Zobacz tematy bez odpowiedzi | Zobacz aktywne tematy

Wartość bezwzględna
Wartością bezwzględną, inaczej modułem liczby $x \in \mathbb{R}$ jest: 1. liczba $x$ gdy $x \geqslant 0$ 2. liczba $-x$ gdy $x < 0$ Moduł liczby $x$ zapisujemy jako $\|x\|$ , a więc: $\|x\| = \begin{cases} x, x \geqslant 0\\ -x, x < 0\end{cases}$ Z tego faktu wynika, że moduł jest zawsze nieujemny: $\|0\| = 0, \|-5\|=\|5\|, \|2\| = 2$ itd... Warto zdać sobie sprawę, że $\|-x\| = \|x\|$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$ $\sqrt{x^{2}} = \|x\|$ - dużo osób zapomina o tej regule. Dlatego rozwiązaniem równania $x^2=4$ są liczby $\{2,-2\}$ Geometrycznie, moduł liczby rzeczywistej interpretujemy jako odległość tej liczby (na osi liczbowej) od zera. Wynika to z faktu, że $\|x\| = \|x - 0\|$ Równania z wartością bezwględną $\|x - 2\| = 3 \Leftrightarrow x -2 = 3 \vee x-2 = -3 \Leftrightarrow \\ x = 5 \vee x = -1 \\ \\ \|x + 4\| = -3 \Rightarrow x \in \emptyset$ Dlaczego $x \in \emptyset$ w ostatnim przykładzie? Bierze się to z faktu, że moduł jest zawsze nieujemny, a więc nie istnieje taki $x$ , dla którego zachodziłoby powyższe równanie. Nierówności z wartością bezwzględną $\|x - 4\| \ge 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}$ Analogicznie jak wyżej. Każdy moduł spełnia powyższą nierówność, ale już następną musimy policzyć. $\|x + 3\| < 2 \Leftrightarrow x + 3 < 2 \wedge x + 3 > -2 \Leftrightarrow \\ x < -1 \wedge x > -5 \Leftrightarrow x \in (-5; -1)$ Zwróć uwagę na ciekawy trick. Za modułem mam znak $<$ , a następnie rozbijam wyrażenie z modułem na dwa kolejne łącząc je operatorem koniunkcji - $\wedge$ . Z kolei w nierówności: $\|x -7\| > 2 \Leftrightarrow x - 7 > 2 \vee x - 7 < -2 \Leftrightarrow \\ x > 9 \vee x < 5 \Leftrightarrow x \in (-\infty; 5) \cup (9; +\infty)$ znak $>$ sprawia, że pomiędzy poszczególnymi nierównościami jest $\vee$ . Trick ten wynika z definicji wartości bezwzględnej: $\|x\| > a \Leftrightarrow \begin{cases} x > a, x \geqslant 0\\ -x > a, x < 0\end{cases}$ Analogicznie gdy $\|x\|<a$ Zapamiętanie który znak powoduje pojawienie się koniunkcji ( $\wedge$ ), a który alternatywy ( $\vee$ ) jest proste. Mając nierówność z modułem np. $\|x - 1\| > 2$ obróć znak $>$ w prawo - a dostaniesz alternatywę. Natomiast w nierówności $\|x -1\| < 2$ , obracając w prawo znak $<$ dostaniemy koniunkcję. Prawda, że proste? Na koniec zostało jeszcze tylko kilka wzorów do zapamiętania $\|x\| \ge x \\ \\ \|x\| = \|-x\| \\ \\ \|x+y\| \le \|x\| + \|y\| \\ \\ \|\|x\| -\|y\|\| \le \|x-y\| \\ \\ \|x - y\| = 0 \Leftrightarrow x = y \\ \\ \|x\cdot y\| = \|x\|\cdot \|y\|$	Arytmetyka: Liczby Działania arytmetyczne Ułamki Procenty Proporcje Potęgi i pierwiastki Cechy podzielności Wartość bezwzględna Wyrażenia algebraiczne Wzory skróconego mnożenia Logika matematyczna: Elementy logiki matematycznej Zbiory liczbowe Metody dowodzenia twierdzeń Indukcja matematyczna Geometria: Planimetria Stereometria Geometria analityczna Funkcje: Pojęcie funkcji Przekształcanie wykresów funkcji Funkcje liniowe Funkcje kwadratowe Funkcje wielomianowe Funkcje wymierne Funkcje trygonometryczne Funkcje wykładnicze i logarytmiczne Analiza matematyczna: Pojęcie ciągu liczbowego Ciąg arytmetyczny i geometryczny Ciąg rekurencyjny Granica ciągu Granica i ciągłość funkcji Pochodna funkcji Badanie przebiegu zmienności funkcji Całka nieoznaczona i oznaczona Równania różniczkowe liniowe Szeregi liczbowe Algebra: Liczby zespolone Wektory Macierze Układy równań liniowych Rachunek prawdopodobieństwa: Elementy kombinatoryki Prawdopodobieństwo Statystyka opisowa

