Dowodzenie równoważności dla zbiorów.

[darenn]

Czy dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równoważność
\(\displaystyle{ B \subseteq C \Leftrightarrow A \cup B \cup C = \left( A - B\right) \cup C}\) ?
Siedzę nad tym zadaniem już ponad godzinę i do niczego nie mogę dojść. Wnioskuję, że trzeba udowodnić implikację w dwie strony ale nie wiem od jakich wniosków wyjść.

[Zlodiej]

Narysuj sobie diagram Venne'a wtedy jest prosto pokazać implikację z prawej w lewo (tzn. z diagramu wyjdzie, że \(\displaystyle{ B-C=\emptyset}\)więc \(\displaystyle{ B \subset C}\)).

W drugą stronę mamy

\(\displaystyle{ A \cup B \cup C = A \cup C}\)

oraz

\(\displaystyle{ A \cup C = \left( A \cup C\right) - \left( B - C\right) = \left( A - B\right) \cup C}\)

[Qń]

Po pierwsze: diagramy Venna to nie jest dowód matematyczny.

Po drugie: prof. Urzyczyn wolałby, żeby jego studenci sami robili swoje prace domowe, a nie zamieszczali je na forum.

Q.