szukanie zaawansowane

Wektory

Wektory

Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów, z których początkiem wektora nazywamy pierwszy punkt, a końcem, drugi.
Obrazek


Wektor o początku w punkcie A i końcu w B oznaczamy jako \vec{AB} Można też oznaczać wektory mała literą, np. \vec{u}

Wektor zerowy to wektor, którego początek i koniec pokrywają się. Jest oznaczany jako \vec{0}

Długość wektora \vec{AB} zapisujemy jako |\vec{AB}|

Dwa wektory \vec{u} i \vec{v} są równe gdy mają równe długości, ten sam kierunek i zgodne zwroty.
Jak się można domyślić, równość wektorów zapisujemy jako:

\vec{u} = \vec{v}


Natomiast dwa wektory \vec{u} i \vec{v} będziemy nazywać przeciwnymi jeśli jeśli będą miały równe długości, ten sam kierunek, ale przeciwne zwroty:

\vec{u} = -\vec{v}



Zbiór wektorów o tej samej długości, ustalonym kierunku i zwrocie nazywamy wektorem swobodnym.


Suma wektorów
Obrazek


Różnica wektorów
Obrazek



Własności wektorów

\vec{u}+ \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} \\ \\ (\vec{u}+ \vec{v}) + \vec{o} = \vec{u} + (\vec{v}+\vec{o})


Iloczyn wektora i liczby

-Jeśli a>0 to wektor powstały z iloczynu a i wektora \vec{u} ma zwrot zgodny ze zwrotem wektora \vec{u}.

-Jeśli a<0 to wektor powstały z iloczynu a i wektora \vec{u} ma zwrot przeciwny do zwrotu wektora \vec{u}.

- Jeśli \vec{u} = \vec{0}  \vee a=0 to iloczyn wektora \vec{u} i liczby a jest wektorem zerowym.

- Długość nowo powstałego wektora wyrażamy jako |a|\cdot|\vec{u}|

a, b \in R wektory \vec{u}, \vec{v} dowolne


a(\vec{u}+ \vec{v}) = a\vec{u}+ a\vec{v} \\ \\ (a+b) \vec{u} = a\vec{u}+ b\vec{u} \\ \\ a(b\vec{v}) = (ab)\vec{v}



Kąt między wektorami

Obrazek

Iloczyn skalarny wektorów


Iloczynem skalarnym dwóch wektorów vec{u}, \vec{v} nazywamy liczbę równą iloczynowi długości tych wektorów i kosinusa kąt między nimi.

\vec{u}\circ \vec{v} =|\vec{u}| \cdot|\vec{v}| \cdot \cos{\angle{(\vec{u}; \vec{v})}}


Jeśli któryś z wektorów jest wektorem zerowym, wtedy iloczyn skalarny tych wektorów jest równy 0

Własności iloczynu skalarnego wektorów

\vec{u}\circ \vec{v} = \vec{v}\circ \vec{u} \\ \\ 
\vec{u}\circ (\vec{v}+\vec{0}) = \vec{u}\circ \vec{v} + \vec{u}\circ \vec{o} \\ \\ (a\vec{u}) \circ (b\vec{o}) = ab\cdot(\vec{u}\circ \vec{o}) \\ \\ \vec{u}\circ \vec{v} =|\vec{u}| \cdot|\vec{v}| \cdot \cos{\angle{(\vec{u}; \vec{v})}}  \Leftrightarrow  \cos{\angle{(\vec{u}; \vec{v})}} = \frac{\vec{u}\circ \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot|\vec{v}|}



Wektory w układzie współrzędnych

Jeśli punkt A ma współrzędne (x_1;y_1), punkt B ma współrzędne (x_2; y_2) to \vec{AB} ma współrzędne

\vec{AB} =  \left[ x_2 - x_1 ; y_2 - y_1\right]


Jeśli \vec{u} = \left[x_1; y_1 \right] \hspace{15}  \vec{v} = \left[x_2; y_2 \right] to:

\vec{u}+\vec{v} =  \left[ x_1+x_2 ; y_1 +y_2\right]  \\ \\ \vec{u}-\vec{v} =  \left[ x_1-x_2 ; y_1 -y_2\right] \\ \\ 
a \in R, \hspace{10} a\vec{u} =  \left[ ax_1; ay_1\right]


Iloczyn skalarny wektorów w układzie współrzędnych

Jeśli \vec{u} = \left[x_1; y_1 \right] \hspace{15}  \vec{v} = \left[x_2; y_2 \right] to:

\vec{u}\circ \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa:

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com