Załóżmy, że wierzchołkami wielokąta wypukłego \(\displaystyle{ W}\) są punkty \(\displaystyle{ A_1,A_2,...,A_{2n-1},A_{2n},n\geqslant 2}\) oraz, że wielokąt \(\displaystyle{ W}\) jest opisany na okręgu. Udowodnić, że wtedy \(\displaystyle{ A_1A_2+A_3A_4+...+A_{2n-1}A_{2n}=A_2A_3+A_4A_5+...+A_{2n-2}A_{2n-1}+A_{2n}A_1}\).
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Punkt styczności okręgu z bokiem \(\displaystyle{ A_1A_2}\) nazwijmy \(\displaystyle{ B_1}\), punkt styczności okręgu z bokiem \(\displaystyle{ A_2A_3}\) nazwijmy \(\displaystyle{ B_2}\) itd. Środek okręgu \(\displaystyle{ O}\) o promieniu \(\displaystyle{ r}\) jest punktem przecięcia się wszystkich dwusiecznych kątów wewnętrznych tego wielokąta. Z cechy \(\displaystyle{ bkb}\) można uzasadnić, że trójkąty \(\displaystyle{ B_1OA_2}\) oraz \(\displaystyle{ B_2OA_2}\) są przystające, podobnie trójkąty \(\displaystyle{ B_2OA_3}\) oraz \(\displaystyle{ B_3OA_3}\) są przystające itd. Odcinek \(\displaystyle{ A_1B_1}\) nazwijmy \(\displaystyle{ x_1}\), odcinek \(\displaystyle{ B_1A_2}\) nazwijmy \(\displaystyle{ x_2}\), odcinek \(\displaystyle{ A_2B_2}\) jest równy \(\displaystyle{ x_2}\), odcinek \(\displaystyle{ B_2A_3}\) nazwijmy \(\displaystyle{ x_3}\) itd. Otrzymujemy zatem, że wielokąt dzieli się na \(\displaystyle{ n}\) par trójkątów przystających. Pole wielokąta jest zatem równe \(\displaystyle{ P=2(\frac{1}{2}x_1r+\frac{1}{2}x_2r+...+\frac{1}{2}x_nr)=r(x_1+x_2+...x_{2n})}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ x_1+x_2=A_1A_2}\), \(\displaystyle{ x_3+x_4=A_3A_4}\), \(\displaystyle{ ...,x_{2n-1}+x_{2n}=A_{2n-1}A_2n}\). Z drugiej strony \(\displaystyle{ x_2+x_3=A_2A_3,x_4x_5=A_4A_5,...,x_{2n-2}+x_{2n-1}=A_{2n-2}A_{2n-1},x_{2n}+x_1=A_{2n}A_1}\). Otrzymujemy więc \(\displaystyle{ P=r(A_1A_2+A_3A_4+A_5A_6+...+A_{2n-1}A_{2n})=r(A_2A_3+A_4A_5+...+A_{2n-2}A_{2n-1}+A_{2n}A_1)}\). Dostajemy z tego, że \(\displaystyle{ A_1A_2+A_3A_4+...+A_{2n-1}A_{2n}=A_2A_3+A_4A_5+...+A_{2n-2}A_{2n-1}+A_{2n}A_1}\) czyli to należało wykazać.
Czy tak jest dobrze?
Dodano po 10 godzinach 58 minutach 24 sekundach:
Może się ktoś wypowiedzieć?
Dodano po 15 godzinach 30 minutach 53 sekundach:
Naprawdę nikt nie jest w stanie tego ocenić?
Dodano po 1 dniu 5 godzinach 25 minutach 4 sekundach:
Dobra, to jeśli nie chce się Wam tego sprawdzać to może ktoś napisze własne rozwiązanie tego?