającą zdań $p \underline{\vee} q$ czytamy jako $p$ albo $q$ $\begin{array}{\|c\|c\|c\|} \hline p & q & p \underline{\vee} q \\ \hline 1&1&0 \\ \hline 1&0&1 \\ \hline 0&1&1 \\ \hline 0&0&0 \\ \hline \end{array}$ Koniunkcja - zapisujemy ją za pomocą znaku $\wedge$ Koniunkcję zdań $p \wedge q$ czytamy jako $p$ i $q$ $\begin{array}{\|c\|c\|c\|} \hline p & q & p \wedge q \\ \hline 1&1&1 \\ \hline 1&0&0 \\ \hline 0&1&0 \\ \hline 0&0&0 \\ \hline \end{array}$ Równoważność - zapisujemy ją za pomocą znaku $\Leftrightarrow$ Równoważność zdań $p \Leftrightarrow q$ czytamy jako $p$ wtedy i tylko wtedy, gdy $q$ $\begin{array}{\|c\|c\|c\|} \hline p & q & p \Leftrightarrow q\\ \hline 1&1&1 \\ \hline 1&0&0 \\ \hline 0&1&0 \\ \hline 0&0&1 \\ \hline \end{array}$ Implikacja - zapisujemy ją za pomocą znaku $\Rightarrow$ Implikację zdań $p \Rightarrow q$ czytamy jako jeśli $p$ , to $q$ $\begin{array}{\|c\|c\|c\|} \hline p & q & p \Rightarrow q \\ \hline 1&1&1 \\ \hline 1&0&0 \\ \hline 0&1&1 \\ \hline 0&0&1 \\ \hline \end{array}$ Za pomocą tabeli wartości logicznych przedstawię jak można dowieść I prawo de Morgana, które ma postać: $\sim (p \wedge q) \Leftrightarrow \left[ (\sim p) \vee ( \sim q) \right]$ $\begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|} \hline p & q & p \wedge q & \sim (p \wedge q) & \sim p & \sim q & \sim p \vee (\sim q) \\ \hline 1&1&1&0&0&0&0 \\ \hline 1&0&0&1&0&1&1 \\ \hline 0&1&0&1&1&0&1 \\ \hline 0&0&0&1&1&1&1 \\ \hline \end{array}$ Jak widać, 4 i 7 kolumna mają te same wartości logiczne dla wszystkich przypadków, a więc I prawo de Morgana rzeczywiście jest tautologią. Tautologią nazywamy prawo, które zawsze jest prawdziwe, zawsze zachodzi - a w logice, które zawsze daje wartość 1. Inne przykłady tautologii, zwanych także prawem rachunku zdań znajdziecie poniżej. Prawa rachunku zdań 1. Prawo wyłączonego środka $p \vee \sim p$ 2. Prawo podwójnej negacji $\sim (\sim p) \Leftrightarrow p$ 3. Prawo przemienności koniunkcji $p \wedge q \Leftrightarrow q \wedge p$ 4. Prawo łączności koniunkcji $(p \wedge q) \wedge r \Leftrightarrow p \wedge (q \wedge r)$ 5. Prawo przemienności alternatywy $p \vee q \Leftrightarrow q \vee p$ 6. Prawo łączności alternatywy $(p \vee q) \vee r \Leftrightarrow p \vee (q \vee r)$ 7. I prawo de Morgana - prawo zaprzeczenia koniunkcji $\sim (p \wedge q) \Leftrightarrow \left[ (\sim p) \vee ( \sim q) \right]$ 8. II prawo de Morgana - prawo zaprzeczenia alternatywy $\sim ( p \vee q) \Leftrightarrow ( \sim p) \wedge ( \sim q)$ 9. Prawo przechodniości implikacji $\left[ (p \Rightarrow q ) \wedge (q \Rightarrow r)\right] \Leftrightarrow (p \Rightarrow r)$ 10. Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji $\left[ (p \vee (q \wedge r)\right] \Leftrightarrow \left[ (p \vee q) \wedge (p \vee r)\right]$ 11. Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy $\left[ p \wedge (q \vee r) \right] \Leftrightarrow \left[ (p \wedge q ) \vee ( p \wedge r)\right]$ 12. Prawo odrywania $\left[(p \Rightarrow q) \wedge p \right] \Rightarrow q$ 13. Prawo eliminacji implikacji $(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow ( ( \sim p ) \vee q)$	Arytmetyka: Liczby Działania arytmetyczne Ułamki Procenty Proporcje Potęgi i pierwiastki Cechy podzielności Wartość bezwzględna Wyrażenia algebraiczne Wzory skróconego mnożenia Logika matematyczna: Elementy logiki matematycznej Zbiory liczbowe Metody dowodzenia twierdzeń Indukcja matematyczna Geometria: Planimetria Stereometria Geometria analityczna Funkcje: Pojęcie funkcji Przekształcanie wykresów funkcji Funkcje liniowe Funkcje kwadratowe Funkcje wielomianowe Funkcje wymierne Funkcje trygonometryczne Funkcje wykładnicze i logarytmiczne Analiza matematyczna: Pojęcie ciągu liczbowego Ciąg arytmetyczny i geometryczny Ciąg rekurencyjny Granica ciągu Granica i ciągłość funkcji Pochodna funkcji Badanie przebiegu zmienności funkcji Całka nieoznaczona i oznaczona Równania różniczkowe liniowe Szeregi liczbowe Algebra: Liczby zespolone Wektory Macierze Układy równań liniowych Rachunek prawdopodobieństwa: Elementy kombinatoryki Prawdopodobieństwo Statystyka opisowa

