szukanie zaawansowane

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Obrazek

\sin{\alpha} = \frac{a}{c}  \hspace{20}
\cos{\alpha} = \frac{b}{c} \\ \\ \\
\tg{\alpha} = \frac{a}{b} \hspace{20}
\ctg{\alpha} = \frac{b}{a}


Wykresy funkcji trygonometrycznych

\sin{x}

Obrazek


f(x) = \sin{x}, \hspace{5} D_f = R, \hspace{5} Z_w = <-1; 1>, \hspace{5} T = 2\pi



\cos{x}

Obrazek


f(x) = \cos{x}, \hspace{5} D_f = R, \hspace{5} Z_w = <-1; 1>, \hspace{5} T = 2\pi



\tg{x}

Obrazek


f(x) = \tg{x}, \hspace{5} D_f = R\backslash\{x=\frac{\pi}{2}+k\pi , k \in C\}, \hspace{5} Z_w = R, \hspace{5} T = \pi



\ctg{x}

Obrazek


f(x) = \ctg{x}, \hspace{5} D_f = R\backslash\{x=k\pi , k \in C\}, \hspace{5} Z_w = R, \hspace{5} T = \pi



Wzory redukcyjne


\begin{array}{c|c|c|c|c}
& I & II & III & IV \\ \hline
\sin{\alpha} & + &+&-&- \\ \hline
\cos{\alpha} & + & - & - & + \\ \hline
\tg{\alpha} & +& -& +& -\\ \hline
\ctg{\alpha} & + & - &+&- \\
\end{array}


Warto pamiętać 'wierszyk'

W pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i kotangens, w czwartej, cosinus.

W niektórych kompendiach panuje tradycja by podać wszystkie wzory redukcyjne, co uważam, za kompletny bezsens jeśli zna się pewną regułę.

Wyobraźmy sobie, że mamy pewien kąt \phi \in \left(0^\circ ; 360^\circ \right)

Kąt \phi możemy przedstawić za pomocą wzoru:

\phi = k\cdot 90^\circ+\alpha, \hspace{15} \alpha \in \left(0^\circ ; 90^\circ\right), \hspace{5} k = 0,1,2,3,4


Chcąc określić znak funkcji dla kąta \phi i czy funkcja zmienia się na kofunkcję postępujemy wg algorytmu

1. Określamy w której ćwiartce leży znajduje się \phi i ewentualnie zmieniamy znak.

2. Jeśli k jest nieparzyste zmieniamy funkcję na kofunkcję, w przeciwnym razie zostawiamy bez zmian.

3. Zapisujemy nową funkcję z odpowiednim znakiem i kątem \alpha.

Przykładowo

\sin(234^\circ) = \sin{(2\cdot 90^\circ+ 54^\circ)}  \Rightarrow w III ćwiartce sinus jest ujemny, nie zmieniamy na kofunkcję , a więc nasz \sin(234^\circ) = - sin(54^\circ)


\cos(292^\circ) = \cos(3 \cdot 90^\circ+22^\circ)  \Rightarrow w IV ćwiartce cosinus jest dodatni, zmieniamy na sinus. \cos(292^\circ) = \sin(22^\circ)




Tożsamości trygonometryczne

\sin^2 \alpha + \cos^2\alpha = 1 \\ \\ \\ \\
\sin\alpha \neq 0 \wedge \cos\alpha \neq 0  \Rightarrow  \begin{cases}
\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1  \Rightarrow \tg\alpha = \frac{1}{\ctg\alpha}  \Leftrightarrow \ctg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha} \\ \\
\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\ \\
\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \end{cases} \\ \\


\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \\ \\
\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\sin\beta  \mp  \sin\alpha\sin\beta \\ \\
\tg(\alpha+\beta) = \frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}, \hspace{15} \cos\alpha\cdot\cos\beta\neq 0 \wedge \cos(\alpha+\beta)\neq 0 \\ \\

\ctg(\alpha+\beta) = \frac{\ctg\alpha\ctg\beta-1}{\ctg\alpha+\ctg\beta}, \hspace{15} \sin\alpha\cdot\sin\beta\neq 0 \wedge \sin(\alpha+\beta)\neq 0 \\ \\

\tg(\alpha -\beta) = \frac{\tg\alpha -\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}, \hspace{15} \cos\alpha\cdot\cos\beta\neq 0 \wedge \cos(\alpha -\beta)\neq 0 \\ \\

