szukanie zaawansowane

Planimetria

Kąt

Kątem nazywamy każdą z dwóch części płaszczyzn, na które dzielą ją dwie półproste wychodzące z jednego punktu, wraz z tymi półprostymi - ramionami kąta.

Obrazek


Kąty mierzymy za pomocą

Miary stopniowej

gdzie kąt pełny = 360^{\circ}, \hspace{10} 1^{\circ} = 60', \hspace{10} 1' = 60''

Miary łukowej

gdzie kąt mierzymy stosunkiem długości łuku l okręgu do promienia r tego okręgu \alpha = \frac{l}{r}

Jednostką miary łukowej jest radian Kąt pełny w mierze łukowej = 2 \pi, \hspace{10}1 \text{ rad} = \frac{1}{\pi}\cdot 180^{\circ} \approx 57^\circ17'55''

Rodzaje kątów ze względu na miarę:

zerowy - 0^\circ

ostry - (0^\circ; 90^\circ)

prosty - 90^\circ

rozwarty - (90^\circ; 180^\circ)

półpełny - (180^\circ; 270^\circ)

pełny -360^\circ


Punkt

Definicja punktu w aksjomatycznej teorii geometrii należy do pojęć pierwotnych. W przestrzeni euklidesowej \text{n-wymiarowej}, punktem nazwiemy zbiór uporządkowanych w pewnej kolejności n liczb rzeczywistych (x_1, x_2, \ldots, x_n) Przykładowo, w przestrzeni euklidesowej, dwuwymiarowej, para (x; y) jest pewnym punktem.

Prosta

Pojęcie pierwotne w geometrii.

Równanie prostej w postaci ogólnej

Ax+By+C = 0, \hspace{15}A,B,C \in \mathbb{R}, \hspace{5} A^2+B^2 >0

Obrazek


l: A_1x+B_1y+C_1 = 0 \\
k: A_2x+B_2y+C_2 = 0


Warunek równoległości dla prostych w postaci ogólnej

l \parallel k  \Leftrightarrow A_1B_2 - A_2B_1 = 0


Odległość prostych równoległych w postaci ogólnej na płaszczyźnie

d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}


Warunek prostopadłości prostych w postaci ogólnej

l \perp k  \Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2 = 0



Prosta w postaci kierunkowej

y = ax+b, \hspace{15} a = - \frac{A}{B}, \hspace{4} b = - \frac{C}{B}, B \neq 0

Obrazek



l: a_1x+b \\ k: = a_2x+b_2

Warunek równoległości dla prostych w postaci kierunkowej

l \parallel k  \Leftrightarrow a_1=a_2


Odległość prostych równoległych (a_1 = a_2) w postaci kierunkowej na płaszczyźnie

d = \frac{|b_1-b_2|}{\sqrt{1+a^2}}


Warunek prostopadłości prostych w postaci kierunkowej

l \perp k  \Leftrightarrow a_1\cdot a_2 = -1


Półprosta

Półprostą nazywamy prostą ograniczoną punktem, który nazywamy początkiem półprostej
Obrazek



Figura

Figurą nazywamy zbiór punktów opisany przez pewne warunki sformułowane przy użyciu pojęć linii prostej, płaszczyzny, uporządkowania i odległości.

Trójkąt prostokątny

Obrazek


r = \frac{a+b-c}{2} \\ \\ r = \frac{ab}{a+b+c} \\ \\ R = \frac{c}{2} \\ \\ P = 0.5ab=0.5ch \\ \\ P = 0.5b^2\tg\alpha=0.5a^2\tg\beta \\ \\ P = \frac{1}{4}c^2\sin 2\alpha \\ \\ P = \frac{abc}{4R}


Trójkąt równoboczny

Obrazek


r = \frac{1}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{6} \\ \\ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \\ R = \frac{2}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{3} \\ \\ P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}


Trójkąt dowolny

P = \frac{abc}{4R} \\ \\ P = 2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma \\ \\ P = \frac{a+b+c}{2}r \\ \\ P =  \frac{1}{2}bc\sin\alpha = \frac{1}{2}ac\sin\beta = \frac{1}{2}ab\sin\gamma


Trapez

Obrazek


P = \frac{(a+b)h}{2}


Równoległobok

Obrazek


P = a\cdot h_a \\\\ P = a\cdot b\cdot \sin\alpha


Romb

Obrazek


P = a\cdot h_a \\\\ P = \frac{1}{2}d_1d_2 \\\ P = a^2\sin\alpha



Prostokąt

Obrazek


P = a\cdot b


Kwadrat

Obrazek


P = a^2 \\ \\ P = 2R^2 \\\\ P = 4r^2 \\\\ d = a\sqrt{2}, \hspace{5} P = 0.5d^2



Deltoid

Obrazek


P = \frac{1}{2} |DB|\cdot |CA|


Twierdzenie sinusów

W dowolnym trójkącie stosunki długości boków do sinusów miar przeciwległych kątów są takie same i równają się długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

Obrazek


\frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} =\frac{c}{\sin{\gamma}} = 2R


Twierdzenie cosinusów (Carnota)

W dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego boku równa się sumie kwadratów długości pozostałych boków zmniejszonej o podwojony iloczyn ich długości i cosinusa miary kąta zawartego między (tymi) bokami.

a^2 = b^2+c^2-2bc \cdot \cos{\alpha} \\ \\ 
b^2 = a^2+c^2 - 2ac \cdot \cos{\beta} \\ \\
c^2 = a^2+b^2-2ab \cdot \cos{\gamma}

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa:

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com