szukanie zaawansowane

Granica i ciągłość funkcji

Granica funkcji

Granica funkcji to jest z podstawowych pojęć matematyki.

Mówimy, ze funkcja zmiennej rzeczywistej f(x) o wartościach rzeczywistych ma w punkcie x=x_0 granicę lewostronną g_l i piszemy

\lim_{ x\to x_0^-} f(x)=g_l


jeżeli dla każdego ciągu x_n zbieżnego do x_o, o wyrazach x_n<x_0, ciąg f(x_n) jest zbieżny do liczby g_l.


Mówimy, że funkcja f(x) ma w punkcie x=x_0 granicę prawostronną g_p i piszemy

\lim_{ x\to x_0^+} f(x)=g_p


jeżeli dla każdego ciągu x_n zbieżnego do x_0, o wyrazach x_n>x_0, ciąg f(x_n) jest zbieżny do g_p


Jeżeli

\lim_{ x\to x_0^-} f(x)=\lim_{ x\to x_0^+} f(x)


to mówimy, ze funkcja f(x) ma w punkcie x_0 granicę g i piszemy

\lim_{ x\to x_0^-} f(x)=g




Granica niewłaściwa - rozszerzenia pojęcia granicy funkcji w przypadku gdy dla każdego ciągu x_n zbieżnego do x_0 (x_n \neq x_0) ciąg f(x_n) jest rozbieżny do +\infty \vee -\infty. Mówimy wówczas, że funkcja f(x) ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą +\infty \vee -\infty i piszemy \lim_{ x\to x_0} f(x) = +\infty \vee \lim_{ x\to x_0} f(x) = -\infty

Badanie ciągłości funkcji

W badaniu ciągłości funkcji korzysta się z definicji ciągłości w punkcie, twierdzeniu o działaniach arytmetycznych na funkcjach ciągłych, z wykresów i ciągłości znanych funkcji elementarnych.

Przykładowo

Zbadamy ciągłość funkcji f określonej następująco
f(x)=\begin{cases} x, \hspace{5} |x|>1 \\ -1 , \hspace{5} |x| \le 1\end{cases}  \Leftrightarrow  \\ \\ \\ \\f(x) =  \begin{cases}x, \hspace{5} x<-1 \vee x>1 \\ -1, \hspace{5} -1  \le x \le 1 \end{cases}

Jeśli ktoś umie sobie zobrazować wykres funkcji, zauważy, że jest ona ciągła w każdym punkcie x \neq 1 W punkcie x= 1 nie jest ciągła gdyż granica lewostronna różni się od granicy prawostronnej.

Rozwiązaniem jest są x spełniające równość x \neq 1

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa:

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com