szukanie zaawansowane

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej

Stwierdzenie, któremu możemy przyporządkować jedną z dwóch wartości - prawdę (1) lub fałsz (0) nazywamy zdaniem logicznym.

W logice, zdania przyjęło się oznaczać za pomocą małych liter p,q,r, \ldots

Do określania wartości logicznych stosujemy funktory zdaniotwórcze, których zastosowanie prezentują poniższe tabele wartości logicznych zdań.

Tabele wartości logicznych zdań

Negacja - zapisujemy ją za pomocą znaku tyldy \sim
Zapis \sim p czytamy jako nieprawda, że p

\begin{array}{|c|c|}  \hline p &  \sim p \\ \hline 1&0 \\ \hline 0&1 \\ \hline \end{array}


Alternatywa - zapisujemy ją za pomocą znaku \vee
Alternatywę zdań p \vee q czytamy jako p lub q

\begin{array}{|c|c|c|}  \hline p &  q & p \vee q  \\ \hline 1&1&1 \\ \hline 1&0&1 \\ \hline 0&1&1 \\ \hline 0&0&0 \\ \hline\end{array}



Alternatywa wykluczająca (XOR) - zapisujemy ją za pomocą znaku \underline{\vee}
Alternatywę wykluczającą zdań p \underline{\vee} q czytamy jako p albo q

\begin{array}{|c|c|c|}  \hline 
p &  q & p \underline{\vee} q  \\ \hline 
1&1&0 \\ \hline 
1&0&1 \\ \hline 
0&1&1 \\ \hline 
0&0&0 \\ \hline
\end{array}



Koniunkcja - zapisujemy ją za pomocą znaku \wedge
Koniunkcję zdań p  \wedge  q czytamy jako p i q

\begin{array}{|c|c|c|}  \hline 
p &  q & p  \wedge  q  \\ \hline 
1&1&1 \\ \hline 
1&0&0 \\ \hline 
0&1&0 \\ \hline 
0&0&0 \\ \hline
\end{array}




Równoważność - zapisujemy ją za pomocą znaku \Leftrightarrow
Równoważność zdań p   \Leftrightarrow   q czytamy jako p wtedy i tylko wtedy, gdy q

\begin{array}{|c|c|c|}  \hline 
p &  q & p  \Leftrightarrow  q\\ \hline 
1&1&1 \\ \hline 
1&0&0 \\ \hline 
0&1&0 \\ \hline 
0&0&1 \\ \hline
\end{array}



Implikacja - zapisujemy ją za pomocą znaku \Rightarrow
Implikację zdań p    \Rightarrow    q czytamy jako jeśli p, to q

\begin{array}{|c|c|c|}  \hline 
p &  q & p  \Rightarrow q  \\ \hline 
1&1&1 \\ \hline 
1&0&0 \\ \hline 
0&1&1 \\ \hline 
0&0&1 \\ \hline
\end{array}



Za pomocą tabeli wartości logicznych przedstawię jak można dowieść I prawo de Morgana, które ma postać:

\sim (p \wedge q)  \Leftrightarrow  \left[ (\sim p)  \vee ( \sim q) \right]


\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}  \hline 
p &  q & p  \wedge q &  \sim (p  \wedge q) &  \sim p &  \sim  q & \sim p  \vee (\sim q) \\ \hline 
1&1&1&0&0&0&0 \\ \hline 
1&0&0&1&0&1&1 \\ \hline 
0&1&0&1&1&0&1 \\ \hline 
0&0&0&1&1&1&1 \\ \hline
\end{array}


Jak widać, 4 i 7 kolumna mają te same wartości logiczne dla wszystkich przypadków, a więc I prawo de Morgana rzeczywiście jest tautologią.

Tautologią nazywamy prawo, które zawsze jest prawdziwe, zawsze zachodzi - a w logice, które zawsze daje wartość 1. Inne przykłady tautologii, zwanych także prawem rachunku zdań znajdziecie poniżej.

Prawa rachunku zdań

1. Prawo wyłączonego środka

p  \vee  \sim p


2. Prawo podwójnej negacji

\sim (\sim p)  \Leftrightarrow p


3. Prawo przemienności koniunkcji

p \wedge q  \Leftrightarrow q  \wedge p


4. Prawo łączności koniunkcji

(p  \wedge q)  \wedge r \Leftrightarrow p \wedge (q \wedge r)


5. Prawo przemienności alternatywy

p \vee q  \Leftrightarrow q  \vee p


6. Prawo łączności alternatywy

(p   \vee  q)  \vee r \Leftrightarrow p \vee (q \vee r)


7. I prawo de Morgana - prawo zaprzeczenia koniunkcji

\sim (p \wedge q)  \Leftrightarrow  \left[ (\sim p)  \vee ( \sim q) \right]


8. II prawo de Morgana - prawo zaprzeczenia alternatywy

\sim ( p  \vee q)  \Leftrightarrow ( \sim p)  \wedge ( \sim q)


9. Prawo przechodniości implikacji
\left[ (p \Rightarrow q )  \wedge (q  \Rightarrow r)\right]  \Leftrightarrow (p  \Rightarrow r)


10. Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji

\left[ (p  \vee (q  \wedge r)\right]  \Leftrightarrow   \left[ (p \vee q)  \wedge (p \vee r)\right]


11. Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy

\left[ p  \wedge (q  \vee r) \right]  \Leftrightarrow   \left[ (p \wedge q ) \vee ( p \wedge r)\right]


12. Prawo odrywania

\left[(p \Rightarrow q) \wedge p \right]  \Rightarrow q


13. Prawo eliminacji implikacji

(p  \Rightarrow q)  \Leftrightarrow ( ( \sim p ) \vee q)

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa:

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com