szukanie zaawansowane

Zbiory liczbowe

Kwantyfikatory

Kwantyfikator ogólny oznaczamy przez \bigwedge lub \forall

\forall - oznacza dla każdego. Radzę stosować właśnie ten znak dla kwantyfikatora ogólnego, gdyż jest on częściej stosowany w matematyce, zwłaszcza międzynarodowej (z ang. odwrócone A od All - wszystkie). Przy tym w ferworze nauki, sprawdzania zadań na pewno nie pomylimy się i nie przeczytamy kwantyfikatora jako funktora \wedge

Zapis: \forall x \in D: w(x) czytamy dla każdego x należącego do D zachodzi w(x)

Kwantyfikator szczegółowy zapisujemy przez \bigvee lub \exists

\exists - odwrócone E z ang. exists oznacza istnieje. Również radzę korzystać z \exists zamiast \bigvee, z powodów analogicznych dla kwantyfikatora ogólnego.

Zapis: \exists x \in D: w(x) czytamy istnieje x należące do D takie, że zachodzi w(x)


Zbiory liczbowe

Samo pojęcie zbioru należy do pojęć pierwotnych, których się nie określa. W literaturze można się spotkać z określeniami przestrzeni, rodziny czy mnogości - wszystkie oznaczają to samo - zbiór.

Przyjęło się, że zbiory oznacza się dużymi literami: A,B, R \dots, natomiast elementy zbioru małymi: a,b,x, \dots

Chcąc zaznaczyć, że element a należy do zbioru A, piszemy: a \in A, natomiast w przeciwnym wypadku, zapis: a \notin A oznacza, że element a nie należy do zbioru A

Zapis \{x: Q(x)\} oznacza zbiór elementów x mających własność Q(x)

Może się to wydać logiczne, ale warto zaznaczyć, że zbiór elementów, które mają określoną własność Q to zbiór wszystkich i dokładnie tylko takich elementów, które mają tę własność.

Zbiór pusty oznaczamy przez \emptyset

Inkluzja zbiorów

Jeśli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B to zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B \Leftrightarrow zbiór A zawiera się w B, co zapisujemy A  \subset B lub B  \supset A

Obrazowo można to przedstawić tak:
Obrazek


Zbiory rozłączne

Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi gdy nie mają żadnych części wspólnych - A  \cap B = \emptyset
Obrazek


Działania na zbiorach


Suma zbiorów
Suma zbiorów A i B to zbiór elementów które należą co najmniej do jednego ze zbiorów A i B. Sumę zbiorów zapisujemy za pomocą A  \cup B
Obrazek


Zapis symboliczny sumy zbiorów:
A \cup B = \{x: x \in A \vee x \in B\}


Zauważmy, że:
A  \cup A = A \\ A  \cup \emptyset = A \\ A  \subset B  \Rightarrow A \cup B = B



Różnica zbiorów
Różnica zbiorów A i B to zbiór elementów, z których każdy należy do zbioru A i nie należy do B. Różnicę zbiorów zapisujemy za pomocą: A \backslash B
Obrazek


Zapis symboliczny różnicy zbiorów:
A \setminus B = \{x: x \in A  \wedge x \notin B \}


Zauważmy, że:
A \backslash \emptyset = A \\ A \backslash A = \emptyset



Ilczyn zbiorów
Iloczyn zbiorów A i B to zbiór elementów, które należą do zbioru A i do zbioru B - są częścią wspólną obu zbiorów. Iloczyn zbiorów zapisujemy za pomocą A \cap  B
Obrazek


Zapis symboliczny iloczynu zbiorów:
A \cap  B = \{x: x \in A   \wedge  x \in B \}


Zauważmy, że:
A  \cap A = A \\ A  \cap  \emptyset = \emptyset

Dopełnienie zbioru

Dopełnieniem zbioru A do przestrzeni X nazywamy zbiór postaci X \backslash A, oznaczamy go jako A'
Obrazek


Zapis symboliczny dopełnienia zbioru:
A' = \{x: x \in X  \wedge x \notin A \}


Zauważmy, że:
A  \cup A' = X \\ A  \cap A' =\emptyset \\ (A')' = A \\ X' = \emptyset


Prawa działań na zbiorach

1. Przemienność iloczynu:

A \cap B = B  \cap A


2. Przemienność sumy:

A \cup B = B \cup A


3. Łączność iloczynu:

(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)


4. Łączność sumy:

(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)


5. I prawo de Morgana dla zbiorów:

(A \cap B)' = A'  \cup B'


6. II prawo de Morgana dla zbiorów:

(A \cup B)' = A' \cap B'


7. Rozdzielność iloczynu względem sumy:

(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)


8. Rozdzielność sumy względem iloczynu:

(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)

Arytmetyka:

Logika matematyczna:

Geometria:

Funkcje:

Analiza matematyczna:

Algebra:

Rachunek prawdopodobieństwa:

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com