Pytanie: Czy zawsze \(\displaystyle{ \mathrm{int}\,(\RR^2\setminus S)}\) jest spójny?
Dodano po 5 miesiącach 19 dniach 15 godzinach 47 minutach 25 sekundach:
Potrafię to udowodnić pod warunkiem, że zachodzi następująca własność:
(*) Jeśli \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ T}\) są składowymi zbioru regularnie otwartego oraz \(\displaystyle{ \partial T\subseteq \partial S}\), to \(\displaystyle{ S=T}\).
Dowód korzystający z powyższej własności. Niech \(\displaystyle{ \mathcal T}\) będzie rodziną składowych zbioru \(\displaystyle{ \RR^2\setminus \cl\, U}\). Mamy
\(\displaystyle{ \mathrm{int}\,(\RR^2\setminus S)=\RR^2\setminus \cl\, S=(U\cup \partial U\cup \bigcup\mathcal T)\setminus \cl\, S=(U\cup \partial U\setminus \cl\, S)\cup\bigcup_{T\in\mathcal T}(T\setminus \cl\, S)=(U\cup \partial U\setminus \partial S)\cup\bigcup_{T\in\mathcal T\setminus\{S\}}(\cl\,T\setminus \partial S)}\).
Dla każdego \(\displaystyle{ T\in\mathcal T\setminus\{S\}}\) na podstawie własności (*) zbiór \(\displaystyle{ \partial T\setminus\partial S}\) jest niepusty, przy czym \(\displaystyle{ \partial T\subseteq \partial (\RR^2\setminus \cl\, U)=\partial U}\) oraz zbiór \(\displaystyle{ \cl\,T\setminus \partial\, S}\) jest spójny. Wtedy zbiór \(\displaystyle{ U\cup \partial U\setminus \partial S}\) jest spójny i ma przekrój niepusty z \(\displaystyle{ \cl\,T\setminus \partial\, S}\) dla każdego \(\displaystyle{ T\in\mathcal T\setminus\{S\}}\). \(\displaystyle{ \square}\)
Czy ktoś wie jak udowodnić (ewentualnie obalić) własność (*) ?