Wartość bezwzględna

Wartością bezwzględną,
inaczej modułem liczby $x \in \mathbb{R}$ jest:
1. liczba $x$ gdy $x \geqslant 0$
2. liczba $-x$ gdy $x < 0$

Moduł liczby $x$ zapisujemy jako $|x|$ , a więc:

$|x| = \begin{cases} x, x \geqslant 0\\ -x, x < 0\end{cases}$

Z tego faktu wynika, że moduł jest zawsze nieujemny:

$|0| = 0, |-5|=|5|, |2| = 2$ itd...

Warto zdać sobie sprawę, że $|-x| = |x|$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$

$\sqrt{x^{2}} = |x|$ - dużo osób zapomina o tej regule. Dlatego rozwiązaniem równania $x^2=4$ są liczby $\{2,-2\}$

Geometrycznie, moduł liczby rzeczywistej interpretujemy jako odległość tej liczby (na osi liczbowej) od zera. Wynika to z faktu, że $|x| = |x - 0|$

Równania z wartością bezwględną

$|x - 2| = 3 \Leftrightarrow x -2 = 3 \vee x-2 = -3 \Leftrightarrow \\ x = 5 \vee x = -1 \\ \\ |x + 4| = -3 \Rightarrow x \in \emptyset$

Dlaczego $x \in \emptyset$ w ostatnim przykładzie? Bierze się to z faktu, że moduł jest zawsze nieujemny, a więc nie istnieje taki $x$ , dla którego zachodziłoby powyższe równanie.

Nierówności z wartością bezwzględną

$|x - 4| \ge 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}$

Analogicznie jak wyżej. Każdy moduł spełnia powyższą nierówność, ale już następną musimy policzyć.

$|x + 3| < 2 \Leftrightarrow x + 3 < 2 \wedge x + 3 > -2 \Leftrightarrow \\ x < -1 \wedge x > -5 \Leftrightarrow x \in (-5; -1)$

Zwróć uwagę na ciekawy trick.
Za modułem mam znak $<$ , a następnie rozbijam wyrażenie z modułem na dwa kolejne łącząc je operatorem koniunkcji - $\wedge$ . Z kolei w nierówności:

$|x -7| > 2 \Leftrightarrow x - 7 > 2 \vee x - 7 < -2 \Leftrightarrow \\ x > 9 \vee x < 5 \Leftrightarrow x \in (-\infty; 5) \cup (9; +\infty)$

znak $>$ sprawia, że pomiędzy poszczególnymi nierównościami jest $\vee$ .

Trick ten wynika z definicji wartości bezwzględnej:
$|x| > a \Leftrightarrow \begin{cases} x > a, x \geqslant 0\\ -x > a, x < 0\end{cases}$
Analogicznie gdy $|x|<a$

Zapamiętanie który znak powoduje pojawienie się koniunkcji ( $\wedge$ ), a który alternatywy ( $\vee$ ) jest proste. Mając nierówność z modułem np. $|x - 1| > 2$ obróć znak $>$ w prawo - a dostaniesz alternatywę. Natomiast w nierówności $|x -1| < 2$ , obracając w prawo znak $<$ dostaniemy koniunkcję. Prawda, że proste?

Na koniec zostało jeszcze tylko kilka wzorów do zapamiętania

$|x| \ge x \\ \\ |x| = |-x| \\ \\ |x+y| \le |x| + |y| \\ \\ ||x| -|y|| \le |x-y| \\ \\ |x - y| = 0 \Leftrightarrow x = y \\ \\ |x\cdot y| = |x|\cdot |y|$

Wartość bezwzględna

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa: