Matematyka.pl

Teorię najlepiej zrozumieć poprzez wzór \ln z = \ln | z | + i \arg z . Funkcja \arg przypisuje niezerowym liczbom zespolonym jeden z ich argumentów, tj. kątów \varphi \in \mathbb{R} spełniających z = |z| \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi) . Takich kątów jest zawsze nieskończenie wiele, bo jeśli \...

Nie ma.

Mnóstwo - jeśli zacznie się od dowolnej funkcji ciągłej f_0 : [-1, 1] \to \RR spełniającej f_0(1) = f_0(-1) , to jej jedyne przedłużenie na \RR spełniające równanie funkcyjne będzie funkcją ciągłą. Dlaczego przesunąłem przedział: mówiąc lekko nieściśle, relacja y_1 \mathrel{R_x} y_2 \iff y_2 = x^2 y...

Samouk1 pisze: ↑2 cze 2024, o 11:54wtedy funkcja \(\displaystyle{ f}\) na nowym przedziale jest dana jako \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt2x^2}\)

Potem na kolejnych przedziałach (większych i mniejszych od \(\displaystyle{ [0,2)}\)) i mam taką funkcję określoną różnymi wzorami na różnych przedziałach?

Tak, tylko \(\displaystyle{ f(x) = (x-2)^2 \sqrt{2}}\) na \(\displaystyle{ [2, 4)}\).

To znaczy, że jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest zbiorem wszystkich rozwiązań równania, to przypisanie \(\displaystyle{ \mathcal{F} \to \mathbb{R}^{[0, 2)}}\), \(\displaystyle{ f \mapsto f \restriction [0, 2)}\) jest bijekcją.

Samouk1 pisze: ↑1 cze 2024, o 22:30Można znaleźć funkcje na tym przedziale, które nie spełnią zależności, którą chcemy.

Na przykład jakie?

Nic specjalnego - na przedziale \(\displaystyle{ [0, 2)}\) można taką funkcję zadać dowolnie, a wtedy równanie funkcyjne definiuje jednoznaczne przedłużenie na \(\displaystyle{ \RR}\).

Nie musi. Twój przykład jest dobry, ogólnie wystarczy dowolny \(\displaystyle{ \in}\)-antyłańcuch o więcej niż jednym elemencie.

Dodam, że jeśli teoria mnogości jest niesprzeczna, to istnieje model M tej teorii, w którym istnieją elementy a_n,n=0,1,2,\dots takie, że w modelu M prawdą jest, że a_0\ni a_1\ni a_2\ni\dots A z tego co wiem, to w zwykłej teorii mnogości ZFC nie istnieje ciąg (nieskończony) \left( X _{n} \right) _{...

Zwyczajny wzór na różnicę logarytmów nie działa w liczbach zespolonych. Co więcej, o ile sama funkcja \ln \frac{z-1}{z+3} jest w obszarze |z+1| > 2 dobrze określona, o tyle \ln(z-1) i \ln(z+3) już takie nie są. W pewnym sensie oba te logarytmy mają problematyczny "haczyk", a przy odejmowan...

Eolavide pisze: ↑29 maja 2024, o 21:20Ktoś może napisać że to Sito Eratostenesa ale to nie jest to samo i nie jest to sito.

To jest sito Eratostenesa.

Prawidłowo, przy założeniu że jachty są rozróżnialne. Równoważnie: \(\displaystyle{ \frac{30!}{(5!)^6}}\).

Kilka podstawowych faktów o symbolach Legendre'a pozwala łatwo obliczyć wartość dowolnego symbolu. Są to: \bullet Multiplikatywność symbolu Legendre'a: \left( \frac{ab}{p} \right) = \left( \frac{a}{p} \right) \cdot \left( \frac{b}{p} \right) , \bullet Okresowość: \left( \frac{a}{p} \right) = \left( ...

Wskazówka: zapisz \(\displaystyle{ f}\) jako kombinację liniową funkcji ciągłych.

Te załączniki to dużo tekstu, w dodatku mętnego, a mało treści. Szczególnie niejasny, a prawdopodobnie wręcz błędny, jest fragment o szeregach Taylora - patrz post Janusza Tracza. W stwierdzeniu, że 0 \to \mathcal{C}_{2 \pi}^{\infty} \xrightarrow{i} \mathcal{C}^{\infty}[0, 2\pi] \xrightarrow{p} \mat...