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej

Stwierdzenie, któremu możemy przyporządkować jedną z dwóch wartości - prawdę ( $1$ ) lub fałsz ( $0$ ) nazywamy zdaniem logicznym.

W logice, zdania przyjęło się oznaczać za pomocą małych liter $p,q,r, \ldots$

Do określania wartości logicznych stosujemy funktory zdaniotwórcze, których zastosowanie prezentują poniższe tabele wartości logicznych zdań.

Tabele wartości logicznych zdań

Negacja - zapisujemy ją za pomocą znaku tyldy $\sim$
Zapis $\sim p$ czytamy jako nieprawda, że $p$

$\begin{array}{|c|c|} \hline p & \sim p \\ \hline 1&0 \\ \hline 0&1 \\ \hline \end{array}$

Alternatywa - zapisujemy ją za pomocą znaku $\vee$
Alternatywę zdań $p \vee q$ czytamy jako $p$ lub $q$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \vee q \\ \hline 1&1&1 \\ \hline 1&0&1 \\ \hline 0&1&1 \\ \hline 0&0&0 \\ \hline\end{array}$

Alternatywa wykluczająca (XOR) - zapisujemy ją za pomocą znaku $\underline{\vee}$
Alternatywę wykluczającą zdań $p \underline{\vee} q$ czytamy jako $p$ albo $q$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \underline{\vee} q \\ \hline 1&1&0 \\ \hline 1&0&1 \\ \hline 0&1&1 \\ \hline 0&0&0 \\ \hline \end{array}$

Koniunkcja - zapisujemy ją za pomocą znaku $\wedge$
Koniunkcję zdań $p \wedge q$ czytamy jako $p$ i $q$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \wedge q \\ \hline 1&1&1 \\ \hline 1&0&0 \\ \hline 0&1&0 \\ \hline 0&0&0 \\ \hline \end{array}$

Równoważność - zapisujemy ją za pomocą znaku $\Leftrightarrow$
Równoważność zdań $p \Leftrightarrow q$ czytamy jako $p$ wtedy i tylko wtedy, gdy $q$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \Leftrightarrow q\\ \hline 1&1&1 \\ \hline 1&0&0 \\ \hline 0&1&0 \\ \hline 0&0&1 \\ \hline \end{array}$

Implikacja - zapisujemy ją za pomocą znaku $\Rightarrow$
Implikację zdań $p \Rightarrow q$ czytamy jako jeśli $p$ , to $q$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p \Rightarrow q \\ \hline 1&1&1 \\ \hline 1&0&0 \\ \hline 0&1&1 \\ \hline 0&0&1 \\ \hline \end{array}$

Za pomocą tabeli wartości logicznych przedstawię jak można dowieść I prawo de Morgana, które ma postać:

$\sim (p \wedge q) \Leftrightarrow \left[ (\sim p) \vee ( \sim q) \right]$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & p \wedge q & \sim (p \wedge q) & \sim p & \sim q & \sim p \vee (\sim q) \\ \hline 1&1&1&0&0&0&0 \\ \hline 1&0&0&1&0&1&1 \\ \hline 0&1&0&1&1&0&1 \\ \hline 0&0&0&1&1&1&1 \\ \hline \end{array}$

Jak widać, 4 i 7 kolumna mają te same wartości logiczne dla wszystkich przypadków, a więc I prawo de Morgana rzeczywiście jest tautologią.

Tautologią nazywamy prawo, które zawsze jest prawdziwe, zawsze zachodzi - a w logice, które zawsze daje wartość 1. Inne przykłady tautologii, zwanych także prawem rachunku zdań znajdziecie poniżej.

Prawa rachunku zdań

1. Prawo wyłączonego środka

$p \vee \sim p$