Zobacz tematy bez odpowiedzi | Zobacz aktywne tematy

Ułamki
Ułamek zwykły to zapis postaci $\frac{licznik}{mianownik}$ gdzie $licznik, mianownik \in \mathbb{R}, mianownik \neq 0$ gdyż kreska ułamkowa zastępuje dzielenie. Swego czasu bardzo popularny był krótki wierszyk: Pamiętaj cholero, nigdy nie dziel przez zero! Przykłady ułamków zwykłych: $\frac{1}{3}, \frac{5}{6}, \frac{10}{2}$ Ostatni z ułamków zwykłych, $\frac{10}{2}$ jest zwany także ułamkiem niewłaściwym z racji, że można wydzielić z niego część całkowitą. Jak? W końcu kreska ułamkowa zastępuje dzielenie, a więc: $\frac{10}{2} = 5$ Analoicznie $\frac{7}{2} = 3 \frac{1}{2}, \frac{29}{6} = 4 \frac{5}{6}$ Czym byłaby matematyka bez działań pozwalających uprościć obliczenia? W ułamkach zwykłych często stosuje się skracanie licznika z mianownikiem. $\frac{21}{81}=\frac{7}{27}$ Jednak należy pamiętać, że nie można tego robić podczas dodawania ułamków zwykłych, a dokładniej, mając zapis $\frac{10}{4}+\frac{4}{10}$ Nie możemy skrócić dziesiątki z dziesiątką i czwórki z czwórką - wbrew pozorom, tego rodzaju błędy można napotkać dość często. Oczywiście, przy mnożeniu ułamków zwykłych, jeśli tylko widzimy możliwość skracania, skracajmy. Tam możemy to robić prawie bezkarnie. W wyżej wymienionym przypadku musimy najpierw sprowadzić oba ułamki do wspólnego mianownika, np $20$ i wykonać dodawanie. $\frac{10}{4}+\frac{4}{10} = \frac{50}{20}+\frac{8}{20}= \frac{50+8}{20} = \frac{58}{20} = \frac{29}{10} = 2 \frac{9}{10}$ Możemy także najpierw skrócić ułamki, by wspólny mianownik był mniejszy niż $20$ . $\frac{10}{4}+\frac{4}{10} = \frac{5}{2}+\frac{4}{10} = \frac{25}{10} + \frac{4}{10} = \frac{29}{10} = 2 \frac{9}{10}$ Odejmowanie ułamków zwykłych jest analogiczne do ich dodawania. Najpierw sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a potem wykonujemy operację odejmowania na licznikach ułamków. $\frac{3}{7} - \frac{2}{5} = \frac{15}{35} - \frac{14}{35} = \frac{15 - 14}{35}= \frac{1}{35}$ Mnożenie ułamków zwykłych jest całkiem proste, mając dwa ułamki $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ (oczywiście $\{b,d\} \neq 0$ ) czynność mnożenia sprowadza się jedynie do zapisu: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}$ (Jeśli da się skrócić, oczywiście skracajmy). Przykładowo: $\frac{10}{27} \cdot \frac{9}{25} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$ (Skróciłem $10$ i $25$ przez $5$ , a $9$ i $27$ przez $9$ ) Dzielenie ułamków zwykłych to inaczej mnożenie przez odwrotność: $\frac{5}{4} : \frac{25}{8} = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{25} = \frac{2}{5}$ Ułamki zwykłe nie są jedyną formą reprezentowania liczb niecałkowitych. Kolejnym rodzajem zapisu jest ułamek dziesiętny postaci $A,B$ , gdzie $A$ oznacza część całkowitą, natomiast $B$ część ułamkową, która 'w mianowniku' ma liczbę liczbę $10$ podniesioną do odpowiedniej potęgi. I tak, $2\frac{8}{10} = 2 + 8\cdot 10^{-1} = 2,8$ $0,675 = \frac{675}{1000} = \frac{27}{40}$ $2,75 = 2\frac{75}{100} = 2\frac{3}{4}$ Jakiego rodzaju ułamków potrzebujemy w danym zadaniu, zależy tak na prawdę od osobistych preferencji. Jedni wolą ułamki dziesiętne, inni zwykłe. Przejście z ułamka dziesiętnego na zwykły jest przedstawione w ostatnich dwóch przykładach. W drugą stronę, nie zawsze jest tak prosto jak w tym przpadku: $2\frac{4}{5} = 2 \frac{8}{10} = 2,8$ Nie jest to oczywiście skomplikowane, wymaga tylko krótkiego dzielenia i tak mając ułamek $4\frac{3}{7}$ dzieląc $3$ przez $7$ otrzymujemy $0,428$ co suma summarum daje nam $4,428$	Arytmetyka: Liczby Działania arytmetyczne Ułamki Procenty Proporcje Potęgi i pierwiastki Cechy podzielności Wartość bezwzględna Wyrażenia algebraiczne Wzory skróconego mnożenia Logika matematyczna: Elementy logiki matematycznej Zbiory liczbowe Metody dowodzenia twierdzeń Indukcja matematyczna Geometria: Planimetria Stereometria Geometria analityczna Funkcje: Pojęcie funkcji Przekształcanie wykresów funkcji Funkcje liniowe Funkcje kwadratowe Funkcje wielomianowe Funkcje wymierne Funkcje trygonometryczne Funkcje wykładnicze i logarytmiczne Analiza matematyczna: Pojęcie ciągu liczbowego Ciąg arytmetyczny i geometryczny Ciąg rekurencyjny Granica ciągu Granica i ciągłość funkcji Pochodna funkcji Badanie przebiegu zmienności funkcji Całka nieoznaczona i oznaczona Równania różniczkowe liniowe Szeregi liczbowe Algebra: Liczby zespolone Wektory Macierze Układy równań liniowych Rachunek prawdopodobieństwa: Elementy kombinatoryki Prawdopodobieństwo Statystyka opisowa

