[Algebra] Wielomian USAMO 76

[Pinionrzek]

Mam problem z następującym zadaniem: \(\displaystyle{ P\left( x^{5} \right)+xQ\left( x^{5} \right)+ x^{2}R\left( x^{5} \right)=\left( x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1\right)S\left( x\right)}\), P, Q, R, S są oczywiście wielomianami. Udowodnić, że \(\displaystyle{ P}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x-1}\) Prosiłbym o wytłumaczenie rozwiązania tego zadania.

[rtuszyns]

Tylko co tu trzeba zrobić? Nie ma treści zadania...

[Pinionrzek]

Pomyliłem się, teraz już jest ok

[Espeqer]

Masz wielomian postaci:

\(\displaystyle{ P\left( x^{5} \right)+xQ\left( x^{5} \right)+ x^{2}R\left( x^{5} \right)=\left( x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1\right)S\left( x\right)}\)

Dla x=0

\(\displaystyle{ P\left( 0 \right)=S\left( 0\right)}\)

Co Ci to mówi?

[Sylwek]

Espeqer, to nic nie mówi.

To zadanie nie jest na poziomie współczesnej olimpiady, tzn. wymaga delikatnego zahaczenia o tematykę liczb zespolonych. Nie znam sprytniejszego rozwiązania, a sam, gdy startowałem kilka lat temu w olimpiadzie, starałem się je zrozumieć i niezbyt mi to szło - po prostu nie czułem się pewnie na nowym gruncie. Aczkolwiek nie przeczę, że istnieją ładniejsze rozwiązania, choć szczerze wątpię

Mimo wszystko, Pinionrzek, jak chcesz poczuć intuicję, nawet bez umiejętności udowodnienia pewnych rzeczy, to podaję 2 podpowiedzi.

Hint 1:    

Równanie \(\displaystyle{ x^5=1}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ 5}\) rozwiązań w dziedzinie zespolonej. To się nazywa pierwiastki z jedności, możesz poszukać w Internecie.

Hint 2:    

Część z tych pierwiastków jest też pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1=0}\). Dlaczego? Które? Ile? Co się stanie po wstawieniu tych pierwiastków do naszego równania? Co nam to daje? Jakie wnioski? Jak to się ma do tezy?

To powinno wystarczyć.

[Qń]

Można ominąć liczby zespolone - wystarczy rozbić wielomian \(\displaystyle{ S \left( x \right)}\) na dwa wielomiany: taki w którym niezerowe współczynniki są jedynie przy iksach w potęgach podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\), nazwijmy go \(\displaystyle{ W \left( x \right)}\) oraz taki w którym niezerowe współczynniki są tylko przy iksach w potęgach niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\), nazwijmy go \(\displaystyle{ V \left( x \right)}\).

Po pomnożeniu wyjściowej równości stronami przez \(\displaystyle{ x-1}\) i drobnym przekształceniu dostajemy tożsamość:
\(\displaystyle{ P \left( x^5 \right) + \left( x^5-1 \right) W \left( x \right) = \\ =V \left( x \right) + x \left( P \left( x^5 \right) - Q \left( x^5 \right) \right) +x^2 \left( Q \left( x^5 \right) - R \left( x^5 \right) \right) +x^3R \left( x^5 \right) -x^5V \left( x \right)}\)
Po lewej stronie mamy wielomian, który niezerowe współczynniki może mieć tylko przy iksach w potęgach podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\), a po prawej taki, który niezerowe współczynniki może mieć tylko przy iksach w potęgach niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\). Stąd wniosek, że po obu stronach muszą być wielomiany tożsamościowo równe \(\displaystyle{ 0}\), skąd w szczególności:
\(\displaystyle{ P \left( x^5 \right) = \left( 1-x^5 \right) W \left( x \right)}\)
i po wstawieniu \(\displaystyle{ x=1}\) mamy \(\displaystyle{ P \left( 1 \right) =0}\).

Q.

[Pinionrzek]

Dziękuję wszystkim za pomoc w rozwiązaniu zadania

[Sylwek]

Fajne rozwiązanie, Qń.

[marcin7Cd]

Można to chyba jeszcze "ładniej" rozwiązać.
Zauważamy że wielomian \(\displaystyle{ \ P\left( x^5 \right)-P\left( 1 \right)+ xQ\left( x^5 \right) -xQ\left( 1 \right) +x^2R\left( x^5 \right) -x^2R\left( 1 \right)}\)
Jest podzielny przez \(\displaystyle{ \ x^5-1}\), więc też przez \(\displaystyle{ \ x^4+x^3+x^2+x+1}\).

Różnica między tym wielomianem, a wielomianem podanym w zadaniu też musi być podzielna przez \(\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1}\), ale stopień wielomianu \(\displaystyle{ \ P\left( 1 \right) + xQ\left( 1 \right) + x^2R\left( 1 \right)}\) jest mniejszy od 4 więc musi być on równy zero (wielomian) i mamy, że \(\displaystyle{ \ P\left( 1 \right)=0 \wedge Q\left( 1 \right)=0 \wedge R\left( 1 \right)=0}\) co kończy rozwiązanie zadania.