\ctg(\alpha -\beta) = \frac{\ctg\alpha\ctg\beta +1}{\ctg\alpha -\ctg\beta}, \hspace{15} \sin\alpha\cdot\sin\beta\neq 0 \wedge \sin(\alpha -\beta)\neq 0 \\ \\




\sin\alpha \pm \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha \pm \beta}{2}\cos\frac{\alpha \mp \beta}{2} \\ \\

\cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\\\
\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\\\
\tg\alpha \pm \tg\beta = \frac{\sin(\alpha \pm \beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}, \hspace{15} \cos\alpha\cdot\cos\beta\neq 0\\ \\
\ctg\alpha \pm \ctg\beta = \frac{\sin(\beta \pm \alpha)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}, \hspace{15} \sin\alpha\cdot\sin\beta\neq 0\\ \\

\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2} \left[ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right] \\\\
\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2} \left[ \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right] \\\\
\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2} \left[ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right] \\\\




\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \\\\
\cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha -1 = 1- 2\sin^2\alpha \\ \\

\tg2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha} \hspace{15} \cos2\alpha \neq 0 \wedge \cos\alpha \neq 0 \\ \\
\ctg2\alpha = \frac{\ctg^2\alpha-1}{2\ctg\alpha} \hspace{15} \sin2\alpha \neq 0 \wedge \sin\alpha \neq 0 \\\\\\

\sin3\alpha = \sin\alpha(3\cos^2\alpha-\sin^2\alpha) = \sin\alpha(3-4\sin^2\alpha) \\ \\
\cos3\alpha = \cos\alpha(\cos^2\alpha-3\sin^2\alpha) = \cos\alpha(4cos^2\alpha-3) \\ \\
\tg3\alpha = \frac{\tg\alpha(3- \tg^2\alpha)}{1-3\tg^2\alpha}, \hspace{15} \cos3\alpha \neq 0 \wedge \cos\alpha \neq 0 \\ \\

\ctg3\alpha = \frac{\ctg\alpha(\ctg^2\alpha-3)}{3\ctg^2\alpha-1}, \hspace{15} \sin3\alpha \neq 0 \wedge \sin\alpha \neq 0 \\ \\



Równania trygonometryczne


\sin x = 1  \Leftrightarrow x= \frac{\pi}{2}+2k\pi, \hspace{15} k \in C \\ \\ 
\sin x = -1  \Leftrightarrow x= \frac{3\pi}{2}+2k\pi, \hspace{15} k \in C \\ \\
\sin x = 0  \Leftrightarrow x= k\pi, \hspace{15} k \in C \\\\
\sin x = a, \hspace{5} a \in (0; 1)  \Leftrightarrow x= x_0+2k\pi \vee x= (\pi - x_0) + 2k\pi, \hspace{15} k \in C



\cos x = 1  \Leftrightarrow x = 2k\pi, \hspace{15} k\in C \\ \\
\cos x = -1  \Leftrightarrow x = \pi+ 2k\pi, \hspace{15} k\in C \\ \\
\cos x = 0  \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2}+ k\pi, \hspace{15} k\in C \\ \\
\cos x = a, \hspace{5} a \in (0; 1) \Leftrightarrow x = x_0+2k\pi \vee x = -x_0+ 2k\pi, \hspace{15} k\in C \\ \\



\tg x = 0  \Leftrightarrow x = k\pi, \hspace{15}, k\in C \\ \\
\tg x = a, \hspace{5} a \in R  \Leftrightarrow x = x_0 + k\pi, \hspace{15}, k\in C



\ctg x = 0  \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2}+k\pi, \hspace{15}, k\in C \\ \\
\ctg x = a, \hspace{5} a \in R  \Leftrightarrow x = x_0 + k\pi, \hspace{15}, k\in C


Nierówności trygonometryczne

k \in C \begin{cases}
\sin x > a  \Leftrightarrow x \in (x_1+2k\pi; x_2+2k\pi) \\ \\
\sin x < a  \Leftrightarrow x \in (x_2+2k\pi; x_2+2\pi(k+1)) \\ \\ \\
\sin x  \ge 1  \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2}+2k\pi \\ \\
\sin x  \ge -1  \Leftrightarrow x \in R\\ \\
\sin x   \le  1  \Leftrightarrow x \in R\\ \\
\sin x   \le  -1  \Leftrightarrow x = \frac{3\pi}{2}+2k\pi \\ \\
\end{cases}


Nierówności dla \cos x, \tg x \ctg x rozwiązujemy podobnie.

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa:

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com