trudne równanie

[jasq]

mam problem z takim o to równaniem !

\(\displaystyle{ \sin x + \sin 2 x+ \sin 3 x = 4 \cos x \cos \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x}{2} \right)}\)

z góry dziekuje za pomoc !!!

[Uzo]

Zauważ tutaj sumę sinusów(po lewej stronie ) i sume cosinusów(po prawej ) i wykorzystaj to

[korty]

Jest po lewej suma sinusów,ale nie mogę dostrzec jak uprościć to równanie aby się dało rozwiąć.Za "oświecenie" mnie będę niezmiernie wdzięczny.Próbóję grupować sinusy i przechodzić na iloczyn,ale niewiele to daje.

[Tristan]

Będę korzystał z wzorów:
\(\displaystyle{ \sin x + \sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos x + \cos y =2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos x \cos y= \frac{1}{2} [ \cos (x-y) + \cos (x+y) ]}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x=2 \sin x \cos x}\)

\(\displaystyle{ \sin x + \sin 2x + \sin 3x =4 \cos x \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3x}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin x + \sin 3x + \sin 2x=4 \cos x \frac{1}{2}( \cos \frac{-2x}{2} + \cos \frac{4x}{2})}\)
\(\displaystyle{ 2 \sin \frac{4x}{2} \cos \frac{-2x}{2} + \sin 2x=2 \cos x( \cos x + \cos 2x)}\)
\(\displaystyle{ 2 \sin 2x \cos x + 2 \sin x \cos x=2 \cos x ( \cos x + \cos 2x)}\), teraz dzielę przez 2 i przenoszę wszystko na jedną stronę, wyciągając cosiusa przed nawias
\(\displaystyle{ \cos x ( \sin 2x + \sin x -\cos x - \cos 2x)=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x=0 \sin 2x + \sin x- ( \cos x + \cos 2x)=0}\), tutaj znów skorzystam z wzorów
\(\displaystyle{ \cos x=0 2 \sin \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2} - 2 \cos \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x=0 \cos \frac{x}{2} ( \sin \frac{3x}{2} - \cos \frac{3x}{2} )=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x=0 \cos \frac{x}{2}=0 \sin \frac{3x}{2}= \cos \frac{3x}{2}}\)
Z resztą już sobie poradzisz

[korty]

Bardzo dziękuję za wyczerpującą odpowiedź. Wstyd się przyznać,ale w przekształceniu prawej strony zrobiłem głupi bład. Niestety zdarza się, a nie powinno.

[Uzo]

przemyslalem to i spróbowałem po swojemu czy dobrze poprzekształcałem dochodząc z początkowego równania do tego? :
\(\displaystyle{ \sin 2 x \left( \cos 2 x \right) = \cos ^ 2x \left( 2- \tg ^ 2x \right)}\)