równania wspólnych stycznych

[Lyzka]

Wyznacz równania wspólnych stycznych do wykresów funkcji \(\displaystyle{ f(x)=2x ^{2}}\) i \(\displaystyle{ g(x)=-2(x-2) ^{2}}\).
Zadanie wiem jak zrobić, tylko nie rozumiem jednej rzeczy.
Pisząc równanie stycznej dla jednej i drugiej funkcji, przyjmujemy, że jedna ma pochodną np. w pkt. \(\displaystyle{ x _{1}}\) , a druga w pkt. \(\displaystyle{ x _{2}}\) . I tu moje pytanie czy nie można przy obliczeniach przyjąć, że obie funkcje mają pochodną w tym samym punkcie?? \(\displaystyle{ x _{1} = x _{2}}\)

[szachimat]

Wspólna styczna wcale nie znaczy, że i punkt styczności jest wspólny. (a gdyby były dwa okręgi wzajemnie zewnętrzne, to jak wyglądałaby wspólna styczna?)

[Lyzka]

wzajemnie zewnętrzne

czy styczne zewn? Niestety co do pochodnych to chyba mam braki ;/. W tablicach matema. przy równaniu stycznej jest napisane "Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma pochodną w punkcie \(\displaystyle{ x _{0}}\) [...]". A skąd ja mam wiedzieć w jakim punkcie ma tą pochodną ?? I czy w ogóle ją ma?

[szachimat]

To zrób rysunek obu paraboli

[Lyzka]

Mam zrobiony

[szachimat]

Prosta y=ax+b jest styczną do paraboli \(\displaystyle{ y=2x^2}\), czyli układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=2x^2 \\ y=ax+b \end{cases}}\)
musi mieć jedno rozwiązanie, a zatem równanie \(\displaystyle{ 2x^2=ax+b}\) również jedno. A tak będzie dla delty równej zero, czyli dla \(\displaystyle{ b=- \frac{1}{8}a^2}\)

Podobnie:
Prosta y=ax+b jest styczną do paraboli \(\displaystyle{ y=-2(x-2)^2}\), czyli układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=-2(x-2)^2 \\ y=ax+b \end{cases}}\)
musi mieć jedno rozwiązanie, a zatem równanie \(\displaystyle{ -2(x-2)^2=ax+b}\) również jedno. A tak będzie również dla delty równej zero. Jeżeli w delcie podstawimy za b wartość \(\displaystyle{ - \frac{1}{8}a^2}\), to otrzymamy po uporządkowaniu postać \(\displaystyle{ a(a-8)=0}\)
1) dla a=0: b=0 czyli y=0 (jedna styczna)
2) dla a=8: b=-8 czyli y=8x-8 (druga styczna)