Ułamki

Ułamek zwykły to zapis postaci $\frac{licznik}{mianownik}$ gdzie $licznik, mianownik \in \mathbb{R}, mianownik \neq 0$ gdyż kreska ułamkowa zastępuje dzielenie.

Swego czasu bardzo popularny był krótki wierszyk:

Pamiętaj cholero, nigdy nie dziel przez zero!

Przykłady ułamków zwykłych:

$\frac{1}{3}, \frac{5}{6}, \frac{10}{2}$

Ostatni z ułamków zwykłych, $\frac{10}{2}$ jest zwany także ułamkiem niewłaściwym z racji, że można wydzielić z niego część całkowitą. Jak? W końcu kreska ułamkowa zastępuje dzielenie, a więc:

$\frac{10}{2} = 5$

Analoicznie

$\frac{7}{2} = 3 \frac{1}{2}, \frac{29}{6} = 4 \frac{5}{6}$

Czym byłaby matematyka bez działań pozwalających uprościć obliczenia?
W ułamkach zwykłych często stosuje się skracanie licznika z mianownikiem.

$\frac{21}{81}=\frac{7}{27}$

Jednak należy pamiętać, że nie można tego robić podczas dodawania ułamków zwykłych, a dokładniej, mając zapis

$\frac{10}{4}+\frac{4}{10}$

Nie możemy skrócić dziesiątki z dziesiątką i czwórki z czwórką - wbrew pozorom, tego rodzaju błędy można napotkać dość często. Oczywiście, przy mnożeniu ułamków zwykłych, jeśli tylko widzimy możliwość skracania, skracajmy. Tam możemy to robić prawie bezkarnie.
W wyżej wymienionym przypadku musimy najpierw sprowadzić oba ułamki do wspólnego mianownika, np $20$ i wykonać dodawanie.

$\frac{10}{4}+\frac{4}{10} = \frac{50}{20}+\frac{8}{20}= \frac{50+8}{20} = \frac{58}{20} = \frac{29}{10} = 2 \frac{9}{10}$

Możemy także najpierw skrócić ułamki, by wspólny mianownik był mniejszy niż $20$ .

$\frac{10}{4}+\frac{4}{10} = \frac{5}{2}+\frac{4}{10} = \frac{25}{10} + \frac{4}{10} = \frac{29}{10} = 2 \frac{9}{10}$

Odejmowanie ułamków zwykłych jest analogiczne do ich dodawania. Najpierw sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a potem wykonujemy operację odejmowania na licznikach ułamków.

$\frac{3}{7} - \frac{2}{5} = \frac{15}{35} - \frac{14}{35} = \frac{15 - 14}{35}= \frac{1}{35}$

Mnożenie ułamków zwykłych jest całkiem proste, mając dwa ułamki $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ (oczywiście $\{b,d\} \neq 0$ ) czynność mnożenia sprowadza się jedynie do zapisu:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

(Jeśli da się skrócić, oczywiście skracajmy). Przykładowo:

$\frac{10}{27} \cdot \frac{9}{25} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$

(Skróciłem $10$ i $25$ przez $5$ , a $9$ i $27$ przez $9$ )

Dzielenie ułamków zwykłych to inaczej mnożenie przez odwrotność:

$\frac{5}{4} : \frac{25}{8} = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{25} = \frac{2}{5}$

Ułamki zwykłe nie są jedyną formą reprezentowania liczb niecałkowitych. Kolejnym rodzajem zapisu jest ułamek dziesiętny postaci $A,B$ , gdzie $A$ oznacza część całkowitą, natomiast $B$ część ułamkową, która 'w mianowniku' ma liczbę liczbę $10$ podniesioną do odpowiedniej potęgi. I tak,

$2\frac{8}{10} = 2 + 8\cdot 10^{-1} = 2,8$

$0,675 = \frac{675}{1000} = \frac{27}{40}$

$2,75 = 2\frac{75}{100} = 2\frac{3}{4}$

Jakiego rodzaju ułamków potrzebujemy w danym zadaniu, zależy tak na prawdę od osobistych preferencji. Jedni wolą ułamki dziesiętne, inni zwykłe. Przejście z ułamka dziesiętnego na zwykły jest przedstawione w ostatnich dwóch przykładach. W drugą stronę, nie zawsze jest tak prosto jak w tym przpadku:

$2\frac{4}{5} = 2 \frac{8}{10} = 2,8$

Nie jest to oczywiście skomplikowane, wymaga tylko krótkiego dzielenia i tak mając ułamek $4\frac{3}{7}$ dzieląc $3$ przez $7$ otrzymujemy $0,428$ co suma summarum daje nam $4,428$

Ułamki

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa: