Wartość bezwzględna

Wartością bezwzględną,
inaczej modułem liczby x \in \mathbb{R} jest:
1. liczba x gdy x \geqslant 0
2. liczba -x gdy x < 0

Moduł liczby x zapisujemy jako |x|, a więc:
|x| = \begin{cases} x, x \geqslant 0\\ -x,  x < 0\end{cases}




Z tego faktu wynika, że moduł jest zawsze nieujemny:
|0| = 0, |-5|=|5|, |2| = 2 itd...


Warto zdać sobie sprawę, że |-x| = |x| dla każdego x \in \mathbb{R}


\sqrt{x^{2}} =  |x| - dużo osób zapomina o tej regule. Dlatego rozwiązaniem równania x^2=4 są liczby \{2,-2\}


Geometrycznie, moduł liczby rzeczywistej interpretujemy jako odległość tej liczby (na osi liczbowej) od zera. Wynika to z faktu, że |x| = |x - 0|

Równania z wartością bezwględną

|x - 2| = 3  \Leftrightarrow x -2 = 3  \vee x-2 = -3  \Leftrightarrow \\ x = 5 \vee x = -1 \\ \\ |x + 4| = -3  \Rightarrow  x \in \emptyset


Dlaczego x \in \emptyset w ostatnim przykładzie? Bierze się to z faktu, że moduł jest zawsze nieujemny, a więc nie istnieje taki x, dla którego zachodziłoby powyższe równanie.

Nierówności z wartością bezwzględną

|x - 4|  \ge 0  \Leftrightarrow  x  \in  \mathbb{R}


Analogicznie jak wyżej. Każdy moduł spełnia powyższą nierówność, ale już następną musimy policzyć.

|x + 3| < 2  \Leftrightarrow x + 3 < 2  \wedge x + 3 > -2  \Leftrightarrow \\ x < -1  \wedge x > -5  \Leftrightarrow  x \in (-5; -1)


Zwróć uwagę na ciekawy trick.
Za modułem mam znak <, a następnie rozbijam wyrażenie z modułem na dwa kolejne łącząc je operatorem koniunkcji - \wedge. Z kolei w nierówności:

|x -7| > 2  \Leftrightarrow x - 7 > 2  \vee x - 7 < -2   \Leftrightarrow \\ x > 9  \vee  x < 5  \Leftrightarrow  x \in (-\infty; 5)  \cup (9; +\infty)


znak > sprawia, że pomiędzy poszczególnymi nierównościami jest \vee.

Trick ten wynika z definicji wartości bezwzględnej:
|x| > a \Leftrightarrow \begin{cases} x > a, x \geqslant 0\\ -x > a,  x < 0\end{cases}
Analogicznie gdy |x|<a

Zapamiętanie który znak powoduje pojawienie się koniunkcji (\wedge), a który alternatywy (\vee) jest proste. Mając nierówność z modułem np. |x - 1| > 2 obróć znak > w prawo - a dostaniesz alternatywę. Natomiast w nierówności |x -1| < 2, obracając w prawo znak < dostaniemy koniunkcję. Prawda, że proste?


Na koniec zostało jeszcze tylko kilka wzorów do zapamiętania
|x|  \ge x \\ \\  |x| = |-x| \\ \\  |x+y|   \le |x| + |y| \\ \\  ||x| -|y||  \le |x-y| \\ \\ |x - y| = 0  \Leftrightarrow  x = y \\ \\ |x\cdot y| = |x|\cdot |y|

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa:

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com