Rówanie różniczkowe

[jakkubek]

Rozwiąż

\(\displaystyle{ y''-2y'+2y=e^{x}cosx}\)

\(\displaystyle{ y'-\frac{y}{2x}+\frac{y^{3}}{2\sqrt{x}}=0}\)

[luka52]

ad 1.
Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne
\(\displaystyle{ y'' - 2y' + 2y = 0}\)
Równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ r^2 - 2r + 2 = 0}\) ma pierwiastki \(\displaystyle{ r_1 = 1- i, \quad r_2 = 1 + i}\). Wobec tego całką ogólną równania jednorodnego jest
\(\displaystyle{ y_1 = e^x (C_1 \sin x + C_2 \cos x)}\)
Jako całkę szczególną przewidujemy
\(\displaystyle{ y_2 = a e^x (\cos x + x \sin x)}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ {y'}_2 = a e^x (\cos x + x \sin x + x \cos x) \\
{y''}_2 = 2 a e^x (1+x) \cos x}\)
Podstawiając powyższe do równania otrzymujemy (po uproszczeniu)
\(\displaystyle{ 2 a e^x \cos x = e^x \cos x\\
2a = 1 a = \frac{1}{2}}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ y = y_1 + y_2 = e^x (C_1 \sin x + C_2 \cos x) + \frac{1}{2} e^x (\cos x + x \sin x)}\)

[jakkubek]

luka52, Takie pytanie, czy w całce ogólnej przed sinx nie powinien pojawić się jeszcze x?

To może jest głupie pytanie, ale poznałem dopiero wczoraj tą metodę

[luka52]

Możesz wskazać tą linijkę?

[jakkubek]

ad 1.
Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne
\(\displaystyle{ y'' - 2y' + 2y = 0}\)
Równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ r^2 - 2r + 2 = 0}\) ma pierwiastki \(\displaystyle{ r_1 = 1- i, \quad r_2 = 1 + i}\). Wobec tego całką ogólną równania jednorodnego jest
\(\displaystyle{ y_1 = e^x (C_1 \sin x + C_2 \cos x)}\)

W ostatniej zacytowanej

[luka52]

Nie, a dlaczego?
Tutaj rozwiązujemy równanie jednorodne, a to że w całce szczególnej występuje x przed sinusem, to już kwestia takiego akurat przykładu.