Prawdopodobieństwo

Zdarzenie elementarne

Jako, że pojęcie zdarzenia elementarnego należy do pojęć pierwotnych, nie ma definicji.

Dla osób, które nie do końca rozumieją co to jest zdarzenie elementarne, zobrazuje to może przykład rzutu monetą gdzie \omega_1 = wypadł orzeł, \omega_2 = wypadła reszka.

Zdarzenie elementarne zapisujemy za pomocą greckiej litery omega (\omega)

Natomiast zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych oznaczamy przez dużą literę Omega - \Omega

Liczbę wszystkich elementów zbioru \Omega zapisujemy przez |\Omega|

Działania na zdarzeniach

Często można się spotkać z \omega \in B co oznacza tyle, że \omega należy do zbioru B, jednak w probabilistyce, możemy to przeczytać jako: zdarzenie elementarne \omega sprzyja zdarzeniu B

Zdarzenie pewne

Zbiór \Omega zawsze jest zdarzeniem pewnym. Jeśli zdarzenie A = \Omega to zdarzenie A jest pewne.

Zdarzenie niemożliwe

Zbiór pusty (\emptyset) jest nazywany zdarzeniem niemożliwym, a więc, jeśli A = \emptyset \hspace{5}A jest zdarzeniem niemożliwym.

Zdarzenie przeciwne

Analogicznie jak w działaniu na zbiorach, zdarzenie A' jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A. Zapisujemy to jako: A' = \Omega \backslash A

A  \cup A = \Omega \hspace{15} A  \cap A' = \emptyset \hspace{15} \Omega' = \emptyset \hspace{15} \emptyset' = \Omega


Z powyższego zapisu wynika ważny fakt, dwa zdarzenia A,B są przeciwne jeżeli:

A \cup B = \Omega  \wedge A  \cap B = \emptyset


Suma zdarzeń

\omega \in A  \cup B  \Leftrightarrow \omega \in A  \vee \omega \in B


Różnica zdarzeń

\omega \in A  \backslash B  \Leftrightarrow \omega \in A   \wedge  \omega \notin B


Iloczyn zdarzeń

\omega \in A   \cap  B  \Leftrightarrow \omega \in A   \wedge  \omega \in B


Zdarzenia rozłączne \Leftrightarrow Zdarzenia wykluczając się

A  \cap B = \emptyset




Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa


Prawdopodobieństwem nazwiemy funkcję, która dla \forall zdarzenia A, \hspace{10} (A  \subset \Omega) przyporządkuje jedną liczbę rzeczywistą P(A), która spełnia warunki (aksjomaty):

A1. P(A) \ge 0
A2. P(\Omega) = 1
A3. Jeżeli A i B są zdarzeniami wykluczającymi się to P(A  \cup B) = P(A) + P(B)

Prawdopodobieństwo klasyczne (def. Laplace'a)


Przez \overline{\overline{A}} oznaczamy moc zbioru A, \hspace{10}\overline{\overline{\Omega}} - moc zbioru \Omega (moc zbioru = liczebność zbioru).

Jeżeli \Omega jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A  \subset \Omega to:

P(A) = \frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}


Innymi słowy prawdopodobieństwo klasyczne to iloraz liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.


Prawdopodobieństwo warunkowe

Jeżeli: P(B)>0  \wedge A,B  \subset \Omega to prawdopodobieństwem warunkowym wystąpienia zdarzenia A pod warunkiem, że nastąpiło zdarzenie B, nazwiemy liczbę:

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}



Prawdopodobieństwo całkowite

Jeżeli zdarzenia B_1, B_2,\ldots, B_n  \subset \Omega spełniają 3 warunki:
1. B_i  \cap B_j = \emptyset \hspace{15}i\neq j  \wedge  i,j \in \{1,2,...,n\}
2. P(B_i) > 0 \hspace{15} i \in \{1,2,...,n\}
3. B_1 \cup  B_2 \cup \ldots \cup  B_n  =\Omega


to dla każdego A  \subset \Omega poniższy wzór jest prawdziwy:

P(A) = P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2) + \ldots + P(A|B_n)\cdot P(B_n)


Wzór Bayesa

Wzór Bayesa wywodzi się bezpośrednio z prawdopodobieństwa całkowitego (ma te same założenia).
wz. Bayesa jest wykorzystywany do badania prawdopodobieństwa różnych przyczyn zdarzenia gdy znamy jego skutki.

P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)\cdot P(B_i)}{ P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2) + \ldots + P(A|B_n)\cdot P(B_n)} \\\\ P(A)>0  \wedge  i \in \{1,2,...,n\}



Własności prawdopodobieństwa
P(\emptyset) = 0 \hspace{15} P(A) \le 1 \\ A \subset B \Rightarrow P(A) \le P(B) \\\\ A,B  \subset  \Omega  \Rightarrow  \begin{cases} P(A \cup B)  \le P(A)+P(B) \\ \\ P(A \cup B) = P(A)+P(B) - P(A \cap B) \end{cases} \\ \\ P(A') = 1 - P(A)

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa:

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com